材料力学应力应变部分

1、材料力学（应力应变部分）一规定载荷作用下，强度要求，就是指构件应有足够的抵抗破坏的能力。刚度要求，就是指构件应有足够的抵抗变形的能力。一变形的基本假设：连续性假设，均匀性假设，各向同性假设。一沿不同方向力学性能不同的材料，称为各向异性材料，如木材、胶合板和某些人工合成材 料。分布力表面力1集中力（火车轮对钢轨压力，滚珠轴承对轴的反作用力） 体积力是连续分布于物体内各点的力，例如物体的自重和惯性力等。 动载荷，静载荷应力p应分解为正应力 ，切应力T。一应力单位 pa，1pa=1N/m2；常用 Mpa，1Mpa=106pa。第二章拉伸、压缩与剪切2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力一习惯上，

2、把拉伸的轴力规定为正，压缩时的轴力规定为负。一用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。-Fn=A ；（x）=FN（x）/A（x）2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的内力和应力轴向拉伸（压缩）时，在杆件的横截面上，正应力为最大值；在与杆件轴线成45的斜截 面上，切应力为最大值。最大切应力在数值上等于最大正应力的二分之一。此外，a =90 时，a=Ta=0，这表示在平行于杆件轴线的纵向截面上无任何应力。（应力，p=F/A，45斜截面上，力一-2，面积一-2。）222.7安全因数许用应力和安全因数的数值，可以在有关部门的一些规范中查到。目前一般机械制造中，在静载的情况下，对塑性材料可取ns=1.22.

3、5。脆性材料均匀性较 差，且断裂突然发生，有更大的危险性，所以取nb=23.5,甚至取到39。2.8轴向拉伸或压缩时的变形一胡克定律，当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比=E ，弹性模量E的 值随材料而不同。lFFLlE AE AE即，对长度相同，受力相等的杆件，有EA越大则变形 1越小，所以称EA为杆件的抗拉/ 压刚度。泊松比，、当应力不超过比例极限时横向应变与轴向应变E之比的绝对值是一个常数，即I - I =M。M称为横向变形因数或泊松比，是一个量纲一的量。 f几种常用材料的E和M的约值（弹性模量，泊松比）材料名称E/ (Gpa)“碳钢1962160.24 0.28合金钢1862

4、060.25 0.30灰铸铁78.5 1570.23 0.27铜及其合金72.6 1280.31 0.42铝合金700.33若杆件横截面沿轴线变化；轴力也沿轴线变化。长为dx的微段，d(Al)=箜眺，则Al= 箜空E- A(x)L E- A(x)2.9轴向拉伸或压缩的应变能f固体受外力作用而变形；在变形过程中，外力所做的功将转变为储存于固体内的能量。固 体在外力作用下，因变形而储存的能量称为应变能。fdw = F d（Al）w= ； li Fd（Al），w = 1F -Alv = w = 1F - Al = 222EA11 1 cc E2 G2V G 也 v =V dv2.10拉伸、压缩超静定

5、问题几何关系，变形协调方程。胡克定律是唯一联系变形与轴力之间的关系。超静定问题是综合了静力方程，变形协调方程（几何方程）和物理方程等三方面关系求解的。 物理方程，变形协调方程。温度应力和装配应力一、温度应力温度变化将引起物体的膨胀或收缩。静定结构可以自由变形，当温度均匀变化时，并不会引 起构件的内力。但如超静定结构的变形受到部分或全部约束，温度变化时，往往就要引起内 力。当温度变化 T时，杆件的温度变形（伸长）应为AlT = al AT l，式中 气为材料的线胀 系数。先拆除联系，允许其自由膨胀AlT，再加入约束，应力引起变形Al，f协调方程二、装配应力f对静定结构，加工误差只不过是造成几何形

6、状的细微变化，不会引起内力；但对超静定结 构，加工误差往往要引起内力。应力集中的概念f实验结果和理论分析表明，在零件尺寸突然改变处的横截面上，应力并不是均匀分布的。 应力集中：因杆件外形突然变化，而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。f应力集中因数kuf，它反映了应力集中的程度，是一个大于1的因数。f截面尺寸改变的越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度就越严重。f用塑性材料制成的零件在静载作用下，可以不考虑应力集中的影响。对于脆性材料制成的 零件，应力集中的危害显得严重。f对于灰铸铁，其内部的不均匀性和缺陷往往是产生应力集中的主要因素，而零件的外形改 变所引起的应力集中就可能成为次要因素

7、，对零件的承载能力不一定造成明显的影响。f当零件受到周期性变化的应力或受冲击载荷作用时，不论是塑性材料还是脆性材料，应力 集中对零件的强度都有严重影响，往往是零件破坏的根源。2.13剪切和挤压的实用计算f剪切的特点是，对于构件某一截面两侧的力，大小相等、方向相反且相互平行，使构件的 两部分沿这一截面发生相对错动的变形。剪切面上的应力为剪应力，分布方式为均匀分布。T = ?（剪切面上的平均切应力）f安全因数n，许用切应力T ，强度条件T =板 T。A二、挤压的实用计算在外力作用下，连接件和被连接的构件之间，必将在接触面上相互压紧，这种现象称为挤压。bs =十，bs =十 bs。AbsAbs第三章

8、扭转f杆件的两端作用两个大小相等、方向相反，且作用平面垂直于杆件轴线的力偶，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，这就是扭转变形。3.2外力偶矩的计算扭矩图，横轴表示横截面位置，纵轴表示扭矩。右手螺旋法（传动轴上主动轮和从动轮安置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也就不同。）3.3纯剪力M = 2nr 6rrT 2nr 6二、切应力互等定理在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交 线，方向则共同指向或共同背离这一交线。（即切应力互等定理或称切应力双生定理）三、切应变，剪切胡克定律单元体的上、下、左、右四个侧面上，只有切应力而并无正应力，这种情况称为

9、纯剪切。f当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变Y与切应力T成正比，即剪切胡克定律。t = Gy式中G为比例常数，称为材料的切变模量。因Y的量纲为一，G的量纲与T相同。（钢材的G值约为80Gpa） f三个弹性常量，即弹性模量E，泊松比p，切变模量G。E：胡克定律，应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比，O =E。p :应力不超过比例极限时，横向应变 与轴向应变之比的绝对值是一个常数，I ： 1=即 G：当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变Y与切应力T成正比。T =GY。b对各向同性材料，可以证明三个弹性常数E，G，p之间存在下列关系：G =2 （1+Q四、剪切应变能3.4圆轴扭

10、转时的应力f圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和 大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变。f扭转角饥用弧度来度量。变形几何关系，yp=p dx，皿 是扭转角甲沿x轴的变化率，对一个给定的截面上的各点来说，它是常量。 dx横截面上任意点的切应变与改点到圆心的距离P成正比。物理关系，Tp = GYp，即Tp = GP艾表明，横截面上任意点的切应力Tp与该点到圆心的距离P成正比。因为Yp发生于垂直半径的平面内，所以Tp也与半径垂直。（也同时要注意到切应力互等定 理）静力关系，微分面积dA= Pd9- dp ; dA上的微内力TpdA，力矩P T

11、pdA。积分得到横截面上，力矩=人P TpdAT = A P Tp dA = G罕 A p2dAddx(T = TR )PIp，则T=maxwtIP = A P Tp2dA，横截面对圆心O的极惯性矩。IP的量纲为长度的四次方。t = gi瞟，（又Tp = GP 炊）消去，f T =TpdxpIp抗扭截面系数Wt =上t R 以上为以平面假设为基础导出的公式，只适用于等直圆杆；也可适用于圆截面沿轴线变化缓 慢的的小锥度锥形杆。f Wt实心圆轴，Wt =业316空心圆轴，Wt =却（1 -a4） a =-16D强度条件&ax =寸-T3.5圆轴扭转时的变形与刚度计算f扭转变形的的标志的标志是两个横

12、截面间绕轴线的相对转角，亦即扭转角。W = dxGIPd表示相距为dx的两个横截面之间的相对转角。沿轴线x积分，即可求得距离为l的两个横截面之间的相对转角为中=l d甲=Odx（若在两截面之间T的值不变，且轴为直杆，则工为常量。）GIP例如只在等直圆轴的两端作用扭转力偶时，P= JL （GIp称为圆轴的抗扭刚度）GI P用0表示变化率皿dx0 =业=工dx GI P甲的变化率0是相距为1单位长度的两截面的相对转角，称为单位长度扭转角，单位rad/m。扭转的刚度条件就是限定0的最大值不得超过规定的允许值，即中max =J -。max GIp工程中，习惯把（）/m作为0 的单位吗，0max =4乂

13、耍-们（）/m。GIp n3.6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形f螺旋弹簧簧丝的轴线是一条空间螺旋线，其应力和变形的精确分析比较复杂。但当螺旋角 a很小时，可以省略0的影响，近似的认为，簧丝横截面与与弹簧轴线（亦即叩力）在同一 平面内。一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。此外，当簧丝横截面的直径d远小于弹簧圈的 平均直径D时，还可以略去簧丝曲率的影响，近似的用直杆公式计算。3.7非圆截面杆扭转的概念f杆变形后杆的横截面已不再保持为平面（变成空间平面），这种现象称之为翘曲。故平面假设对非圆截面杆件的扭转已不再适用。非圆截面杆件的扭转可以分为自由扭转和约束扭转。等直杆两端受到扭转力偶的作用，且翘曲不受任

14、何限制的情况，属于宜由扭转。在自由扭转下，杆件各横截面的翘曲程度相同，纵向纤维的长度无变化，横截面上没有正应 力而只有切应力。约束扭转，由于约束条件或受力限制，造成杆件各截面翘曲程度不同，相邻截面间纵向纤维 长度改变，于是横截面上除切应力外还有正应力。工字钢、槽钢等薄壁杆件，约束扭转时横截面上的正应力往往很大；但一些实体杆件，如截面为矩形或椭圆杆件，因约束扭转而引起的正应力很小，与自由扭转并无太大差别。一任何情况下，杆件扭转时，横截面上边缘个点的切应力都与横截面边界相切，又切应力互等定理，一截面凸角处的切应力应为零。一横截面上的切应力分布：边缘各点的切应力形成与边界相切的顺流。四个角点上切应力

15、等于零。最大切应力发生于矩形长边的中点,且Tmax =盅；a是一个与比值h/b有关的系数，查表。短边中点的切应力T1是短边上最大切应力，T1=V Tmax，V与h/b有关，查表。杆件两端相对扭转角甲的公式中=G p hb3GIt一在狭长的矩形截面上，虽然最大切应力在长边的中 点，但沿长边各点的切应力实际上变化不大，接近相 等，在靠近短边处才迅速减小到零。第四章弯曲应力一作用于这些杆件的外力垂直于杆件的轴线，使原为直线变形后成为曲线。变形形式成为弯 曲变形。以弯曲变形为主的杆件习惯上称为梁。平面弯曲梁的横截面具有对称轴，横截面的对称轴和梁的轴线形成面（纵向对称面），梁的轴线在纵 向对称面内弯曲成

16、一条平面曲线，载荷作用在同一平面并使梁的轴线在平面内弯曲时称为平 面弯曲。（并不是梁要发生平面弯曲，就一定要有对称轴。）4.2受弯杆件的简化一、支座的几种形式简支静定外伸，悬臂铰支座；固定铰支座，滑动铰支座。4.4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图一在集中力作用截面的两侧，剪力有一突然变化，变化的数值就等于集中力。在集中力偶作用的截面的两侧，弯矩就有一突然变化，变化的数值就等于集中力偶矩。一刚节点节点连接的两个部分在其连接处夹角不变，即两部分在连接处夹角不变，即两部分在连接处 不能有相对转动，称为刚节点。各部分由刚节点连接而成的框架结构称为刚架。（刚架任意横截面上的内力，一般有剪力、弯矩和轴力）

17、内力可由静力平衡方程确定的刚架称为静定刚架。4.5载荷集度、剪力和弯矩间的关系 一直梁微段的平衡方程dFs（x）= q x，dM（x）= F x TOC o 1-5 h z dxdxS即，d2M（x）= dFs（X）=q（X）dx2dxdFs x = q x， dM x = F xdxdxS一对应于剪力图和弯矩图无载荷作用，即q（X）=0吗，剪力图是平行于x轴的直线，弯矩图是斜直线。若分布载荷q（X）向下，弯矩图应为向上凸的曲线；分布载荷q（X）向上，弯矩图应为 向下凸的曲线。弯矩的极值发生于剪力为零的截面上。第五章弯曲应力5.1纯弯曲一弯矩是垂直于横截面的内力系的合力偶矩；剪力是切于横截面的

18、内力系的合力。故，弯矩 只与横截面上的正应力。相关，而剪力FS与切应力t有关。一纯弯曲，只有正应力，但是没有切应力。一弯曲变形的平面假设：变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于 变形后的轴曲线。中性层，中性轴，纵向对称面。一对纯弯曲变形提出两个假设：（1）平面假设；（2）纵向纤维间无正应力。5.2纯弯曲时的正应力一几何关系，纤维bb的应变 = Y （Y为到中性轴距离，p为中性轴的曲率半径） P物理关系纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或压缩。当应力小于比例极限时，由胡克定律。=E。即。=E匕 任意纵向纤维的正应力与改点到中性轴的距离成正比。P静力关系y2 dA =

19、IZ横截面对Z轴（中性轴）的惯性矩1 =（曲率1） EIZ称为梁的抗弯刚度。P EIz p Z一。=业（纯弯曲时正应力的计算公式）Iz5.3横力弯曲时的正应力、一常见的弯曲问题多为横力弯曲，这时梁的横截面上不但有正应力，还有切应力。一由于切应力的存在，横截面不能再保持为平面。同时，横力弯曲下往往也不能保证纵向纤 维间没有正应力。一横力弯曲时，最大正应力发生于弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。I maxmax = J fax（。与截面，与点的位置有关）IZ一正应力不仅与M有关，而且与上有关，亦即与截面的形状和尺寸有关。故对截面为某些形 版状的梁或变截面进行强度校核时，不应只注意弯矩为最大值的截

20、面。WZ=J ，则max =%；广（W为抗弯截面系数，单位m3）若截面为高h宽b的矩形，W = 冬6若截面为直径为d的圆形，W = 住325.4弯曲切应力横力弯曲的梁横截面上既有弯矩又有剪力，所以横截面上既有正应力又有切应力。一、矩形截面梁一关于横截面上切应力的分布规律，以下做两点假设：（1）横截面上各点的切应力方向都平行于剪力FS；（2）切应力沿截面宽度均匀分布。一横截面的横线pq上的切应力T，即T =氐与版b式中，FS为横截面上的剪力，b为截面宽度，IZ为整个截面对中性轴的惯性矩。S为截面上距中性轴为y的横线以下部分面积对中性轴的静矩。hA1y1dA=2by1dy1=by2一最大切应力发生

21、于中性轴上，TmaxmaxFh2S8IZ=T = & (业y2 )以匕=耍，代入得T= 3 - Fs即最大切应力为平均切应力&的1.5倍。bh二、工字形截面梁一工字形截面梁腹板上的切应力。Z 12max 2 bh腹板截面是一个狭长矩形，关于矩形截面上切应力分布的两个假设仍适用。T 心IZ-bt = 4 Q h2 - h2 +壶址-y2 Tmax=5业-(b-bIZb08Tmin且空-岫【Zb。88一腹板上的最大和最小切应力分别是:一腹板几乎几乎负担了截面上的全部剪力；认为近似分布。近似得出腹板内的切应力T = 4 b0h0一工字梁翼缘的全部面积都在离中性轴最远处，每一点的正应力都比较大，所以翼

22、缘承担了 截面上的大部分弯矩。 细长梁的控制因素通常是弯曲正应力。满足弯曲正应力条件的梁，一般都能满足切应力的强度条件。只有在下述一些情况下，要进 行梁的弯曲切应力强度校核：1）梁的跨度较短，或在支座附近作用较大的载荷，以致梁的弯矩较小，而剪力颇大。2）铆接或焊接的工字梁，如腹板较薄而截面高度颇大，以致厚度与高度的比值小于型钢的 相应比值，这时，对腹板应进行切应力校核。3）经焊接、铆接或胶合而成的梁，对焊缝、铆钉或胶合面等，一般要进行剪切计算。一关于弯曲理论的基本假设：平面假设纵向纤维间无正应力材料是线弹性的5.6提高弯曲强度一、合理安排梁的受力情况合力布置梁的制作，支撑点略向中间移动，都可以

23、取得降低Mmax的T效果。 合理布置载荷，也可以收到降低最大弯矩的结果。在情况允许时，应尽可能把较大的集中力分散成较小的力，或者改变成分布载荷。二、梁的合理截面梁竖放比横放有较高的抗弯强度。截面形状不同，其抗弯截面系数wz也就不同，可以用比值*来衡量截面形状的合理性和经 济性。比值*较大则截面的形状就较为经济合理。工字钢、槽钢比矩形截面经济合理，矩形截面比圆形截面经济合理。一考虑到材料的特性对抗压和抗拉强度相等的材料（如碳钢），宜采用中性轴对称的截面，如圆形、矩形、工字 形等。对抗拉和抗压强度不相等的材料（如铸铁），宜采用中性轴偏于受拉一侧的截面形状。如：三、等强度梁的概念在弯矩较大处采用较大

24、截面，而在弯矩较小处采用较小截面，变截面梁。在变截面梁各横截面上的最大正应力都相等，且都等于许用应力，就是等强度梁。第六章弯曲变形6.2挠曲线的微分方程f在对称弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xy平面内的一条曲线，称为挠曲线。挠曲线上横坐标为x的任意点的纵坐标用w表示，它代表坐标为x的横截面的形心沿y方向的位移，称为挠度。 W=f （x）f弯曲变形中，梁的横截面对其原来位置转过的角度8,称为截面转角。tanB =，9 = arctan回（）挠度与转角是度量弯曲变形的两个基本量。（向上的挠度和反时针的转角为正。）f纯弯曲情况下，弯矩与曲率间的关系为1 = Mp EI些=M，d& = M 这是挠

25、曲线的近似微分方程。ds EI dx2 EI6.3用积分法求弯曲变形9 =*=虹dx + C3 = Mdx dx + Cx + DEI在挠曲线的某些点上，挠度或转角有时是已知的。例如，在固定端，挠度和转角都等于零；在铰支座上，挠度等于零。弯曲变形的对称点上，转角应等于零。f挠曲线应该是一条连续光滑的曲线，在挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠度和转角。f挠度为最大值的截面总是靠近跨度中点，所以可以用跨度中点的挠度近似地代替最大挠度。 只要挠曲线上无拐点，总可用跨度中点的挠度代替最大挠度。积分法的优点是可以求得转角和挠度的普遍方程。6.4用叠加法求弯曲变形f当梁上同时作用几个载荷时，可分别求出每一载

26、荷单独引起的变形，把所得变形叠加即为 这些载荷共同作用时的变形。即弯曲变形的叠加法。P188表6.1梁在简单载荷作用下的变形梁简图，挠曲线方程，端截面转角，最大挠度。6.6提高弯曲刚度的一些措施一、改善结构形式，减小弯矩的数值。二、选择合理的截面形状。第七章应力和应变分析，强度理论f围绕一点A取出的单元体，一般在三个方向的尺寸均为无穷小。以致可以认为它的每个面上，应力都是均匀的；且在单元体内互相平行的截面上，应力都是相同的，同等于过A点的 平行面上的应力。这样的单元体的应力状态可以代表一点的应力状态。研究通过一点的不同 截面上的应力变化情况就是应力分析的内容。主平面，主应力，单向应力状态；二向

27、或平面应力状态；三向或空间应力状态。7.2二向和三向应力状态的实例一二向应力状态：锅铲或其它圆形容器的应力状态。三向应力状态：滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点的应力状态；轮与钢轨的接触处。 一容器的对称性，包含直径的任意截面上皆无切应力。7.3二向应力状态分析一解析法一二向应力状态下，已知通过一点的某些截面上的应力后，如何确定通过这一点的其它截面 上的应力，从而确定主应力和主平面。一切应力Txy有两个角标，第一个角标x表示切应力作用平面的法线方向；第二角标y则表 示切应力的方向平行于y轴。关于应力的符号呢规定为：正应力以拉应力为正而压应力为负；切应力对单元体内任意点的矩为顺时针转向时，规定为正，反

28、之为负。一斜截面上的正应力气和切应力Ta随a角的改变而 变化，即和都是a的函数。a = x+ y + x- y cos2a t斗sin2at入= x- y sin2a + Txycos2atan2a0 = 2Txyx y在切应力等于零的平面上，正应力为最大值或最小值;主应力就是最大或最小的正应力。max /min = x+ y ( Qx -Qy ) 2 + TxyTmax/Tmin=（亍）2 + 玲最大和最小切应力所在的平面与主平面夹角为45。一主应力迹线，曲线上任一点的切线即代表该点主应力的方向。7.4二向应力状态分析一图解法应力圆7.5三向应力状态 7.11四种常用强度理论一强度失效的主要

29、形式有屈服与断裂两种，相应的强度理论也分成两类：一类是解释断裂失效（脆性破坏）的，有最大拉应力理论和畸变能密度理论；另一类是解释屈服失效（塑性）的，有最大切应力理论和畸变能密度理论。最大拉应力理论（第一强度理论）认为最大拉应力是引起断裂的主要因素。认为不论什么应力状态，只要最大拉应力达到与材料性质有关的某一极限值，则材料就发生 断裂。单向应力状态。只能计算拉应力，压应力不能计算。铸铁等脆性材料的拉伸，脆性材料的扭转。最大伸长线应变理论（第二强度理论）认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。单向拉伸。石料或混凝土等脆性材料受轴向压缩时。最大切应力理论（第三强度理论）认为最大切应力是引起塑性屈服的

30、主要因素。横截面上，正应力s，最大切应力Tmax。单向拉伸下，当与轴线成45的斜截面上的Tmax =艾时，出线屈服。；就是导致屈服的最大切应力的极限值。任意状态下，只要Tmax达到，就引起材料的屈服。Tmax=T- ， 1- =芸 1 -气=气得到第三强度理论建立的强度条件气一气-。最大切应力理论较为满意地解释了塑性材料的屈服现象。畸变能密度理论（第四强度理论）（形状改变比能理论）认为畸变能密度是引起屈服的主要因素。即认为无论什么应力状态，只要畸变能密度vd达 到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服。按第四强度理论得到的强度条件是：2 O1 -02 2 + 02 -03 2+气-1 2 - a（考虑了三个主应力的影响）f四种强度理论的应用铸铁、石料、混凝土、玻璃等脆性材料，常以断裂的形式失效，宜用第一和第二强度理论。 碳钢、铜、铝等塑性材料，通常以屈服的形式失效，宜用第三和第四强度理论。!同一材料在不同应力状态下也可能有不同的失效形式，如碳钢在不同单向拉伸下以屈服 的形式失效，但碳钢制成的螺钉受拉时，螺纹根部因应力集中引起三向拉伸，就会出现断裂。!无论是塑性或脆性材料，在三向拉应力相近的情况下，都将以断裂的形式失效，宜采用 最大