变分法的产生

1、约翰伯努利由微积分的创立，又产生了数学的一些重要分支，如微分方程、无穷级数、 微分几何、变分法等。18世纪数学家的主要任务是变分法，变分法的产生和 发展，最初来自三大问题:最速降线问题，等周问题和测地线问题.约翰在这些问题 的研究中都做出.约翰伯努利(Johann Bernoulli)是老尼古拉伯努利(Nikolaus Bernoulli， 1623-1708)的第三个儿子，雅格布伯努利(Jakob Bernoulli)的弟弟.幼年时他 父亲象要求雅格布一样，试图要他去学经商，他认为自己不适宜从事商业，拒绝 了父亲的劝告.1683年进入巴塞尔大学学习，1685年通过逻辑论文答辩，获得 艺术硕士

2、学位.接着他攻读医学，1690年获医学硕士学位，1694年又获博士学 位.约翰在巴塞尔大学学习期间，怀着对数学的热情，跟其哥哥雅格布秘密学习 数学，并开始研究数学.两人都对无穷小数学产生了浓厚的兴趣，他们首先熟悉 了 G. W.莱布尼兹(Leibniz)的不易理解的关于微积分的简略论述.正是在莱布 尼兹的思想影响和激励下，约翰走上了研究和发展微积分的道路.1691年6月，约翰在教师学报(Acta eruditorum)上发表论文，解决了 雅格布提出的关于悬链线的问题.这篇论文的发表，使他加入了 C-惠更斯 (Huygens)、莱布尼兹和I.牛顿(Newton)等数学家的行列.1691年秋天，约

3、翰到达巴黎.在巴黎期间他会见了 G. F. A. de洛比达 (LHospital)，并于16911692年间为其讲授微积分.二人成为亲密的朋友，建 立了长达数十年之久的通信联系.洛比达以后成为法兰西最有才能的数学家之16911692年间，约翰写了世界上第一本关于微积分的教科书，积分学部 分于1742年出版，微分学部分直到1924年才出版.1693年约翰开始与莱布尼兹建立了通信联系，信中就一些数学问题交换意 见.约翰是莱布尼兹的忠实拥护者，以全被卷入了莱布尼兹与牛顿关于微积分优 先权的争论，他极力为莱布尼兹辩护，并猛烈地批评甚至嘲笑英国人.法国巴黎 科学院院士 P.瓦里尼翁(Varignon)

4、也是约翰的密友，二人之间也进行了通信联 系.1695年，约翰获得荷兰格罗宁根大学数学教授的职务.他接受职务后，工 作特别努力，一面认真教学，一面在微积分方面做出了许多新的贡献.1705年， 约翰的哥哥雅格布去世，他去巴塞尔大学继任数学教授的职务，致力于数学教学， 直到1748年去世.由于约翰长期的教学活动和他对数学的贡献，受到当时科学界的高度评 价.1699年被选为巴黎科学院的国外院士； 1701年被接受为柏林科学协会(即 后来的柏林科学院)的会员；1712年被选为英国皇家学会的会员；1724年被选 为意大利波伦亚科学院的国外院士； 1725年被选为彼得堡科学院的国外院士.他 还在巴塞尔担任名

5、誉官职，是地方教育委员会的成员，成为当时巴塞尔的知名人 物.约翰由于在力学、天体力学、流体力学方面的研究成果，曾分别于1724年、 1730年和1735年三次获得巴黎科学院的奖赏.特别是1735年与他的儿子丹尼 尔伯努利(Daniel Bernoulli)共同完成的关于行星轨道理论的获奖文章，受到人们 的高度重视.约翰生活在17世纪下半叶到18世纪上半叶.这一时期数学上最突出的成 就就是微积分的发明与发展.由微积分的创立，又产生了数学的一些重要分支， 如微分方程、无穷级数、微分几何、变分法等.18世纪数学家的主要任务是致 力于这些学科分支的发展，而要完成这些任务，首先必须发展、完善微积分本 身

6、.约翰就是一个对微积分和与其相关的许多数学分支都做过重要贡献的人，是 18世纪分析学的重要奠基者之一.微积分学约翰首先使用“变量”这个词，并且使函数概念公式化.1698年他从解 析的角度提出了函数的概念：“由变量x和常数所构成的式子叫做x的函数”，记 作X或& 1718年他又改用哲表示x的函数.记号f(x)是欧拉于1734年才引 进的.约翰对一些具体函数进行过研究，除一般的代数函数外，他还引入了超越 函数，即三角函数、对数函数、指数函数、变量的无理数次幕函数及某些用积分 表达的函数.指出对数函数是指数函数的反函数.约翰对微积分的贡献主要是对积分法的发展.他曾采用变量替换来求某些函 数的积分，在

7、1699年的教师学报上给出了用变量替换计算积分约翰还提出了现在微积分中的一个著名定理洛比达定理(或法则)，它是用导 数求一个分式当分子和分母都趋于零(或无穷大)时的极限的.这个定理是由他的 学生洛比达在1696年编写的一本非常有影响的微积分教材无穷小分析 (Analyse des infi niment petits)中引入的，后称为洛比达法则.这个法则实际 上是1694年约翰给洛比达的信中告诉洛比达的.1742年约翰出版了他的著作积分学教程(Lections mathematies de method integralium)，在这本书中约翰汇集了他在微积分方面的研究成果，他不仅给出 了各种

8、不同的积分方法的例子，还给出了曲面的求积，曲线的求长和不同类型的 微分方程的解法，使微积分更加系统化.这部著作成为微积分学发展中的一本重 要著作，在当时对于推动微积分的发展和普及微积分的知识都起了积极的作用.微分方程 微积分的迅速发展和应用，必然导致了微分方程这门新学科的诞 生.其实微分方程的发展是与微积分的发展交织在一起的.约翰在这方面也是一 位开拓者.1691年6月约翰在教师学报上发表文章，解决了他哥哥雅格布提出的“悬 链线”问题，即“一根柔软而不能伸长的绳子自由悬挂于两固定点，求这绳所形成 的曲线”.约翰设法列出了该问题的微分方程其中s是由B点到任一点A之间的弧长，而a是A点处绳的张力在

9、水平方向的分量与单位绳长重力的比值.通过解此方程就得到悬链线的方程在此基础上，约翰与雅格布还在1691-1692年间解决了悬挂着的变密度非弹性 软绳、等厚度的弹性绳、以及在每一点上的作用力都指向一个固定中心的细绳所 形成的形状的问题.约翰和莱布尼兹在1694年引进了找等交曲线族的问题，即找一曲线或曲线 族，使得与已知曲线族相交成给定的角.约翰称等交曲线为轨线.他将这个问题 作为向雅格布的一个挑战.雅格布只解决了一些特殊的实例，约翰导出了一特殊 曲线族的正交轨线的微分方程，并在1698年找到了它的解.这个问题后来由莱 布尼兹与雅格布的学生J.赫曼(Jacob Hermann)得到较完美的解决.在

10、求解1695年雅格布给出的“伯努利方程”y，+P(x)y+Q(x)yn=01727年，约翰在一篇论文中研究了弦振动问题，考虑一根无重量的弹性弦， 在弦上等间隔地放置着n个等质量的质点，当放置6个质点时，从而证明了在任何时刻弦的形状必定是正弦 曲线.这一事实也出现在约翰给他的儿子丹尼尔的信中.约翰后来还解决了一个 抛射体在阻力正比于速度的任何次幕的介质中运动的问题。变分法 变分法的产生和发展，最初来自三大问题：最速降线问题，等周问题和 测地线问题.约翰在这些问题的研究中都做出了贡献.约翰在1696年6月号的教师学报上提出了一个作为向雅格布和欧洲数 学家挑战的题目：设不在同一铅直线上的两点A与B，

11、使一质点只在重力的影响 下从A点滑向B点，求所需时间最短的途径(摩擦和空气阻力不计).这就是最速 降线问题.对这个问题，牛顿、莱布尼兹、洛比达、雅格布伯努利和约翰伯努 利都得到了正确的解答.最速降线是一条联结A，B两点的上凹的旋轮线(又称 圆滚线或摆线).他们的答案相同，而解法各异.除雅格布的解法外，其他人的 解法都发表在1697年5月号的教师学报上.后来欧拉和J. L.拉格朗日 (Lagrange)给出了这类问题的一般解法.在这个问题的解决过程中，显示了约翰 的才能，他是通过机灵的直觉解决这个问题的.他将这一机械问题，通过已有的 费马最小时间原理的分析转化为光学问题，从光的折射定律推出了旋轮

12、线的微分 方程.雅格布从另一个角度给出了一个较麻烦但更一般的解法.伯努利兄弟对旋 轮线是最速降线问题的解感到惊奇和振奋，约翰说：“我们之所以钦佩惠更斯， 是因为他首先发现了在一个旋轮线上的大量质点下落，它们总是同时到达，与质 点的起始位置无关紧要.然后，当你听到我肯定说旋轮线就是惠更斯的等时曲线 的时候，可能惊讶得简直发呆.等时曲线是最速降线我们看得很清楚.”在1697年5月号的教师学报上，雅格布伯努利提出了一个含几种情形 的相当复杂的等周问题(即在给定周长的所有封闭曲线中求一条曲线，使得它所 围的面积最大)，作为向约翰的挑战.约翰开始过低地估计了这个问题的复杂性， 没有弄清这个变量问题的特性

13、，所以在1697年和1701年两次给出的解答都没 有得到成功，这受到了雅格布无情的批评.1700年5月雅格布在教师学报 上发表了关于等周问题的解，指出这条曲线是一个圆.1718年，约翰继续研究 了等周问题，他沿着雅格布的思路，改进了雅格布的解法，在科学院论文集 (Memoires de IAcademie dessciences)中约翰的论文给出了一个精确的、形式 上漂亮的等周问题的解法.这篇论文包含了关于变分法的现代方法的核心，提出 了变分法的一些概念，奠定了变分法的基础.约翰与他的哥哥雅格布还对测地线问题进行了研究测地线是指曲面上两点 间长度最短的路径.1697年，约翰在博学杂志(Jour

14、nal des scavans)中， 提出了在凸曲面上求两点间的最短弧问题，1698年8月26日，他还写信给莱 布尼兹，谈到他觉察到的测地线的特有的性质.1698年，雅格布解决了锥面和 旋转面上的测地线问题，1728年约翰又用雅格布的方法取得了一些进展，并且 求得了另外几类曲面的测地线.由于在最速降线问题、等周问题及测地线问题的 研究中约翰的出色工作，使之成为变分法的先驱者之一.此外，约翰在数学的其他领域，如解析几何等学科中，也做过一些有益的 工作.1715年约翰在给莱布尼兹的信中引进了现在通用的用三个坐标平面建立 空间坐标系的方法，提出了用三个坐标变量的方程表示曲面的方法.力学 约翰不仅在纯

15、数学方面做了大量的工作，而且他在把微积分应用到物 理学特别是力学和天体力学方面所作的著述，也有很高的价值.约翰对一些力学上的概念作出了准确的解释.1714年，他发表了军舰操 作技术原理(Theorie de la manoeuvre des vaisse-aux)，在这本书中，他澄清 了笛卡儿理论中关于力与“能量”(当时称为vis viva)的混乱.1715年，他又提出 了所谓虚拟(virtual)速度原理。727年，他发表了论文“论运动的交换规律”(Discourssur leslois de la communication du mouvement)，在这篇论文中，讨论了行星的椭圆轨道和

16、行星 轨道的倾斜度.但是在引力理论方面，由于他的偏见，不支持牛顿的理论，而且 为笛卡儿的旋涡理论辩护，推迟了牛顿力学在欧洲大陆的传播.在实验物理方面，他研究了光学现象，提出了焦散面理论.在1692年的教 师学报中，他得到了某些焦散面方程，例如当一束平行光线投射到球面镜上时， 从球面上反射出来的光线的焦散面方程.他还把最速降线问题的研究扩展到了可 以确定光线在各种不同密度的介质中所通过的路径.他还研究了弦振动问题及水 力学等问题，提出过二阶甚至三阶的方程.约翰伯努利是1718世纪在欧洲有影响的数学家.约翰在他的科学生涯 中，采用通信等方式与其他科学家建立了广泛的联系，交流学术成果，讨论和辩 论一些问题，这是他学术活动的一大特点.他与110位学者有通信联系，进行学 术讨论的信件大约有2500封，这大大促进了学术的发展.约翰一生另一特点是