高中数学直线和圆地方程知识点总结

1、专业整理高中数学之直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：找：直线向上方向、x轴正方向；平行：=0；X围：0180。2、斜率：找k：k=tan（90）；垂直：斜率k不存在；X围：斜率kR。y1y2y2y13、斜率与坐标：ktanx1x2x2x1构造直角三角形（数形结合）；斜率k值于两点先后顺序无关；注意下标的位置对应。4、直线与直线的位置关系：l1:yk1xb1,l2:yk2xb2相交：斜率k1k2（前提是斜率都存在）特例-垂直时：l1x轴，即k1不存在，则k20；斜率都存在时：k1k21。平行：斜率都存在时：k1k2,b1b2；斜率都不存在时：两直线都与x轴垂直。重合：斜率都存在时：k1k2

2、,b1b2；二、方程与公式：1、直线的五个方程：点斜式：斜截式：yy0k(xx0)将已知点(x0,y0)与斜率k直接带入即可；ykxb将已知截距(0,b)与斜率k直接带入即可；两点式：yy1xx1，(其中x1x2,y1y2)将已知两点(x1,y1),(x2,y2)直接y2y1x2x1带入即可；截距式：一般式：xy1将已知截距坐标(a,0),(0,b)直接带入即可；abAxByC0，其中A、B不同时为0用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可WORD格式专业整理3、距离公式：两点间距离：P1P2(x1x2)2(y1y2)2点到直线距离：d

3、Ax0By0CA2B2C1C2平行直线间距离：dA2B24、中点、三分点坐标公式：已知两点A(x1,y1),B(x2,y2)AB中点(x0,y0)：(x1x2,y1y2)22AB三分点(s1,t1),(s2,t2)：(2x1x2,2y1y2)靠近A的三分点坐标33(x12x2,y12y2)靠近B的三分点坐标33中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。直线的对称性问题已知点关于已知直线的对称:设这个点为P（x0，y0）,对称后的点坐标为P（x，y），则pp的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp的中点坐标在已知直线上。三、解题指导与易错辨析：1、

4、解析法（坐标法）：建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标；依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果；将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。y2、动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：PAPB的最小值：找对称点再连直线，如右图所示：PAPB的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”；ox2PAPB的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。3、直线必过点：含有一个参数-y=(a-1)x+2a+1=y=(a-1)(x+2)+3令：x+2=0=必过点(-2,3)含有两个参数-(3m-n)x+(m+2n)y-n=0=m(3x+y)+n(2y-x

5、-1)=0令：3x+y=0、2y-x-1=0联立方程组求解=必过点(-1/7,3/7)4、易错辨析：讨论斜率的存在性：解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：斜率不存在时，是否满足题意；斜率存在时，斜率会有怎样关系。注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；（求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）WORD格式专业整理直线到两定点距离相等，有两种情况：直线与两定点所在直线平行；直线过两定点的中点。圆的方程定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径.圆的方程表示方法：第一种：圆的一般方程x2y2DxEyF0其中圆心CD,E，22半径r

6、D2E24F.当D2E224F0时，方程表示一个圆，当D2E24F0时，方程表示一个点D,E.22当D2E24F0时，方程无图形.第二种：圆的标准方程(xa)2(yb)2r2.其中点C(a,b)为圆心，r为半径的圆第三种：圆的参数方程圆的参数方程：xarcos（为参数）ybrsin注：圆的直径方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)03.点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(xa)2(yb)2r2.M在圆C内(x0a)M在圆C上（x0a)M在圆C外(x0a)2(y0b)(y0b)2(y0b)r2r2r2直线和圆的位置关系：设圆圆C：(xa)

7、2(yb)2r2(r0)；直线l：AxByC0(A2B20)；圆心C(a,b)到直线l的距离AaBbCdA2B2.dr时，l与C相切；dr时，l与C相交；，dr时，l与C相离.5、圆的切线方程：一般方程若点00 x0a)+(yb)(y02特别地，(x,y)在圆上，则(xa)(b)=R.过圆x2y2r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0 xy0yr2.(注:该点在圆上，则切线方程只有一条)WORD格式专业整理y1y0k(x1x0)若点(x0,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则by1k(ax1)，联立求出k切线方程.（注：RR21过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条

8、切线必定是垂直于轴的直线。）圆系方程：过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0222222则过两圆的交点圆方程可设为：22111C:x+y+Dx+Ey+F=0 x+y+Dx+Ey+F+x2+y2+D2x+E2y+F2）=0过两圆的交点的直线方程：x2+y2+D1x+E1y+F1-x2+y2+D2x+E2y+F2=0（两圆的方程相减得到的方程就是直线方程）7.与圆有关的计算：弦长的计算：AB=2*R2-d2其中R是圆的半径，d等于圆心到直线的距离AB=（1+k2）*X1-X2其中k是直线的斜率，X1与X2是直线与圆的方程联立之后得到的两个根过圆内的一点的最

9、短弦长是垂直于过圆心的直线圆内的最长弦是直径8.圆的一些最值问题圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则（x-a）/（y-b）的最值可以转化为圆上的点与该点（a，b）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。假设（Px，y）是在某个圆上的动点，则求x+y或x-y的最值可以转化为：设T=x+y或T=x-y，在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y轴上的截距最值化。圆的对称问题已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直

10、线对称后得到的圆心坐标即可。若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标圆锥曲线椭圆椭圆：平面内到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）的点的集合1、定义：PF1PF22a(2aF1F2)PFc第二定义：e(0e1)da2、标准方程：x2y21(ab0)或y2x21(ab0)；a2b2a2b2WORD格式专业整理xacos3、参数方程（为参数）几何意义：离心角ybsin4、几何性质：（只给出焦点在x轴上的的椭圆的几何性质）、顶点(a,0),(0,b)、焦点(c,0)、离心率ec(0e1)a准线：xa2（课改后对准线不再要求，但题目中偶尔给出）c5

11、、焦点三角形面积：SPF1F2b2tan（设F1PF2）(推导过程必须会)26、椭圆面积：S椭ab（了解即可）7、直线与椭圆位置关系：相离（0）；相交（0）；相切（0）判定方法：直线方程与椭圆方程联立，利用判别式判断根的个数8、椭圆切线的求法1）切点（x0y0）已知时，x2y21(ab0)切线x0 xy0y1a2b2a2b2y2x21(ab0)切线y0yx0 x1a2b2a2b22）切线斜率k已知时，x2y21(ab0)切线222a2b2ykxakby2x21(ab0)切线ykxb2k2a2a2b29、焦半径：椭圆上点到焦点的距离x2y21(ab0)raex0（左加右减）a2b2y2a21(a

12、b0)raey0（下加上减）a2b2双曲线1、定义：PF1PF22aPFc第二定义：e(e1)daWORD格式专业整理2、标准方程：x2y21(a0,b0)（焦点在x轴）a2b2y2x21(a0,b0)（焦点在y轴）a2b2xasec（为参数）用法：可设曲线上任一点P(asec,btan)参数方程：btany3、几何性质顶点(a,0)焦点(c,0)c2a2b2ce1离心率ea准线xa2c渐近线x2y21(a0,b0)bx2y20a2b2yx或b2aa2y2x21(a0,b0)by2x20a2b2yx或b2aa24、特殊双曲线、等轴双曲线x2y21e2渐近线yxa2a2、双曲线x2y21的共轭双

13、曲线x2y21a2b2a2b2性质1：双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线性质2：双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上5、直线与双曲线的位置关系相离（0）；相切（0）；相交（0）判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起0时可以是相交也可以是相切6、焦半径公式x2y21(a0,b0)点P在右支上rex0a（左加右减）a2b2点P在左支上r(ex0a)（左加右减）WORD格式专业整理y2x21(a0,b0)点P在上支上a2b2点P在上支上rey0a（下加上减）r(ey0a)（下加上减）7、双曲线切线的求法切点Px2y21(a0,b0)切线x0 xy0y1(x0,y0)已知b2a2b2a2y2x

14、21(a0,b0)切线y0yx0 x1a2b2a2b2切线斜率x2y21ykxa2k2b2(kbK已知2b2)aay2x21ykxa2b2k2(kb)a2b2a8、焦点三角形面积：SPF1F2b2cot（为F1PF2）2抛物线1、定义：平面内与一定点和一定直线的距离相等的点的集合（轨迹）2、几何性质：P几何意义：焦准距焦点到准线的距离设为P标准方程：y22px(p0)y22px(p0)图像：X围：x0 x0对称轴：x轴x轴顶点：（0，0）（0，0）焦点：（p,0）（p,0）22离心率：e1e1准线：xpxp22标准方程：x22py(p0)x22py(p0)图像：X围：y0y0对称轴：y轴y轴W

15、ORD格式专业整理定点：（0，0）（0，0）焦点：（0，p）(0,p)22离心率：e1e1准线：ypyp22x2pt2y22px(p0)3、参数方程2pt（t为参数方程）y4、通径：过焦点且垂直于对称轴的弦椭圆：双曲线通径长2b2抛物线通径长2Pa5、直线与抛物线的位置关系1）相交（有两个交点或一个交点）2）相切（有一个交点）；3）相离（没有交点）6、抛物线切线的求法1）切点P(x0,y0)已知：y22px(p0)的切线；y0yp(xx0)2）切线斜率K已知：y22px(p0):ykxp2ky22px(p0):ykxp2kx22py(p0):ykxpk2222py(p0):ykxpk2x2此类

16、公式填空选择或解答题中（部分）可作公式直接应用附加：弦长公式：ykxb与曲线交与两点A、B则21dABx2x11ky2y11k2解题指导：轨迹问题：(一)求轨迹的步骤1、建模：设点建立适当的坐标系，设曲线上任一点p（x，y）2、立式：写出适条件的p点的集合3、代换：用坐标表示集合列出方程式f（x，y）=04、化简：化成简单形式，并找出限制条件5、证明：以方程的解为坐标的点在曲线上（二）求轨迹的方法WORD格式专业整理1、直接法：求谁设谁，按五步去直接求出轨迹2、定义法：利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义3、转移代入法：适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题4、交轨法

17、：适用于求两条动直线交点的轨迹问题。用一个变量分别表示两条动直线，然后联立，消去变量即可。5、参数法：用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标，联立消参。6、同一法：利用两种思维分别求出同一条直线，再参考参数法，找到轨迹方程。弦长问题：|AB|=(1k2)(x1x2)24x1x2。弦的中点问题：中点坐标公式-注意应用判别式。.求曲线的方程1曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决。1（1994年全国）已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法

18、。设出它们的方程，L：y=kx(k0),C:y2=2px(p0).设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：/（k212k/（16k8(k21)）。因为/均在抛物线上，代入，消去p，Ak2,k2），Bk2,1A、B111k2得：k2-k-1=0.解得：k=15,p=25.25所以直线L的方程为：y=125x,抛物线C的方程为y2=45x.52曲线的形状未知-求轨迹方程3（1994年全国）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1,动M点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（0）,N求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。分析：如图，设MN切圆C于

19、点N，则动点M组成的OQWORD格式专业整理集合是：2222P=M|MN|=|MQ|，由平面几何知识可知：|MN|=|MO|-|ON|=|MO|-1，将M点坐标代入，22222可得：(-1)(x+y)-4x+(1+4)=0.当=1时它表示一条直线；当1时，它表示圆。这种方法叫做直接法。.研究圆锥曲线有关的问题B1有关最值问题例6(1990年全国)C设椭圆中心为坐标原点，长轴在x上，离心率，OAx已知点P（0，3）到这个椭圆上的点的最远距离是7，2求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标。分析：最值问题，函数思想。关键是将点P到椭圆上点的距离表示为某一变量是函数，然后利用函数的知识求其最大值。设椭圆方程为x2y21，则由e=3a2b22得：a2=4b2，所以x2=4b2-4y2.设Q(x,y)是椭圆上任意一点，则:|PQ|=x2(y3)2=4b24y2(y3)23