江苏省南京金陵中学2019届高三第一学期期中考试数学试卷含答案解析

1、an6，n7，且数列an是递增数列，则实数a的范围是_2019届江苏省南京金陵中学高三第一学期期中考试数学试题数学7已知，则_（3a）n3，n7，8设a0，若an9在平面直角坐标系xOy中，若曲线(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线垂直，则2a3b的值是_2EB若BDAC注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在

2、试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、填空题10若函数在上不单调，则的取值范围是_11如下图，在ABC中，ABAC,BC2,ADDC,AE1_12，则CEAB12已知函数，1设集合A，B1，0，1，2，4，则AB_2已知复数，其中i是虚数单位，则的值是_3已知一组数据2，4，5，6，8，那么这组数据的方差是_4从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，则这2名代表都是女同学的概率为_5如图是一个算法的流程图，则输出a的值是_，则关于x的方程的解的个数为_13已知正数a，b，c满足，则的最大值为_14若存在正数x，y

3、，使得，其中e为自然对数的底数，则实数的取值范围是_二、解答题15如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD平面ABCD，M为PC中点求证：（1）PA平面MDB；（2）PDBC6在平面直角坐标系xOy中，若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则实数p的值为_16已知，（1）求的值；（2）求的值17如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成eqoac(,Rt)FHE，H是直角项点)来处理污水管道越长，污水净化效果越好设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上已知AB20米，AD米，记BHE21二阶矩阵M对应的变换将

4、点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2)（1）求矩阵M的逆矩阵；（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：，求l的方程22在极坐标系中，设圆上的点到直线的距离为d，求d的最大值23如图，已知三棱锥OABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA1，OBOC2，E是OC的中点（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求二面角ABEC的余弦值18在平面直角坐标系xOy中，圆O：与坐标轴分别交于A，A，B，B(如图)（1）试将污水净化管道的长度L表示为的函数，并写出定义域；（2）当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度L1212（1）点Q是圆O上除A1，A2外的任意点

5、(如图1)，直线A1Q，A2Q与直线交于不同的两点M，N，求线段MN长的最小值；（2）点P是圆O上除A1，A2，B1，B2外的任意点(如图2)，直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2mk为定值24已知，（1）若，求中含x2项的系数；（2）若是展开式中所有无理项的系数和，数列是由各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：（1）已知，为奇数（图1）（图2）19设函数，其中x0，k为常数，e为自然对数的底数（1）当k0时，求的单调区间；（2）若函数在区间(1，3)上存在两个极值点，求实数k的取值范围；（3）证明：对任意给定的实数k，存在(

6、)，使得在区间(，)上单调递增20若数列同时满足：对于任意的正整数n，恒成立；若对于给定的正整数k，对于任意的正整数n(nk)恒成立，则称数列是“R(k)数列”，为偶数，判断数列是否为“R(2)数列”，并说明理由；（2）已知数列是“R(3)数列”，且存在整数p(p1)，使得，成等差数列，证明：是等差数列2019届江苏省南京金陵中学高三第一学期期中考试数学试题数学答案参考答案11，2【解析】【分析】先化简集合A，然后求交集即可.【详解】集合A，又B1，0，1，2，4AB1，2【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查对数函数的单调性，是基础题2【解析】【分析】利用复数的运算法则、模

7、的计算公式即可得出【详解】复数z=（1+i）（1+3i）=13+4i=2+4i，|z|=故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题34【解析】【分析】先求出这组数据的平均数，再求这组数据的方差【详解】一组数据2，4，5，6，8，这组数据的平均数=5，这组数据的方差S2=（25）2+（45）2+（55）2+（65）2+（85）2=4故答案为：4【点睛】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用4【解析】【分析】计算从2男3女共5名同学中任选2名学生和选出的2名都是女同学的选法种数，利用古典概型概率公式计算可得答案【详解】从2男

8、3女共5名同学中任选2名学生有=10种选法；其中选出的2名都是女同学的有=3种选法，2名都是女同学的概率为故答案为：【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是求得符合条件的基本事件个数510【解析】【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案【详解】当a=1，b=12时，不满足ab，故a=4，b=10，当a=4，b=10时，不满足ab，故a=7，b=8，当a=7，b=8时，不满足ab，故a=10，b=6，当a=10，b=6时，满足ab，故输出的a值为10，故答案为：10【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或

9、有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答62【解析】【分析】先根据椭圆方程求出椭圆的右焦点坐标，因为抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，所以抛物线的焦点坐标可知，再根据抛物线中焦点坐标为（，0），即可求出p值【详解】中a2=4，b2=3，c2=1，c=1右焦点坐标为（1，0）抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，根据抛物线中焦点坐标为（，0），则p=2故答案为：2【点睛】本题主要考查了椭圆焦点与抛物线焦点的求法，属于圆锥曲线的基础题7【解析】【分析】利用sin2x=cos（2x+）=2sin2（x+）即可得到结果.【详解】，sin2x=cos（2x+）=2sin2（x+）=1=，【

10、分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，5），且该曲线在点P处的切线与直线2x7y+3=0垂直，可得y|x=2=5，且y|x=2=，解方程可得答案【详解】直线2x7y+3=0的斜率k=，切线的斜率为，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，5），且该曲线在点P处的切线与直线2x7y+3=0垂直，y=2ax，解得：a=1，b=2，故2a3b=8，故答案为：8【点睛】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=5，且y|x=2=，是解答的关键100或【解析】此题考查导数的应用；，所以当时，原函数递增，当原函数递减；因为在上不单调，所以在上即有减又有

11、增，所以或或故答案为：【点睛】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键1143【解析】因为ADDC，所以BD12BABC,又因为ACABCB，所以【解析】由an是递增数列，得a1，解得a9或a2，aa，BDAC1BABCABCB。即1BABCAB214ABAC5，又CE1cosA55482a398【解析】3a0，87?1a3，2a31ABCB，也即AB2CB21，所以22213ABCA，故CEAB3ABABCAAB，由余弦定理得31344255，则CEAB35553，应填答案3。点睛：本题综合考查向量的几何运算法则、数量积公式、余弦定理等许多重要基础知识和

12、基本方法，同时也考查了等价转化与化归、函数方程等重要数学思想的综合运用。12【解析】由题意得，或，即（舍去）或或，若，则或，故（舍去）或或，若，则或，故或或，故方程，共有个解，故答案为.13【解析】【分析】利用求根公式得到，表示目标，借助均值不等式求最值.【详解】，当且仅当a=c时取等号.【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：.关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值14(，0)，)【解析】【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数

13、极值和单调性的关系进行求解即可【详解】由得x+s（y2ex）ln=0，即1+s（2e）ln=0，即设t=，则t0，则条件等价为1+s（t2e）lnt=0，即（t2e）lnt=有解，设g（t）=（t2e）lnt，g（t）=lnt+1为增函数，g（e）=lne+1=1+12=0，当te时，g（t）0，当0te时，g（t）0，即当t=e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）=（e2e）lne=e，即g（t）g（e）=e，若（t2e）lnt=有解，则e，即e，则s0或s，故答案为：s0或s【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极

14、值和最值是解决本题的关键综合性较强15（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）线面平行的判定关键在证相应线线平行，线线平行的证明或寻求需要结合平面几何的知识，如中位线平行于底面，因为本题中M为PC中点，所以应取BD的中点作为解题突破口；（2）线线垂直的证明一般需要经过多次线线垂直与线面垂直的转化，而对于面面垂直，基本是单向转化，即作为条件，就将其转化为线.面垂直；作为结论，只需寻求线面垂直如本题中面PCD与面ABCD垂直，就转化为BC平面PCD，到此所求问题转化为:已知线面垂直，要求证线线垂直.在线线垂直与线面垂直的转化过程中，要注意充分应用平面几何中的垂直条件,如矩形邻边相互

15、垂直.试题解析：证明：（1）连结AC交BD于点O,连结OM.2分因为M为PC中点,O为AC中点，所以MO/PA.4分因为MO平面MDB，PA平面MDB,所以PA/平面MDB.7分（2）因为平面PCD平面ABCD,平面PCD平面ABCD=CD,BC平面ABCD,BCCD,所以BC平面PCD.12分因为PD平面PCD,所以BCPD14分考点：直线与平面平行判定定理，面面垂直性质定理.16(1)；(2)=.【解析】试题分析：(1)利用同角三角函数基本关系可得由题意可得，由于，所以，即，设，则，由于，由于在上是单调减函数，a.s，ss则ass，结合二倍角公式可得aa当时，即或时，L取得最大值为米(2)

16、由题意结合同角三角函数基本关系求得s=，结合角的范围可知=.试题解析：18（1）2；（2）证明见解析。【解析】【分析】0（1），s，2，（1）设A2Q的斜率为k，求出直线A1Q和A2Q的方程，得出M，N的坐标，从而得出MN关于k的表达式，得ssas，进而得出MN的最小值；s则aaa（2）求出直线方程，得出E、F的坐标，进而得出m与k的关系，从而得出结论【详解】（2）由，2，2，2(1)由题设可以得到直线的斜率存在设方程为,又s，直线的方程为,2ss=由=得：s=sssss=，=.17（1），；（2）或时，L取得最大值为米.【解析】【分析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由L

17、=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明的范围（2）设ss=，根据函数L=在，上是单调减函数，可求得L的最大值由,解得;由,解得所以,直线与直线的交点直线与直线的交点,所以.当时,等号成立的条件是当时,等号成立的条件是.故线段长的最小值是2.(2)法1:由题意可知,的斜率为,直线的方程为,由得则直线的方程为,令,则,即所以当时，即或时，L取得最大值为米【详解】直线,由的方程为解得，的斜率,(定值).法2:设,所以直线方程:直线方程,则,得而,得,则（定值）。【点睛】求定值问题常见的方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量

18、，从而得到定值19（1）单调递减区间为（0,3），单调递增区间为；（2）；（3）证明见解析。【解析】【分析】（1）f（x）=分别令f（x）0，f（x）0，解出x的取值范围即可；f（2）函数（x）在（1,3）内存在两个极值点，有两个实数根化为，因此在内存在两个实数根利用导数研究其单调性极值即可；（3）令，得，在上单调递增，进而分析可得结果.【详解】,（1）当时，对任意的都成立.所以，当时，；当时，所以，的单调递减区间为（0,3），单调递增区间为.（2）由函数在区间（1,3）上存在两个极值点，得在区间（1,3）上至少有两个解，即在区间（1,3）至少有两个解.令，则所以，当时，；当，所以在区间（1,

19、2）上单调递减，在区间（2,3）上单调递增.又，所以，且，即.此时，存在x1(1,2),x2(2,3)使得且当x(1,x1)时，当x(x1,x2)时，当x(x2,，3)，满足条件.所以k的取值范围为(3)令，得，当时，当且仅当时等号成立，所以，在上单调递增，所以，当时，及，当时，.设为3和中较大的数，则当时，所以对任意给定的实数，存在，式得在区间上单调递增.20（1）是（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据定义验证两个条件是否成立，由于函数为分段函数，所以分奇偶分别验证（2）根据定义数列隔项成等差，再根据单调性确定公差相等，最后求各项通项，根据通项关系得数列通项，根据等差数列证结论试题解析：

20、（1）当为奇数时，所以.当为偶数时，所以.所以，数列是“数列”.（2）由题意可得：，则数列，是等差数列，设其公差为，数列，是等差数列，设其公差为，数列，是等差数列，设其公差为.因为，所以，所以，所以，.若，则当时，不成立；若，则当时，不成立；若，则和都成立，所以.同理得：，所以，记.设，则.同理可得：，所以.所以是等差数列.【另解】，以上三式相加可得：，所以，【详解】（1）设，则有，所以，且，解得所以，从而.（2）因为，且，所以，即，这就是直线的方程。【点睛】本题主要考查了逆矩阵与投影变换，以及直线的一般式方程等基础知识，属于基础题224【解析】将极坐标方程3化为普通方程，得圆：x2y29.极坐标方程(ss)2化为普通方程，得直线：xy2.在x2y29上任取一点A(3s，3s