无穷限反常积分敛散性及审敛法则

1、学习必备欢迎下载无穷限反常积分敛散性及审敛法则一、教学目标分析在开始本节课程学习之前，学生已经对定积分有所了解，并初步掌握定积分的基本知识，本节通过介绍反常积分，加深学生对积分的了解，使同学对积分的了解更加系统化，并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑。让学生反常积分在一些实际问题中的应运。二、学情/学习者特征分析学生通过对前面课程的学习，对积分已经有了初步的了解。但对于一些特殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑。由于本节内容有点枯燥，所以要积极调动学生的兴趣，培养好课堂气氛，使学生充分掌握本节课的内容。三、学习内容分析1.本节的作用和地位通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题，

2、这些问题通常是一些实际问题。例如：常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分等问题。2本节主要内容1.无穷限反常积分的定义与计算方法2.无穷限反常积分的性质3.无穷限反常积分的比较审敛法则4.条件收敛与绝对收敛3.重点难点分析教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则；教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则。4.课时要求：2课时四、教学理念学生在之前就已经掌握了一定的知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解反常积分，尤其是其在一些实际问题中的应运。五、教学策略在教学中主要讲清反常积分的定义及其性质，并适时举例讲解，引导学生互动，相互讨论解决问题。学习必备欢迎下载

3、六.教学环境网络环境下的多媒体教室与课堂互动。七、教学过程一、无穷限反常积分的定义定义1设函数定义在无穷区间a,)上，且在任何有限区间a,u上可积如果存在极限limuf(x)dxJua则称此极限J为函数f在a,)上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作Jf(x)dx，并称f(x)dx收敛如果极限limuf(x)dxJ不存在，亦称af(x)dx发散aaua类似地，可定义f在(,b上的无穷积分：bf(x)dxlimbf(x)dx.uu对于f在(,)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：f(x)dxaf(x)dxf(x)dx,其中a为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收a敛时它才是收敛的注：f

4、(x)dx收敛的几何意义是：若f在a,上为非负连续函数，则介于曲线ayf(x)，直线xa以及x轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J例1讨论无穷积分1)0dx1x2dx.，2)1x2.，3)xex2dx.的收敛性0例2讨论下列无穷积分的收敛性：1)1dxxp，2)2dxx(lnx)p;二、无穷积分的性质由定义知道，无穷积分f(x)dx收敛与否，取决于积分上限函数F(u)uf(x)dx在aau时是否存在极限因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则定理11.1无穷积分f(x)dx收敛的充要条件是：任给0，存在Ga，只要au,uG，便有12u2af(x)dxu1f(x)dxau2u1

5、f(x)dx学习必备欢迎下载此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质性质1若f(x)dx与aa1f(x)dx都收敛，k,k为任意常数，则212akf(x)kf(x)dx也收敛，1122k且af(x)kf(x)dxk11221af(x)dxk12af(x)dx2性质2若f在任何有限区间a,u)上可积，且有f(x)dx收敛，则f(x)dx亦aa必收敛，并有证：f(x)dxf(x)dxaaf(x)dx由收敛，根据柯西准则(必要性)，任给0，存在Ga，当auuG时，总有21u2u1f(x)dxu2f(x)dx.利用定积分的绝对值u1不等式，又有u2u1f(x)dxu2f(

6、x)dx.u1再由柯西准则(充分性)，证得f(x)dx收敛a又因uf(x)dxuf(x)dx，令u取极限，立刻得到不等式.当aaf(x)dx收敛时，称f(x)dx为绝对收敛性质3指出：绝对收敛的无穷积分，aa它自身也一定收敛但是它的逆命题不成立，称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛性质3若f在任何有限区间a,u上可积，ab，则f(x)dx与f(x)dx同敛ab态(即同时收敛或同时发散)，且有f(x)dx=bf(x)dx+f(x)dx,aab性质2相当于定积分的积分区间可加性，由它又可导出f(x)dx收敛的另一充要条a件：任给0，存在G0，当uG时，总有f(x)dx.a事实上，这可由f(x)d

7、xuf(x)dxf(x)dx结合无穷积分的收敛定义而au得三、比较判别法首先给出无穷积分的绝对收敛判别法由于uf(x)dx关于上限u是单调递增的，因此af(x)dx收敛的充要条件是uf(x)dx存在上界根据这一分析，便立即导出下述比较aa判别法：定理11.2(比较法则)设定义在a,)上的两个函数f和g都在任何有限区间a,u学习必备欢迎下载上可积，且满足则当f(x)g(x),xa,),g(x)dx收敛时f(x)dx必收敛(或当f(x)dx发散时，g(x)dx必发散)aaaa例3讨论0sinx1x2dx的收敛性解：由于为收敛，故dx为,x0,，而sinx1dxsinx1x201x21x2201x2

8、绝对收敛当选用作为比较对象1dxxpag(x)dx时，比较判别法有如下两个推论(称为柯西判别法)推论1设f定义于a,(a0)，且在任何有限区间a,u上可积，则有：(i)当f(x)(ii)当f(x)1xp1xp,xa,),且p1时,f(x)dx收敛;a,xa,)且p1时,f(x)dx发散.a推论2设定义于a,)，在任何有限区间a,.u上可积，且limxpf(x)则x有：(i)当p1,0时,f(x)dx收敛;a(ii)当p1,0时,f(x)dx发散.a推论3若f和g都在任何a,u)上可积，g(x)0，且limxf(x)g(x)c,则有(i)当0c时，由g(x)dx收敛可推知f(x)dx也收敛；a(

9、ii)当0c时，由ag(x)dx发散可推知f(x)dx也发散.aa四、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法定理11.3(狄利克雷判别法)若F(u)uf(x)dx在a,)上有界，g(x)在a,)a上当x时单调趋于0，则无穷积分f(x)g(x)dx收敛a定理11.4(阿贝尔(Abel)判别法)若f(x)dx收敛，g(x)在a,)上单调有界，则a无穷积分f(x)g(x)dx收敛a用积分第二中值定理来证明狄利克雷判别法与阿贝尔判别法学习必备欢迎下载例5讨论dx与1sinxcosxp1xxpdx(p0)的收敛性解：这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论下面分两种

10、情形来讨论：(i)当p1时,xa,),而1sinxxpdx绝对收敛这是因为sinx1xpxp1dxxp当p1时收敛，故由比较法则推知sinxdx收敛.1xp(ii)当0p1时1sinxxpdx条件收敛这是因为对任意u1，有xxusindco1scous2，而11xp当p0时单调趋于0(x)，故由狄利克雷判别法推知sinxdx工当p0时总是收敛的1xp另一方面，由于sixns2ixn1xp，其中co2xs,x1,)x2x2xdxdt是收敛的，而1cos2x12x221costdxt2x是发散的，因此当0p1时该无穷积分不是绝对收敛的所以它是条件收敛的例6证明下列无穷积分都是条件收敛的sinx2dx,cosx2dx,xsinx4dx111证：前两个无穷积经元分换tx2得到2txo2dxsdt,c1sxi2dxn1stin11ctosdt.2t由例5知它们是条件收敛的对于第三个无穷积分，经换元tx2而