2014高中数学一题多变一题多解特训一

1、高中数学一题多解和一题多变根据高考数学“源于课本，高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明：一题多解和一题多变（一）类型一：一题多解3例题： 已知tan a = 4 ,求sin a ,cos a的值分析：因为题中有 sin a、cos a、tan a ,考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题：3 sin 二法一根据同角三角函数关系式tan a = 4 = cosCt ,且sina2 a + cos2 a =1。164433两

2、式联立，得出：cos2 a = 25,cos = = 5 或者cos = = -5;而$所00=5 或者sin a =- 5分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组,直接求解就简洁些：3法二tan a = 4 ： a在第一、三象限在第一象限时:16=25_cos : 122,2cos2 a =sin 5 cos =1 tan=54cos a = 5 sin而在第三象限时：43cosa=- 5 sina=- 5分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙:3 sin ;法三 tan a = 4 = cosacos :4 =22cos工4 =sin

3、 cos :加 -22丁= V4 +33sin a = 5 , cos a =3或 sin a =- 5 ,4cos a =- 5分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sin a、cos a、tan a ,可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之：3法四 当a为锐角时，由于tana= 4 ,在直角 ABC中，设a =A,a=3x,b=4x ,则勾股定理，得,c=5xBC 3 AC 4sinA= AB = 5,cosA= AB = 534sin a = 5, cos a = 534或 sin a = - 5, cos a = - 5分析:用初

4、中三角函数定义解此题，更应该尝试用三角函数高中的定义解此题，因为适用范围更广:3法五当a为锐角时，如下图所示，在单位圆中，设a =/ AOT 因为tan a = 4 ,则T点坐标是T(1,5434 ),由勾股定理得：OT=1+团24MP OM OP 434 3 OMD 0AT，AT = OA = OT , OM=5 , MP = 5 , p( 5 , 5 ),3 sin a = 5 ,3或 sin a =- 5 ,4cos a = 54cos a = - 5分析：圆和直线已经放入直角坐标系中，肯定可以尝.试用解析几，何法来解此题:解法六，如上图，易求出直线 OT的方程和单位圆的方程3y= 4

5、x ; x2+y2=1两式联立，得出:4 x=53 y=54x 二 一53丫 二T点坐标是P(- 5 ,-35) P(5,sin a = 5, cos a = 5或 sin a = - 5, cos a =-分析:先考虑 sin a、cos a两者之间的关系，容易想到用三角函数辅助角公式来帮助解决此问题:解法七，tan a3 sin 二4 = cos ;4sina-3cosa=0由三角函数辅助角公式得，345sin （a+（j） = 0,其中，sin（）=5 , cos （）= 5.a+（f）=k7t , kCZsina=sin （k 兀-（）=sin （）a在第一、三象限34容易求出 sin

6、 a = 5 , cos = = 534或 sin a =- 5 , cos a = - 5分析：仅仅从角度变换考虑，看一看，用二倍角公式是否能解决此问题:a2tan 2彳 2 :31 tan 二 二解法八，由二倍角公式，得，tan “= an 2 = 4a a3tan2 2 +8tan 2 -3=0 TOC o 1-5 h z 、工、工11. tan 2 = -3,或 tan 2 =3a2sin cos2tanT22- 2-二： 工2 ：-2 ：2工sin a=2sinlcos?=sin? c0s 万二？1 tan 万 HYPERLINK l bookmark0 o Current Docu

7、ment 34sin a = 5 , cos a = 5 HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 34或 sin = = - 5 , cos = = - 5 判别式此外，我们还可以尝试从向量的角度思考这个问题，这里就不再赘述。下面展示本题的变式与推广：类型二：一题多变已知sin a=解:4一且a是第二象限角，求tana5 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark91 o Current Document 4234a 是第一象限角，sin a= ？ cos a= 一41一 sin a= 一一，tana二 一一5534 -变 1

8、 ： sin a= -，求 tan a 5.4解：sin a= 0,所以a是第一或第二象限角 543,4右是第一象限角，则 cos a=, tan a=53 HYPERLINK l bookmark88 o Current Document 44右ZE第一象限角，贝U cos a= 一一，tan a二 一一53变 2:已知 sin a= m(m 0)求 tan a解：由条件0V m1 ,所以当 0v m 1时，a是第一或第二象限，角若是第一象限角时cos a= vLm2 ,tan 产若是第二象限角 cos a= 一&一m2 ,tan #当m= 1时tan a不存在变 3：已知 sin a= m(m 1),求 tan a解：当m = 1,一 1时，tan a不存在当 m= 0时，tan a= 0当a时第一、第四象限角时,tan a=m1一 m2当a是第二、第三象限角时,练一小手:变式1: 已知tan a =-3 ,求sin a cos a的值变式2：已知tan a =m,求sin a , cos a的值变式3 :已知sin a =mT,求cos a , tan a的值由上例可以看出，一题多解和一题多变可以使学生更积极参与到课堂中来，从而激发学生对数学学习的兴趣和信心。一道数学题因思考的角度不同可得到多种不同的解法，这