《自动控制原理》电子课件：第九章 非线性控制系统

1、第九章 非线性控制系统版本2.02011年6月主编修改版华南理工大学自动化科学与工程学院制作:罗家祥 审校:胥布工第九章 非线性控制系统9.1 概述 9.2 相平面法 9.3 描述函数法 9.4 利用MATLAB分析非线性控制系统9.5 小结 9.1 概述常见的非线性特性及类型非线性控制系统稳定性及特性非线性控制系统分析二阶：相平面法二阶以上高阶：描述函数法MATLAB应用本章知识体系：9.1 概述在反馈控制系统中，引起非线性现象的原因除了对象本身的非线性外还可能包括： 控制器中的放大器在其线性区外呈现的饱和现象 传感器中的不灵敏区 执行机构中不可避免的静摩擦导致的不灵敏 以及机械传动元件之间

2、的间隙等等 总之，非线性因素可出现在控制器、执行机构、传感器和被控对象中的任何一个环节。为了改进控制系统品质，有时也需要在控制系统中人为引入非线性特性，从而对非线性现象加以利用。 常见的非线性控制系统的结构可分为两个部分：一个部分是系统中实现了非线性建模的非线性特性环节，另一个部分为系统中可实现线性化建模的所有线性环节，这也是本章所涉及的非线性控制系统的主要结构类型。 9.1 概述9.1.1 非线性特性的类型 （a）为继电器非线性特性：（b）为放大器饱和非线性特性；（c）和（d）为静摩擦或者不敏感死区非线性特性；9.1 概述（e）为具有滞环的非线性特性，（f）为间隙非线性特性说明：1）所给出的

3、典型非线性特性均是分段或者分区段线性的，实际中是常见的，也是将非线性特性曲线进行分段线性化处理得到的类型 。2）当df/dx=+或df/dx=0时，泰勒级数展开线性化近似的局限。9.1 概述9.1.2 非线性控制系统的稳定性及特性 1非线性控制系统的稳定性 对于线性控制系统，平衡状态的稳定性就意味着与初始状态无关的全局稳定性，也就是有系统稳定性的概念； 对于非线性控制系统，平衡状态常不止一个，每个平衡状态的稳定性只是一种与初始状态有关的局部稳定性概念，不能代表系统的全局动态性质，也就没有系统稳定性的笼统概念。 2非线性控制系统的特性 线性叠加原理不适用。正弦信号输入激励的输出响应可含有输入信号

4、中没有的高次谐波。 在没有外部作用的情况下，也可能出现一种持续等幅振荡现象，称为自持振荡。9.1 概述9.1.3 非线性控制系统的分析与综合1非线性控制系统的分析 非线性系统的分析没有统一的方法。一般针对不同的典型系统，研究建立相应的非线性系统分析方法。因此对于一种典型系统，常常就有一种对应的方法，但各种方法也有一个基本共性，就是通常他们都是以某种形式的线性化来建立相应的非线性分析方法。1）相平面法 相平面法是针对二阶非线性控制系统的一种精确的图解分析方法。尽管总是可以直接绘出非线性控制系统的相平面图来进行分析，但在满足分析精度要求的前提下，实际的做法通常是采用分区线性化近似方法。 相平面法只

5、适用于二阶非线性系统。 9.1 概述2) 描述函数法 一种近似的分析方法，它用一次谐波线性关系来替代原来的非线性特性关系，在所考虑的一次谐波上实现了线性化，故又称为谐波线性化方法或者谐波平衡方法。线性化的精确程度需要系统具备一定的条件才能保证。 该法可方便分析高阶非线性控制系统的稳定性和自持振荡。2非线性控制系统的综合综合问题的具体形式主要有：1）选择一定的系统结构，通过选取或者优化待定参数来达到系统的设计要求。 2）当选取参数不足以达到系统的控制品质要求时，可进一步引入校正装置或者校正内回路，通过改变原来系统的结构以实现系统的设计要求。9.2 相平面法 考虑二阶非线性系统的状态微分方程 非线

6、性解析函数 若在初始时刻t0时的初始状态为x1(t0), x2(t0)，则方程的解为： 描述的运动是以时间t为参数的曲线相平面法：根据已知的非线性解析函数，状态x1和, x2取相变量时，在相平面x1- x2上获得通过建立解的曲线（几何形象）来分析和获得运动性质的方法。x1(t)x2(t)x2(t)x1(t)相点：相平面上满足(9-5)式子的点P(x, ) ；相轨迹：解(x, )在相平面上随时间t变化的运动轨迹。 9.2.1 相平面法的基本概念 研究二阶非线性系统，一般形式为： 1相点与相轨迹 箭头表示时间增加时状态运动的方向9.2 相平面法 2相轨迹的微分方程与相平面图 当相变量初始值不同时，

7、积分常数C不同方程的解描述了一族曲线，即相轨迹方程的积分曲线9.2 相平面法 绘有系统相轨迹族的相平面称为系统的相平面图，有时也简称为相图。 例9-1 二阶系统方程相轨迹以(0,0)为中心，长半径为b，短半径为a的椭圆(当1时)。ba9.2 相平面法 (9-11)3. 相平面图的性质 (1) 相轨迹上的斜率(2) 相轨迹的常点和奇点 9.2 相平面法 (3) 相轨迹的对称性条件在(x,x)与(x,-x)点的斜率相等，符号相反。在(x,x)与(-x, x)点的斜率相等，符号相反。在(x,x)与(-x, -x)点的斜率相等，符号相同。9.2 相平面法 （4）相轨迹的走向 （5）相轨迹通过x轴的斜率

8、 9.2 相平面法 9.2.2相平面图的绘制 绘制相平面图的常用方法：解析法：直接方法，通过解系统相轨迹的微分方程获得积分曲线族的方法。比较复杂，难以求解。等倾线法：图解法，用足够短的直线近似逼近相轨迹；只要选用的等倾斜线分布疏密程度适合，就可以满足所需相平面图的精度要求，因而是最常用的图解法。圆弧近似算法：图解法，用足够短的圆弧来近似逼近相轨迹。9.2 相平面法 等倾斜线法的步骤如下：（1）将相轨迹走向相同的相点，即斜率相同的相点，连接起来画出等倾斜线。显然，等倾斜线满足方程为等倾线与x轴的夹角，将满足方程（9-13）的点连接成等倾线取不同的角，画出不同的等倾线线性系统的等倾线为通过原点、斜

9、率为-a/(k+b)的直线9.2 相平面法（2）在等倾斜线上各点用一个斜率为k的带小箭头的短线画出相轨迹的切线方向，从而建立一个表示相轨迹走向的方向场。（3）按方向场指出的方向，在等倾斜线的各点勾划出相轨迹。斜率为kA9.2 相平面法取a=b=1斜率为kB=-1.2等倾线斜率-a/(kB+b)=5例9-29.2 相平面法例9-3 (2) 对称于x轴，可先画出上半部分，再对称绘出下半部分。取a=b=1，画出系统的相平面图如图9-8所示。9.2 相平面法例9-4 绘出非线性系统 的相平面图。 等倾线不是直线而是抛物线，抛物线的顶点位于相平面的(4k2,2k)处。将抛物线上的短线按方向场指出的方向连

10、接起来即可勾划出相轨迹。 9.2 相平面法在绘制过程中，除了采用等倾线法计算外，还可利用相轨迹形状的特征：相对原点、坐标轴的对称性。水平等倾线：竖直等倾线：直线相轨迹：相轨迹渐近线：斜率等于向轨迹斜率的等倾斜线。奇点类型。闭合轨迹：极限环。斜率的正负区域。以上这些定性特从几何结构（相轨迹的的类型、相对位置、形状分布等）意义上说是准确的，甚至是近似计算结果所不及的。只要恰当利用这些特长，就可以快速地绘出足够满意的相平面图。9.2 相平面法9.2.3线性系统的相平面图分析二阶线性系统的相变量微分方程9.2 相平面法当a=0时，特征方程（9-23）出现零特征根，此时在整个x轴上有 和 ，故此时x轴又

11、称为奇线，这是上述六种类型未包括的特殊情况。只要用等倾斜线法绘出这种特殊情况的相平面图，即可进行分析，此处从略。9.2 相平面法9.2.4非线性系统的相平面图分析1奇点 设所考虑奇点为原点(不在原点的奇点可坐标平移移到原点)。此时，奇点处有f(0,0)=0，也是系统的平衡点。 利用线性系统标准相图来分析奇点(0,0)附近的类型特征；对多个奇点情况，可分别在不同的奇点邻域线性化后分析；在奇点小邻域之外，高次项不可忽略。9.2 相平面法例9-5 试研究如下二阶非线性系统的奇点和稳定性。（2l, 0）均为稳定焦点。 9.2 相平面法Matlab仿真图（(2l+1), 0）均为鞍点。 9.2 相平面法

12、2极限环 (1) 稳定极限环：极限环内外两侧的相轨迹均呈螺旋状地渐近地趋近极限环，对应于系统的自持振荡。极限环是相平面图中一条孤立的封闭相轨迹，有三种类型：(2) 不稳定极限环：环内外两侧的相轨迹均呈螺旋状地从极限环离开，这种极限环是不稳定的 9.2 相平面法(3)半稳定极限环：环内外一侧相轨迹渐近地趋近极限环，而另一侧的相轨迹从极限环离开。9.2 相平面法9.2.5非线性控制系统的分区线性化法例9-6 考虑含有饱和非线性特性的控制系统， T0, K0，试分析阶跃输入作用下系统的运动。解： (1) 饱和非线性特性的数学描述：(2) 线性环节的微分方程为 9.2 相平面法I区系统在I区无奇点9.

13、2 相平面法II区9.2 相平面法III区系统在III区无奇点9.2 相平面法例9-7 不灵敏区的存在导致带有死区的饱和非线性特性情况(T0, K0) ，试分析阶跃输入作用下系统的运动。I、II、IV和V区的情况分析与例9-6类似，这里考虑III区的情况。系统在III区无奇点，相轨迹均为斜率为-1/T的直线9.2 相平面法例9-8 考虑具有滞环继电器非线性特性的控制系统，T0,K0,d0,试分析斜坡输入作用下系统的运动 。9.2 相平面法I区 x=3 9.2 相平面法II区 x=-3 9.2 相平面法9.2.6利用非线性特性改进控制系统的动态性能例9-9 考虑控制器含有非线性增益的控制系统，T

14、0,K0，试确定k的取值范围，并分析恒值控制和速度随动控制两种情况下系统的运动。 9.2 相平面法9.2 相平面法对于恒值控制情况，设阶跃输入r(t)=R1(t)。 分析可知，上述两式分别对应稳定焦点(0,0)和稳定节点(0,0)对于速度随动控制情况，设阶跃加斜坡输入r(t)=R1(t)+vt。 9.2 相平面法I区相图是系统（9-63）的相图向右平移v/3K个单位;II区相图是系统（9-64）的相图向右平移v/Kk个单位9.2 相平面法9.3 描述函数法 相平面法是一种精确的二阶非线性系统图解分析方法，但不能处理高于二阶的非线性系统。 描述函数法适用于高阶的非线性系统，可分析的问题也较为全面

15、，如稳定性、自振、甚至综合问题等等。 描述函数法是一种一次谐波近似方法，因而本质上是一种频域方法，它几乎全面推广了线性系统的理论、方法和结果，但仅进行一次谐波近似难免会丧失一些非线性信息，需要一定的条件来保证结果的合理性。尽管如此，这一近似方法已是工程中常用的实用方法。 9.3 描述函数法 9.3.1 描述函数与谐波线性化1描述函数的定义 假设非线性特性是对称于原点的，X表示零相位正弦输入x(t)=Xsin(t)的振幅，Y1表示输出信号中一次谐波分量的振幅，1表示输出信号一次谐波分量的相位移，那么非线性元件的描述函数N定义为 对于不包含储能元件的非线性元件，描述函数只是输入振幅的函数，记为N(

16、X)；否则，描述函数是输入振幅和频率两者的函数，记为N(X, )，本章不做考虑。9.3 描述函数法非线性元件的描述函数N定义为非线性特性对称于原点，则A0=0，9.3 描述函数法2谐波线性化原理 非线性元件在正弦信号输入作用下的输出被一次谐波响应完全替代，实现了非线性特性的线性化近似，这种线性化称为谐波线性化。下面说明谐波线性化原理的物理基础。 考虑一个非线性控制系统如下：G(s)为线性部分，外部输入为零，系统内存在一个周期为T的自持振荡，继电器输出y(t)=f(x(t)为奇函数方波，而G(s) 的输出x(t)是一个周期为T的函数。9.3 描述函数法奇函数方波y(t) 可展开为傅里叶级数：而线

17、性部分G(s)输出为下列各项之和：9.3 描述函数法采用描述函数法条件：（1）原点对称条件 系统的非线性部分的特性必须是原点对称的，如满足的奇函数等，使得输出没有直流分量，即A0=0。（2）滤波条件 系统的线性部分需要满足式（9-75）给出的滤波条件。在实际系统中，系统线性部分都具有低通性，因而滤波条件一般都是成立的，这使得谐波线性化方法一般能给出可靠的近似结果。9.3 描述函数法9.3.2典型非线性特性的描述函数例9-10 试推导图9-25（a）所示的双位理想继电器特性的描述函数。解：由于双位非线性特性是奇函数因此在上述傅里叶级数展开式中，对所有k (k=0, 1, 2.)，Ak=0,9.3

18、 描述函数法例9-11 试推导死区非线性特性的描述函数。y(t)为奇函数，故在傅里叶级数展开式中无余弦项，一次谐波分量为 9.3 描述函数法死区非线性特性的描述函数为9.3 描述函数法例9-12 试推导死区加滞环继电器特性的描述函数死区加滞环继电器特性是原点对称的，故在其输出傅里叶级数展开式中有A0=0。一次谐波分量为：9.3 描述函数法9.3 描述函数法9.3 描述函数法一些典型非线性特性的描述函数（表9-3）理想继电器三位置继电器滞环继电器死区加滞环继电器9.3 描述函数法变增益非线性死区非线性饱和非线性间隙非线性9.3 描述函数法9.3.3非线性环节的串联与并联非线性环节的描述函数常常可

19、以通过串联或者并联两个典型非线性特性的描述函数来求取。求取方法：串联：将两个环节视为一个整体来推导描述函数等效为查表9-3得9.3 描述函数法并联：合并两个环节的一次谐波查表9-3得9.3 描述函数法9.3.4非线性控制系统的描述函数分析方法考虑非线性系统称为负倒描述函数 给定X，即可确定复平面上的点 ，根据奈奎斯特稳定性判据，此点就是系统出现临界振荡的临界点。当G(j)的奈奎斯特曲线穿过此点时，系统出现极限环。9.3 描述函数法1稳定性的判定 稳定判据：设非线性控制系统的线性部分G(s)在s平面右半面无极点。若以X为参数的-1/N(X)的曲线没有被以为参数的G(j)的曲线包围，则系统稳定。上

20、述稳定性意味着系统没有极限环。若-1/N(X)的曲线被G(j)的曲线包围，则系统不稳定。若-1/N(X)的曲线与G(j)的曲线相交，可能是稳定的极限环，也可能是不稳定的极限环，两条曲线的相交点就确定了极限环的振幅和频率(X*, *)。9.3 描述函数法2自持振荡的确定相交点A：当有小扰动X0时， 根据奈氏判据，N(X*-X)时系统稳定，而 N(X*+X)时系统不稳定， 后一种情况振幅逐步增加直到相交点 B；相交点B：当有小扰动X0时，据奈氏判据， N(X*-X)时系统不稳定，而 N(X*+X)时系统稳定，两种情况都退回到B点。设X0为微小的扰动。极限环稳定性判据为若N(X*+X)时得到的线性化

21、系统是稳定的，而N(X*-X)时得到的系统是不稳定的，则极限环(X*, *)是稳定的；反之N(X*+X)时得到的线性化系统不稳定， N(X*-X)是稳定的，则极限环(X*, *)是不稳定。9.3 描述函数法例9-13 已知一个非线性控制系统的线性部分的传递函数为考虑（1）理想继电器（2）滞环继电器，试确定自持振荡。A: (X*,*)=(1.27, 4.36)A: (X*,*)=(2.32, 3.2)N(X*+ X)没被G(j)包围，稳定；N(X*- X)被G(j)包围，不稳定；两个交点A确定的极限环稳定，系统稳定的自持振荡分别为：9.3 描述函数法9.3.5综合问题举例例9-14 考虑如图9-

22、33(a)所示的非线性三阶控制系统。分析系统存在的自振，并设计串联校正装置消除系统的自振，从而使系统稳定。解: 在复平面上绘出-1/N(X)和G(j)不稳定稳定，有自持振荡 9.3 描述函数法校正后的系统中没有自持振荡，并且系统是稳定的。9.4 利用MATLAB分析非线性控制系统求解微分方程可调用的函数ode45(), 格式如下：tout, yout=ode45(odefun, tspan, y0)例9-15 考虑如图所示有死区加滞环的继电器特性的非线性系统, 其中, d=4,m=0.25,M=1,K=1,T=1.25，试用 MATLAB辅助分析系统在阶跃信号r(t)=101(t)作用下的运动。解：具有死区加滞环的继电器特性如下： 9.4.1 绘制非线性控制系统的相轨迹和相平面图9.4 利用MATLAB分析非线性控制系统编写M文件ex9_15.m，命令窗口输入内容见348页，运行结果如图9-36所示。9.4 利用MATLAB分析非线性控制系统例9-16 带内环测速反馈的非线性系统如图9-37所示，其中，d=0.5，k=8,T=0.5, d=0.5，试用MATLAB来辅助分析阶跃输入作用下系统的运动。 9.4 利用MATLAB分析非线性控制系统编写M文件