《自动控制原理》（第六版）课件：第7章 线性离散系统的分析与校正4

1、自 动 控 制 原 理第七章 线性离散系统的分析与校正3第七章 线性离散系统的分析与校正7-4 离散系统的数学模型 与连续系统类似，要对离散系统进行分析和设计，首先就要对离散系统建立数学模型。描述离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间等几种，我们只介绍前面二种。 41. 离散系统的数学定义 将输入序列 变换为输出序列 的一种变换关系，称为离散系统。记作线性离散系统；线性定常离散系统；52. 线性常系数差分方程及其解法(1) 差分：两个系统相邻采样点信息之间的差值，即差分，近似于微商的概念。(2) 差分的阶：取差分时，采样点间信号变化率的不同称为差分的阶一阶差分：1）与差分方程

2、有关的几个概念二阶差分：m阶差分：6(3) 差分的方向：设当前采样时刻为n，根据当前时刻的差分与相邻的数据间的依赖关系，可把差分分为前向差分和后向差分。 前向差分：n时刻各阶差分的获得依赖于n时刻及未来时刻n+1,n+2数据二阶前向差分：一阶前向差分：7后向差分：n时刻各阶差分的获得依赖于n时刻及历史时刻n-1,n-2数据一阶后向差分：二阶后向差分： 在自动控制系统中，由于差分的对象是采样控制系统，具有因果关系，即当前时刻的数据与历史时刻的数据联系密切。因此经常采用的是后向差分，前向差分应用较少。我们讨论的也主要是后向差分。82）差分方程与连续系统的微分方程相类似，离散系统的输入-输出的关系可

3、与采样时刻及历史时刻的输入和输出都有关系，其一般的表达式为：即：如果ai和bi均为常系数，上式为常系数线性差分方程。由于mn，上式称为n阶线性常系数差分方程。它在数学上代表一个线性定常离散系统。93）差分方程的求解 差分方程的求解也有经典法，但用起来十分不便。工程上常用的两种方法：迭代法和z变换法。(1) 迭代法例: 差分方程c(k)=r(k)+5c(k-1)-6c(k-2)，初始条件：r(k)=1,c(0)=0,c(1)=1。试用迭代法求出输出序列c(k),k=0,1,210.根据给定的差分方程与输出序列的初始条件，就可以用递推关系，一步一步求出输出序列。该过程可由计算机来完成。10c(0)

4、=0c(2)=r(2)+5c(1)-6c(0)=1+5-0=6c(3)=r(3)+5c(2)-6c(1)=1+5*6-6*1=25c(4)=r(4)+5c(3)-6c(2)=1+5*25-6*6=90c(1)=1 c(5)=r(5)+5c(4)-6c(3)=1+5*90-6*25=301c(6)=r(6)+5c(5)-6c(4)=1+5*301-6*90=966解：c(7)=r(7)+5c(6)-6c(5)=1+5*966-6*301=3025c(8)=r(8)+5c(7)-6c(6)=1+5*3025-6*966=9330c(9)=r(9)+5c(8)-6c(7)=1+5*9330-6*30

5、25=28501c(10)=r(10)+5c(9)-6c(8)=1+5*28501-6*9330=8652611给定差分方程后，先用z变换的实数位移定理对差分方程取z变换，得到z的代数方程，再对代数方程取z反变换，即得脉冲序列c(k)。例:差分方程c(k+2)+3c(k+1)+2c(k)=0，初始条件：c(0)=0,c(1)=1解：对上式两边取拉氏变换：Z变换法求解12 所以上式变为：或133.脉冲传递函数(1) 脉冲传递函数定义： 在离散系统中，在初始条件为零的情况下，系统离散输出信号的z变换与离散输入信号的z变换之比，就是脉冲传递函数。14脉冲传递函数方块图如图： G(s) G(s)R(s

6、)R*(s)s1s1C(s)C*(s)R(s)R*(s)G(z)G(z)C(s)s2s215如果描述线性定常离散系统的差分方程为在零初始条件下，对上式进行 z 变换,可得16例: c(nT)=r(n-k)T,求G(z)解：两边取 z 变换：C(z)=z-kR(z) 所以G(z)=z-k 它代表离散系统中有k个延迟环节，它把输 入序列延迟k个采样周期后输出。 3、脉冲函数的求法 (1)由定义求；(2)求连续部分的传递函数：G(s)g(t)g*(t)zg*(t) G(z)，G(z)=zG*(s)=G*(s)|s=(1/T)lnz17例: 已知求脉冲传递函数解：184、开环脉冲传递函数(1)采样拉氏

7、变换的两个重要性质：a.周期性： b. 如果采样函数的拉氏变换 E*(s) 与连续函数的拉氏变换 G(s) 相乘后，再离散化，则 E*(s) 可以从离散信号中提出来：19 (2)有串联环节时的开环系统脉冲传递函数 求串联环节的脉冲传递函数与求连续函数串联环节不完全相同，即使组成离散系统的环节完全相同，但由于采样开关的数目和位置不同，G(z) 也会截然不同。 如果离散系统由二个串联环节组成，由于其采样开关的位置和数目不同，其G(z)不完全相同。 201）串联环节之间有采样开关 G1(s) G2(s)G(z)G1(z)G2(z)r(t)d*(t)r*(t)d(t)C(t) C*(t)D(z)=G1

8、(z)R(z)结论：环节间有采样开关的几个环节串联时，其脉冲传递函数G(z)为各环节脉冲传递函数之积。C(z)=G2(z)D(z)=G1(z)G2(z)R(z)所以 G(z)= C(z)/R(z)= G1(z)G2(z)R(z)D(z)C(z)21由传函定义：G(z)=C(z)/R(z) =zG1(s)G2(s)=G1G2(z)结论：中间没有采样开关的几个环节串联时，其脉冲传递函数为各环节传递函数相乘后积的z变换 G1(z)G2(z)G1G2(z)2) 两个串联环节间无采样开关G1(s)G2(s)r(t)r*(t)C(t)C*(t)G(z)R(z)C(z)22例: 设 G1(s)=1/s ,G

9、2(s)=a/(s+a) 求上述两种情况下的G(z)。解：a:b:可见 G1(z)G2(z)G1G2(z) ,但二者不同之处只表现在零点上，极点却是一样的，这是离散系统的特有现象。23(3)有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数 (1-e-Ts)/s G(s)r(t)r*(t)C(t)G(z)24例:设离散系统如图所示，已知Gh(s)为零阶保持器，Gp(s) =1/s(s+1)，求系统的脉冲传递函数G(z)。解：Gh(z) Gp(s)r(t)r*(t)c(t)C(z)R(z)25上图没有零阶保持器时，可见有无零阶保持器系统的脉冲传递函数，二者的极点完全相同，只是零点不同。即零阶保持器不影响离散系统脉冲传递函数的极点。这是离散系统的一个特点。26(4) 输入端无采样的情况 G1(s) G2(s)d(t)r(t)d*(t)sC(t)G(z) 因为输入信号不是独立的，故不能写出系统的脉冲传递函数，只能写出输出信号的z变换形式。275、闭环系统脉冲传递函数 G(s) H(s)r(t)e*(t)e(t)C(t)C*(t)b(t)b*(t)28误差脉冲