角平分线知识点+经典例题

1、第四讲角平分线【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分/ ADB，点P是CD上一点，且 PE AD于点 巳于点F,则PE= PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上要占诠释日/VPFXBD / .X用符号语言表示角的平分线的判定：若 PEXAD 于点 E, PFXBD 于点 F, PE =要点三、角的平分线的尺规作图二 PF,贝U PD 平分/ ADB.角平分线的尺规作图(1)以O为圆心，适当长为半径回弧，交 OA于D ,交OB于(2)分别以

2、d、e为圆心，大于Ide的长为半径画弧，两弧在/ 2内部交十点C.(3)画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交十三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等 .三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交点做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等E& .AOB J, . ZCBD BD=BD.-.ABD CBD (SAS), ./ ADB= ZCDB ,点 P 在 BD 上,PMXAD, PNXCD,PM=PN .【总结升华】 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，

3、确定出全等三角形并得到/ ADB= ZCDB是解题的关键.例 2、如图在 4ABC 中/ C=90 , AC=BC , AD 平分/ CAB , DEXAB 于 E,若 AB=6cm ,求 DEB 的周长.【思路点拨】利用角平分线的性质求得 CD=DE,然后利用线段中的等长来计算 4DEB的周长.【答案与解析】解：. / C=90 , AD 平分/ CAB , DE LAB,cCD=DE ,CADA EAD(HL)CAC=AE , AC=BC ,BE=DE , . DEB 的周长=BE+DE+BD= BE+CD+BD = BE+BC =BE+AC=BE+AE =AB=6cm【总结升华】将DEB

4、的周长用相等的线段代换是关键【变式】已知：如图，AD是4ABC的角平分线，且AB:AC 有:/，则4ABD与4ACD的面积之比为（B. V3:我C. 2: 3D. 2 : 3提示：AD是4ABC的角平分线，点D至ij AB的距离等于点D至ij AC的距离，又AB : AC 石:，则 ABD与 ACD的面积之比为 第:躯.例3、如图，OC是/AOB的角平分线，P是OC上一点，PDLOA交于点D, PELOB交于点E, F是OC上除点P、。外一点，连接 DF、EF,则DF与EF的关系如何？证明你的结论.【思路点拨】 利用角平分线的性质证明 PD=PE,再根据“HL定理证明OPDOPE,从而得到/

5、OPD =/ OPE, /DPF = / EPF,再证明DPFEPF,得至U结论.【答案与解析】 解：DF=EF.理由如下:.OC是/AOB的角平分线，P是OC上一点，PDLOA交于点D,PE，OBP PD= PE,由HL定理易证 OPDOPE,OPD = /OPE,DPF=/ EPF.在4DPF与EPF中，PD PEDPF EPF ,PF PFDPFA EPF,DF = EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质.由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键 .类型二、角的平分线的判定 例4、已知，如图， CEAB,BD AC, ZB = Z C, BF

6、= CF.求证：AF为/ BAC的平分线.【答案与解析】证明：-. CEAB,BD AC （已知）./ CDF = Z BEF = 90/ DFC = Z BFE（对顶角相等）BF = CF（已知）. DFCA EFB（AAS）DF= EF（全等三角形应边相等 ） FEXAB , FD AC （已知）点F在/ BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF为/ BAC的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到垂直”条件在证明结论的必要性.【变式】 已知：如图，P是OC上一点，PDLOA于D, PELOB于E, F、G分别是 OA、OB上的点，且PF=PG, DF=EG .求证：OC是/ AOB的平分线. 【答案】证明：在 R