北师大版2020版新一线高考文科数学一轮复习教学案第8章第7节双曲线含答案

1、第七节双曲线考纲传真1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用1双曲线的定义(1)平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|的点的集合叫作双曲线，定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.当2a|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；当2a|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；当

2、2a|F1F2|时，M点不存在2双曲线的标准方程和几何性质1标准方程图形x2y2a2b21(a0，b0)y2x2a2b2(a0，b0)范围对称性xa或xa，yRxR，ya或ya对称轴：坐标轴；对称中心：原点性质顶点坐标渐近线A1(a,0)，A2(a,0)byaxA1(0，a)，A2(0，a)aybx离心率实虚轴cea，e(1，)，其中ca2b2线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a，线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a，b，c的关系a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长c2a2b2(ca0，cb0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其

3、渐近线方程为yx，离心率为e2.常用结论三种常见双曲线方程的设法(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2By21(AB0)表示焦点在x轴上的双曲线()x2y2x2y2xy(3)双曲线m2n2(m0，n0，0)的渐近线方程是m2n20，即mn0()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2()2双曲线1的焦距为()C由双曲线1，易知c2325，所以c5，所以双曲线1的焦距为25.A2B622D1答案(1)(2)(3)(4)x2y232A5B5C25D1x2y2x2y23232x2y23(教材题改编)已知双曲线a231(a0)的离心率为2，则a()5Cca23D依题意，ea

4、a2，a232a，则a21，a1.x2y216204设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|9，则|PF2|_.17由题意知|PF1|9ac10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|PF1|2a8，故|PF2|PF1|817.x2y25已知双曲线a2b21(a0，b0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为_y21解得a2，则b1，所以双曲线的方程为y2x24由题意可得b1a2，a2b25，a0，b0，x241.双曲线的定义及应用x|1.已知F1，F2为双曲线C：2y22的左、右焦点，点P在C上，PF1|2|PF2|，则cosF

5、1PF2()BCDA14334545C由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a22，|PF1|2|PF2|42，则cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|.2若双曲线1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|PA|的最B由题意知，双曲线1的左焦点F的坐标为(4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，422222423242224选Cx2y2412小值是()A8B9C10D12x2y2412由双曲线的定义知|PF|PA|4|PB|PA|4|AB|4412042459，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号规律方法双

6、曲线定义的两个应用一是判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；|二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系【例1】设双曲线与椭圆1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为又b232225，故所求双曲线的标准方程为1.双曲线的标准方程x2y22736(15，4)，则此双曲线的标准方程是_y2x2x2y2y2x21法一：椭圆2736b451的焦点坐标是(0，3)，设双曲线方程为a2b21(a0，0)，根据双曲线的定义知2a|15024321502432|4，故a2.y2x245x2y2

7、y2x22736法二：椭圆1的焦点坐标是(0，3)设双曲线方程为a2b21(a0，b0)，则a2b29，又点(15，4)在双曲线上，所以1615a2b21，联立解得a24，b25.故所求双曲线的标准方程为1.法三：设双曲线的方程为1(271，则双曲线a2y21的离心率的取值范围是()A(2，)C(1，2)B(2，2)D(1,2)x2y2Fab(2)(2018全国卷)设F1，2是双曲线C：2b21(a0，0)的左，右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|6|OP|，则C的离心率为()A5B2C3D212.e2(1)C(2)C(1)由题意得双曲线的离心率ea211a

8、2aa21a.(2)不妨设一条渐近线的方程为yax，则F2到yax的距离d|bc|b，在eqoac(,Rt)F2PO中，1a1，0a21，111a22，1e2.故选Cbba2b2|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|6a.又|F1O|c，所以在eqoac(,F)1PO与eqoac(,Rt)F2PO中，根据余弦定a2c26a2a理得cosPOF12accosPOF2c，即3a2c2(6a)20，得3a2c2，所以eca3.考法2双曲线的渐近线问题x2y2【例3】(1)(2019合肥质检)已知双曲线a2b21(a0，b0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为_x2y2(2)已知F1，F2是

9、双曲线C：a2b21(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|PF2|6eqoac(,a)，且PF1F2最小内角的大小为30，则双曲线C的渐近线方程是_c(1)y2x(2)2xy0(1)因为ea3，所以c2a2b23a2，故b2a，则此双曲b线的渐近线方程为yax2x.|(2)由题意，不妨设|PF1|PF2|，则根据双曲线的定义得，PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a.在PF1F2中，|F1F2|2c，而ca，所以有|PF2|0，b0)的左焦点为F，离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()

10、A1B1C1D1x2y244x2y248x2y288x2y284B由离心率为2，可知ab，c2a，所以F(2a,0)，由题意知kPF1，所以2a4，解得a22，所以双曲线的方程为1.40402a2ax2y288规律方法与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率或范围依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式或不等式，解方程或不等式即可求得(2)求双曲线的渐近线方程依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程x2y2n3m2n(1)已知方程m21表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3)C(0,3)B(1，3)D(0，

11、3)x2y2(2)已知双曲线E：a2b21(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_m2n0，(1)A(2)2(1)若双曲线的焦点在x轴上，则3m2n0.又(m2n)(3m2n)4，m2n3m2m2nm2n0，2a32c.又b2c2a2，整理得2c23ac2a20，两边同除以a2，得232a1，1n0，1n3m2且n0，b0)的离心率为3，则其渐近线方程为()CyxDyxAy2x22By3x32A2B2C32D22又双曲线的一条渐近线方程为yx，a5.cA因为双曲线的离心率为3，所以a3，即c3a.又c2a2b2，所以(3a)2a2b2，bb化简得2a2b2，所以a2.因为双曲线的渐近线方程为yax，所以y2x.故选Ax2y22(2018全国卷)已知双曲线C：a2b21(a0，b0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()2cD法一：由离心率ea2，得c2a，又b2c2a2，得ba，所以双曲线C的渐近线方程为yx.由点到