周期信号的分解与合成.pptx

1、第3章 连续信号与系统的频域分析1本章重点和要点利用傅里叶级数分析周期信号的离散频谱利用傅里叶积分分析非周期信号的连续频谱理解信号的时域与频域间的关系掌握傅里叶变换定义、性质、应用掌握系统的频域分析方法掌握取样定理及其应用理解频谱分析在通信系统中的应用2引言回顾时域分析中利用卷积对信号进行分解继而求出响应的思路信号的分解 求响应 再迭加时域分析:卷积积分频域分析:傅立叶变换复频域分析:拉普拉斯变换自变量为 S = +自变量为自变量为 t3结论LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可分析LTI系统的特性。43.1 信号的正交分解 3.1.1 矢量的正

2、交分解 1. 正交矢量 图 3.1-1 两个矢量正交 52. 矢量的分解 图 3.1-3 平面矢量的分解 6图 3.1-4 三维空间矢量的分解 7 上述矢量分解的概念可以推广到n维空间。由n个相互正交的矢量组成一个n维的矢量空间，而正交矢量集V1, V2, ，Vn为n维空间的完备正交矢量集。n维空间的任一矢量V，可以精确地表示为这n个正交矢量的线性组合， 即 式中，ViVj=0(ij)。 第r个分量的系数 83.1.2 信号的正交分解 1. 正交函数 设f1(t)和f2(t)为定义在(t1, t2)区间上的两个函数，现在要用与f2(t)成比例的一个函数c12f2(t)近似地代表f1(t)，其误

3、差函数为 92. 信号的正交展开 设有一函数集g1(t), g2(t)，gN(t)，它们定义在区间(t1, t2)上，如果对于所有的i、 j(可取1, 2, ，N)都有 则该函数集就称为区间(t1, t2)上的正交函数集。 如果 则称该函数集为归一化正交函数集。 10 用一个在区间(t1, t2)上的正交函数集gi(t)中各函数的线性组合就可逼近定义在(t1, t2)区间上的信号f(t)，即 这种近似表示所产生的平方误差为 11 定理 3.1-1 设gi(t)在(t1, t2)区间上是关于某一类信号f(t)的完备的正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号f(t)都可以精确地表示为gi(t)的线

4、性组合， 即 式中，ci为加权系数，且有 式(3.1-14)称为正交展开式，有时也称为广义傅里叶级数，ci称为傅里叶系数。 (3.1-14)(3.1-15)12 定理 3.1-2 在式(3.1-14)条件下，平方误差Ee=0，由(3.1-13)式有 式(3.1-16)可以理解为：f(t)的能量等于各个分量的能量之和， 即能量守恒。定理3.1-2 有时也称为帕塞瓦尔定理。 (3.1-16)133.2 周期信号的连续时间傅里叶级数 3.2 周期信号的连续时间傅里叶级数 3.2.1 三角形式的傅里叶级数 三角函数集cosnt, sinnt|n=0,1,2,是一个正交函数集，正交区间为(t0, t0+

5、T)。这里T=2/是各个函数cosnt，sinnt的周期。三角函数集正交性的证明可利用如下公式： 14上述正交三角函数集中，当n=0时，cos 0=1, sin 0=0，而0不应计在此正交函数集中，故一正交三角函数集可具体写为 15式中，=2/T称为基波角频率，a0/2，an和bn为加权系数。 式(3.2 - 5)就是周期信号f(t)在(t0, t0+T)区间的三角傅里叶级数展开式。由于f(t)为周期信号，且其周期T与三角函数集中各函数的周期T相同，故上述展开式在(-, )区间也是成立的。 16可得加权系数： 17狄利赫利条件： .在一个周期内只有有限个间断点；.在一个周期内有有限个极值点；.

6、在一个周期内函数绝对可积，即 一般周期信号都满足这些条件. 183.2周期信号的分解与合成3.2.1周期信号的三角级数表示 cosn1t, sinn1t3.2.2周期信号的复指数表示 e j n 1t 193.1周期信号的分解与合成将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义1.从信号分析的角度将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。2.从系统分析角度已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应；而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。20傅里叶生平1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数

7、级数表示”1829年狄里赫利第一个给出收敛条件拉格朗日反对发表1822年首次发表在“热的分析理论”一书中21傅立叶的两个最主要的贡献“周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点223.2.1周期信号的三角级数表示任何正常的周期为 T 的函数 f (t) 都可分解为无限个正弦和余弦函数的代数和。直流分量基波分量n =1 谐波分量n1基波角频率233.2.1周期信号的三角级数表示傅立叶系数直流系数余弦分量系数正弦分量系数可取 t0=0，t0=T/2243.2.1周期信号的三角级数表示周期信号的另一种三角级数

8、表示253.2.1周期信号的三角级数表示几个系数的关系263.2.1周期信号的三角级数表示几种系数的特点是 n 的偶函数是 n 的奇函数是 n 的偶函数是 n 的奇函数273.2.1周期信号的三角级数表示 f (t) 为偶函数时的傅立叶级数取 t0=T/2 f ( t ) = f ( t )，偶函数的傅立叶级数只有直流分量和余弦分量，无正弦分量。283.2.1周期信号的三角级数表示 f (t) 为奇函数时的傅立叶级数取 t0=T/2 f ( t ) = f ( t )，奇函数的傅立叶级数只有正弦分量，无直流分量和余弦分量。293.2.1周期信号的三角级数表示f (t) 为奇谐函数时的傅立叶级数

9、f (t) 沿时间轴平移半个周期，并关于时间轴对称，此时波形不变，这样的 f (t) 称为半波函数或奇谐函数。当 n 为偶数时：奇谐函数的傅立叶级数中只含有基波和奇次谐波的正、余弦分量，无偶次谐波分量。303.2.1周期信号的三角级数表示f (t) 为偶谐函数时的傅立叶级数f (t) 沿时间轴平移半个周期，此时波形不变，这样的 f (t) 称为半波函数或奇谐函数。当 n 为奇数时：偶谐函数的傅立叶级数中只含有偶次谐波的正、余弦分量，无基波和奇次谐波分量。313.2.1周期信号的三角级数表示P94/例3.21：求周期矩形波的傅里叶级数展开式。奇函数：且也是奇谐函数：n 为奇数：323.2.2 指数形式的傅里叶级数 式中，T=2/为指数函数公共周期，m、n