小积分学习总结

1、第一章函数与极限第一节函数函数内容网络图区间定义域不等式区间定义域不等式定义集合对应法则表格法表达方法图象法TOCo1-5hz初等函数V解析法非初等函数I单调性函数的特性奇偶性函数周期性有界性/Y定义,反函数1重要的函数存在性定理厂复合函数复合函数符号函数:sgnx=0,x:0,x=0,狄里克雷函数:DxT0,X为有理数,X为无理数.内容提要与释疑解难一、函数的概念定义：设、是两个非空实数集，如果存在一个对应法则，使得对中任何一个实数，在中都有唯一确定的实数与对应，则称对应法则是上的函数，记为f:x-y或f:A=B.称为对应的函数值，记为其中叫做自变量，又叫因变量，称为函数的定义域，记为（），

2、f（A）二f（x）xA,称为函数的值域，记为（），在平面坐标系下，集合x,y）y=f（x）,x壬D称为函数（）的图形。函数是微积分中最重要最基本的一个概念，因为微积分是以函数为研究对象，运用无穷小及无穷大过程分析处理问题的一门数学学科。、由确定函数的因素是定义域、对应法则及值域，而值域被定义域和对应法则完全确定，故确定函数的两要素为定义域和对应法则。从而在判断两个函数是否为同一函数时，只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同，至于自变量、因变量用什么字母，函数用什么记号都是无关紧要的。、函数与函数表达式的区别：函数表达式指的是解析式子，是表示函数的主要形式，而函数除了用表达式来表示，还可以用

3、表格法、图象法等形式来表示，不要把函数与函数表达式等同起来。二、反函数定义设（），D，若对（）中每一个，都有唯一确定且满足（）的D与之对应，则按此对应法则就能得到一个定义在（）上的函数，称这个函数为的反函数，记作f：Rf；D或x=fy,yRf.由于习惯上用表示自变量，表示因变量，所以常把上述函数改写成y=f（x）R（f）.、由函数、反函数的定义可知，反函数的定义域是原来函数的值域，值域是原来函数的定义域。、函数（）与（）的图象相同，这因为满足（）点（）的集合与满足（）点（）的集合完全相同，而函数（）与（）图象关于直线对称。、若（）的反函数是（），则y二ff（y）!x二ffx.、定理（反函数存在

4、定理）严格增（减）的函数必有严格增（减）的反函数。三、复合函数定义设y=fu,uE,u:x,xD，若D（f厂R-八，则通过构成的函数，称为由（）与u二:x复合而成的函数，简称为复合函数，记作y二fc：（x）。复合函数的定义域为D且（xe1，其中称为自变量，称为因变量，称为中间变量，：x称为内函数，（）称为外函数。、在实际判断两个函数y=f（u）,u=x能否构成复合函数，只要看y=f（x）的定义域是否为非空集，若不为空集，则能构成复合函数，否则不能复合函数。、在求复合函数时，只要指出谁是内函数，谁是外函数，例如（），（）,若（）作为外函数，（）作为内函数。则复合函数y=f（gx），若y二gx作为

5、外函数，y二fx作为内函数，则复合函数为（）。、我们要学会分析复合函数的复合结构，既要会把几个函数复合成一个复合函数，又要会把一个复合函数分拆成几个函数的复合。四初等函数常值函数、幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数。大家一定要记住基本初等函数的定义域，值域，会画它们的图象，并且要知道这些函数在哪些区间递增，在哪些区间递减，是否经过原点？与坐标轴的交点是什么？以后我们常常要用到。由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合运算所得到的函数统称为初等函数。不是初等函数称为非初等函数。2,U=X复合而成。一般来说，分段函数不是初等函数，但有些分段函数可能是初等函数，例

6、如fx二xx,xqx=x2是由丫u，五具有某些特性的函数.奇（偶）函数定义设是关于原点对称的数集，（）为定义在上的函数，若对每xD这时也有-XD，都有f-x=-fxf-x=fxj，则称（）为上的奇（偶）函数。（）定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要条件。（）若（）为奇函数，贝U（），事实上，由定义知（）（），有（）（），得（）.周期函数定义设（）为定义在上的函数，若存在某个非零常数，使得对一切X-D，都有（）（），则称（）为周期函数，称为（）的一个周期。显然，若是（）的周期，则kTkZ也是（）的周期，若周期函数（）的所有正周期中存在最小正周期，则称这个最小正周期为（）的基本周期，一般地

7、，函数的周期是指的是基本周期。必须指出的是不是所有的周期函数都有最小正周期，例如（）（为常数），因为对任意的实常数，都有（）（）。所以（）是周期函数，但在实数里没有最小正常数，所以，周期函数（）没有最小正周期。如果（）为周期函数，且周期为，任给D，有（）（），知xkDZ。所以是无穷区间，即无穷区间是周期函数的必要条件。单调函数定义设（）为定义在上的函数，若对中任意两个数且,总有fX乞fX2fXi_fX2,则称（）为上的递增（递减）函数，特别地，若总成立严格不等式fXi:fX2fXifX2,则称（）为上严格递增（递减）函数。递增和递减函数统称为单调函数，严格递增和严格递减函数统称为严格单调函数。

8、分段函数如果一个函数在其定义域内，对应于不同的范围有着不同的表达形式，则称该函数为分段函数。注意分段函数不是由几个函数组成的，而是一个函数，我们经常构造分段函数来举反例，常见的分段函数有符号函数、狄里克雷函数、取整函数。有界函数与无界函数定义设（）为定义在上的函数，若存在常数W,使对每一个X，D，都有则称（）为上的有界函数，此时，称为（）在上的一个下界，称为（）在上的一个上界。由定义可知上、下界有无数个，我们也可写成如下的等价定义，使用更加方便。定义设（）为定义在上的函数，若存在常数，使得对每一个D，都有则（）为上的有界函数。几何意义，若（）为上的有界函数，则（）的图象完全落在直线与之间。注意

9、：直线，不一定与曲线相切。有界函数定义的反面是定义设（）为定义在上的函数，若对每一个正常数（无论多么大），都存在定义设（）为定义在上的函数，若对每一个正常数（无论多么大），都存在xoD，使fx0M，则称（）为上的无界函数。函数的延拓与分解有时我们需要由已知函数产生新的函数来解决实际问题，这里我们从函数的特性出发，开拓由已知产生新的函数的方法。则应有设y二fx,x0,a丨，我考虑区间上的函数（），它是偶函数，且在上，使（）（）,f-xf-xx0,alxl-aj则应有fX,X0,aF(x)=0,x=0这样，研究（）只要，研究（）就可以了。称（）是（）的偶延拓同样可给出（）的奇延拓，即函数（）在上的

10、奇函数，且在（）上，（）（）,厂f(x)x匸(a,0)(),(),同样，对于函数（），a,b，可以构造一个以（）为周期的周期函数（），在（）上，（）则有F(x)=f(X,(a,b)Jk-n(b-a(nb-(n-1a,(n+1b-na)nz这就是函数（）的周期延招，研究（）只要研究（）就可以了。此外，定义在区间（）上的任何一个函数（）都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和事实上fX-f-xfXf-X22fX-f-X2fxf-x2由奇偶函数的定义知，（）是奇函数。（）是偶函数，且fX二flXf2x我们还可以证明（），（）是唯一存在，如果fg1xg2X,其中（）是奇函数，（）是偶函数，于是fx=giX

11、g2X,f-X二gi-xg2-x-_giXg2x,解得gix二耳fX二fix，g2x二Uf_X二f2x22解题基本方法与技巧一、求函数定义域的方法若函数是一个抽象的数学表达式子，则其定义域应是使这式子有意义的一切实数组成的集合，且在（）分式的分母不能为零。（）偶次根号下应大于或等于零。（）对数式的真数应大于零且底数大于零不为。（）X或cosX，其）X1z-（）tanx，其kx:k,kz；cotx,其k-:,k22（）若函数的表达式由几项组成，则它的定义域是各项定义域的交集。（）分段函数的定义域是各段定义域的并集。.若函数涉及到实际问题，定义域是除了使数学式子有意义还应当确保实际有意义自变量取值

12、全体组成的集合。.对于抽象函数的定义域问题，要依据函数定义及题设条件。例求下列函数的定义域：（）y=3x-X2化简有-仁21,-31,1+x1+x11不等式各边除以（）有，31,21+x2。（）y=arcsin竺1+x3解（）要使函数式子有意义，就必须满足3x-x一0。化简有xx-3x3乞0,即x.3xx-.3_0.解之，得定义域为x三-3L0,31。（）要使函数式子有意义，就必须满足2X）o解要使（）（）有意义，必须满足：0兰x+a兰1,得ja兰x兰1-a,0兰x-a兰1,得a兰x兰1+a.11当0：a时，由a乞1-a，知函数的定义域为a乞x乞1-a。当a时，由,知定义域2不存在。二、求函数

13、值域的方法.由定义域的范围，利用不等式求出（）的范围。.若（）有反函数（），求出反函数的定义域就是函数的值域。.利用一元二次方程的判别式求函数的值域。例求下列函数值域：（）y=x.1-x。（）厂以。（）y=X2x1x+3xx+1解（）令1-X=t,则x=1，于是y=x1-x=1-12t-5-40，即卩0兰yE4(y工1卜故函数的值域为,。三、判断两函数是否为同一函数的方法例判断下列各组函数是否为同一函数：()()y=sinx0_x_二。()s=.1-cos210乞t乞二,()()()x-1x2-1()解()由的定义域是,n,S=J-COS2t的定义域是,n。知两函数定义域相同，又S=11-co

14、St=Jsin2t=sint=sint(0兰t兰兀知两函数对应法则相同，故()()为同一函数。x11()由y2的定义域是-1的全体实数，y的定义域是-1的全体实数，知x-1x+1两边立方得y3=x.1x21x2x-、1x2X亠1X2)X-1X2i亠X-.1x2,y3=2x3?x+J1十x2xJ1十x2=2x3y,解之S3.X3yyo21所以反函数为y=13xx3,xR.2()由X=()由X=1,X,X:1,1兰y兰16,则反函数为y=JX,1兰x兰16,log2y,y16,log2x,x16.五、求复合函数的方法。.代入法某一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代，这种构成复合函数的方法，

15、称之为代入法，该法适用于初等函数的复合，关健搞清谁是内函数，谁是外函数。.分析法根据外函数定义的各区间段，结合中间变量的表达式及中间变量的定义域进行分析，从而得出复合函数的方法，该方法用于初等函数与分段函数或分段函数与分段函数的复合。x例设fX=，求fnX二fffX，求fnX二fffX猜想解f2X二ffX二X=1时，f(x)=0,ff(x$=f(0)=1。故（）。f(x)=f(珂X=3,x），则（）为周期函数。证由条件函数的对称性知faxi；二fa-x，（）fbxAfb-x,（）baba故函数在中点（）处的值等于点和b处的函数值22（b_八fb_八从而猜想如果（）为周期函数，则周期应为b+i-

16、a-叱旦i=2（b-a）。2八2丿事实上f&2b-a丄fbx-b-2a=fb-xb-2al=f2a-x二fa亠a-x丨=fa-a-x丨=fx所以（）是以（）为周期的周期函数。八、单调函数的判断方法.用定义。利用单调函数的性质。（）两个递减（增）函数的复合是递增函数，一个递增、一个递减函数的复合是递减函数。例设x，-x及（）为递增函数证明：若X岂fXx（）则“XbffX丨（）证设为三个函数公共域内的任一点，则-X。乞fX。空X。由（）以及函数（）的递增性知f：X。LffX。1,：-：X。Lf-X。1。从而八xjffXo1同理可证fIfXo丨tIXo。由的任意性知，于是（）式成立。九、函数有界性的

17、判断判断函数是否有界，经常用定义。例判断下列函数是否有界：X1_1（）fX厂。（）fX2,x0,1lo1+xX解（）由（）的定义域是。当X时,fXXx2|將兰事专，当时fo“有问4，所以（）为有界函数。所以（）为有界函数。()-M-0,取Xo=0,1Lf(怡)=M+1=M北M.M+11由无界函数的定义知（）在（，）上无界。第二节函数极限与连续函数极限内容网络图函数极限内容网络图函数极限定义=limf(x)=AX)：:limf(x)二AX讯limf(x)-:XJXo性质隹一性,有界性质隹一性,有界性,不等式,保号性，四则运算函数极限与连续函数极限与连续夹逼定理w判断函数极限存在准则厂单调有界定理

18、单侧极限与双侧极限Xo广12/56最大（小）值定理可去间断点第一类间断点跳跃间断点间断点分类第二类间断点内容提要与释疑解难一、函数极限的概念.lim(x)=A:若存在一个常数A厂；0,X0当xX时,都有f(x)-A：；。X.limf(x)二A:把中xX”换成x：-XXlimf(x)=A:把中xX”换成xXx.(X)=A.定理limf(x)=A：=limf(x)=A且limfX,x、x)_：0-limf(x)=A:设f(x)在X。的某空心邻域内UX。有定义，若存在一个常数，X0fz00,当00,为0,当一6xx0c0时，都有f(x)-A0,茅0,当0vxx0时，都有f(x)|aM。此时称xtx0

19、X3K0时，f(x)是无穷大量。而limf(x)=：,只要把公式中X込0f(x)M”改成f(x).M”，limf(x)=-：:只要把上式中“f(x)|M”改成“f(x)M”。.limf(x)=旳：X/M0,2Xa0。当xX时，都有f(x)|aM。xc1读者同理可给出lim(:或-：-)f(x)-：(：:或-：-)定义。注：limf(x)=A(常数)与limf(x)的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数X洪0极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。limf(x)=0。称f(x)当xxo是无穷小量

20、。这里的xo可以是常数，也可以是X卡厂或：。定理limf(x)=A(常数)：=f(x)=AW(x)。Xx)其中lim：(x)=0。X00若我0M0,当xeU(xX,6)时，都有f(x)EM，称f(x)当xtx0时是有界量。二、无穷小量阶的比较，无穷小量与无穷大量关系设limf(x)=0,limg(x)=0,XX0 xX0(这里X0可以是常数，也可以是：，以后我们不指出都是指的这个意思)()若lim丄凶=0，称f(x)当xX0时是g(x)的高阶无穷小量，记作fg(x)f(x)二(g(x)(xX0).。()若lim丄凶=c(常数)=0,，称f(x)当x；x0时是g(x)的同价无穷小量。Xfg(x)

21、()若limf(x)=1,称f(x)当Xrx0时是g(x)的等价无穷小量，记作fg(x)fXgXXX。，此时()式也可记作fXegXXX。()若lim=c(常数)=0(k0常数)，称f(x)当xx0时是x-x0的阶无穷小XT(XX。)量。由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用，因此，引入若limf(x)=1。记作f(x)g(x)(xrx0)，xi。g(x)如果f(x),g(x)均是无穷小量，称为等价无穷小量。如果f(x),g(x)均是无穷大量，称为等价无穷大量。如果f(x),g(x)既不是无穷小也不是无穷大，我们称为等价量。例如limf(x)二A(常数)=0，则f(x)A(x；x0)。注

22、：不能为零，若，f(x)不可能和等价。无穷小量的性质：若(x),2(x)，m(X)当xX。时,均为无穷小量，则()limCl：1(X)C2：2(X)亠亠Cm：m(X)l=0.X必0其中q,c2,cm均为常数。()lim：1(X)：2(x)：m(x)=0。XX0若f(x)当x-；X0时是有界量，：(x)当x-；x时是无穷小量，则limf(x)：(x)=0。X0无穷大量的性质：有限个无穷大量之积仍是无穷大量。有界量与无穷大量之和仍是无穷大量。无穷小量与无穷大量之间的关系：1若limf(x)-：,则lim0。X%X%f(x)01若limf(x)=0,且一：0,当xU(x0,、)时f(x)=0,则li

23、m一二：。x0 x|X0f(x)三、函数连续的概念。定义若limf(x)二f(x0),称f(x)在x=x0处连续。X%用；-：语言可写为定义设f(x)在X。的某邻域U(x。)内有定义，若Ww0,为0,当x-X0v6时，都有f(X)-f(x),称f(x)在X=X0处连续。用函数值增量.vy形式可写为定义若limy=0，称f(x)在x=x0处连续。若limf(x)二f(x0),称f(x)在x=x0处左连续。X/0-若limf(x)=f(xo),称f(x)在x=xo处右连续。x/o定理f(x)在Xo处连续二f(x)在Xo处既是左连续又是右连续。如果f(x)在X=Xo处不连续，称X=Xo为f(X)的间

24、断点。间断点的分类：()若limf(x)=A(常数),但f(x)在x=xo处不连续,称x=xo是f(x)的可去间断点。X3Xo若X=xo为函数f(x)的可去间断点，只须补充定义或改变f(X)在X=xo处的函数值，使函数在该点连续。但须注意，这时函数与f(X)已经不是同一个函数但仅在X二xo处不同，在其它点相同。我们正是利用这一性质去构造一个新的函数F(x)，使F(x)在某闭区间上处处连续，因而有某种性质。当X=Xo时，也具有这种性质。而X=Xo时，F(X)二f(X)，所以f(X)在X=Xo的范围内也具有这种性质，从而达到了我们的目的。例如f(x)二沁,lmf(x)二lim=1，XX但f(x)在

25、x=0处没定义，知f(x)在x=0处不连续，设F(x)=sinx一,xfx1,x=0.则Fx在x二。处连续，但Fx与fx定义域不同,xx=o.sinx虽然F(x)与f(x)不是同一函数，但在x式o处完全相同，又如f(x)=厂io,limf(x)=limxoxox=1=f(0)=0,知f(x)在x=o处不连续设F(x)二sinxx1,x=o,x=o.则F(x)在x=0处连续，虽然F(x)与f(x)定义域相同，但在x=0处，两个函数值不同，知F(x)与f(x)不是同一函数，但仅在x=0不同，其余点函数值处处相同。()若limf(x)=f(x0-0).limf(x)=f(x00),但f(x0-0)=

26、f(x00)，称x=x0为f(x)的跳跃间断点，称f(Xo+0)-f(Xo-0)为f(x)的跳跃度。()()两种类型的特点是左右极限都存在，我们统称为第一类间断点。()若Xq处，左、右极限至少有一个不存在，我们称X=Xq为f(x)的第二类间断点若limf(x)=处，我们也称x=Xo为f(x)的无穷型间断点，属于第二类间断点。X此四、函数极限的性质在下述六种类型的函数极限：()limf(x)()limf(x)x_()limf(x)()limf(x)()limf(x)()limf(x)Xsx十Xq_它们具有与数列极限相类似的一些性质，我们以limf(x)为例，其它类型极限的相应性质的叙述JXq只要

27、作适当修改就可以了。性质(唯一性)若极限limf(x)存在，则它只有一个极限。X3X00性质(局部有界性)若极限limf(x)存在，则存在x0的某空心邻域U(x0)，使f(x)在Xq0U(Xq)内有界。注意：limf(x)存在，只能得出f(x)在xo的某邻域内有界，得不出f(x)在其定义域内有X=Xq界。0性质若limf(x)二A,limg(x)二B,且A：B，则存在xo的某空心邻域U(x0,：0)，使X风X%0XU(Xoo)时，都有f(x)：g(x)。性质(局部保号性)存在Xo的某空心邻域若limf(x)二A-0(或:0)，则对任何常数0：:A(或A厂0)，x讯f(x)0(或f(x):：:0

28、)成00U(Xo)，使得对一切XU(Xq)，都有立。0性质(不等式)若limf(x)=A,limg(x)=B，且存在x的某空心邻域U(Xqo)，使得xXqxXq0对一切xU(Xoo)，都有f(x)辽g(x),则A乞B。性质(复合函数的极限)若lim(x)=u0,limf(u)二A,且存在x0的某空心邻域x_oUTo00U(x0,、)，当xU(x0,、)时，(x)=u0，则limf(x)limf(u)=A。0To性质是求极限的一个重要方法一一变量替换法，即limf(x)令(x)=ulimf(u)=A。x/ouuo且人爭,棗XUo性质(函数极限的四则运算)若limf(x)与limg(x)均存在，则

29、函数xox)f(x)_g(x),f(x)g(x),cf(x)(c为常数)在x；xo时极限均存在且limIf(x)二g(x)-limf(x)二limg(x)。XfX/oX_”xXoXXoXoXXolimf(x)g(x)1=limf(x)limg(x)。xXo()()()limf(x)f(x)xxolim一xxog(x)limg(x)利用极限的四则运算，可得下列重要结果。a1xn4anjX-anlimcf(x)二Climf(x)。又若limg(x)=o,则丄_、在x；xo时的极限也存在，且有xoJxoxxogixIn+n二：;(ao,an,bo/,bm均为常数，aobo71,naoa1LaXXPm

30、若1bo一+L+bm4X1,naoa1LaXXPm若1bo一+L+bm4Xao1nJndnnXX11+bmmXm-1Xo,ncmao,n=mbo:,nm上面的结论可作为公式用。性质(归结原则或海涅()定理)limf(x)存在的充要条件是:XXo-im-Xn=XoXn=X,n=1,2，,极限im-f(Xn)都存在且相等。逆否定理若存在两个数列xnJx；limxnxo,limxnxo,且nJpclim_f(Xn)二A,lim.f(Xn)二B,A=B或存在不存在，则n)：-n)：-n)：-n)：-njxo不存在。此定理是判断函数极限不存在的一个重要方法。五、函数连续的性质若函数f(x)在点x=x0处

31、连续，即limf(x)二f(x0)，利用极限的性质可得到函数在x=x00U(Xo)改成U(Xo)即可，读者自己叙述出0U(Xo)改成U(Xo)即可，读者自己叙述出连续的局部有界性，局部保号性，不等式等，只要把来。禾U用极限的四则运算，我们有性质(连续函数的四则运算)性质(连续函数的四则运算)若f(x),g(x)在点X=Xg处连续f(x)_g(x),f(x)g(x),cf(x)(c为常数)f(X)(g(x0)=0)在x=x0处也连续g(x)性质若Uh护(x)在Xo处连续，y=f(u)在Uoh护(Xo)处连续，则y=f(“x)在X=Xo处也连续且limf(x)=f(Xo)=f(lim(x)X)Xo

32、JXo在满足性质的条件下，极限符号与外函数f可交换顺序，如果仅要可交换顺序，有推论若lim：(x)二uo,y二f(u)在u二uo处连续,则limf(x)=f(lim:(x)。X%X%X%(x),x式xo,证设g(x)=丿则g(x)在x=Xo处连续，又y=f(u)在u=u。=g(x).Uo,X=X。，处连续，由性质知limf(g(x)=f(limg(x)。由于xxo,要求x=xo,有g(x)=(x),所以limf(x)=f(lim(x)。在这里，我们巧妙地利用可去间断点的性质，构造一个连续函数，以满足所需的条件，上面的性质及推论也是求函数极限的一个重要方法。即极限符号与外函数f交换顺序，把复杂函

33、数极限转化为简单函数极限。定理初等函数在其定义域上连续。六、闭区间上连续函数的性质定理(最大值与最小值定理)若f(x)在闭区间a,bi上连续，则f(x)在a,b1上一定能取到最大值与最小值，即存在xx2a,b,f(xj=M,f(x2)=m，使得对一切xa,bl,都有m_f(x)_M。推论若f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,bi上有界。定理(根的存在定理或零值点定理)若函数f(x)在闭区间a,b1上连续,f(a)f(b)：o，则至少存在一点(a,b),使f(J-0。推论若函数f(x)在闭区间a,b1上连续，且f(a)=f(b),c为介于f(a),f(b)之间的任何常数，则至少存在一点

34、(a,b),使f(Hc。推论若函数f(x)在闭区间a,b1上连续，则值域R(f)二m,M1。这几个定理非常重要，请大家要记住这些定理的条件与结论，并会运用这些定理去解决问题。七、重要的函数极限与重要的等价量禾U用初等函数的连续性及极限符号与外函数的可交换性及等价量替换，夹逼定理可得到下面的重要的函数极限。lim沁X0 x=1.11叫(1X)，二e.lim也凶XX=lim丄ln(1x)=limIn(1JxxX)01-lnlim(1x)，=lne=1.X0X.lime设exXQX1二tlimlimt0In(1t)toln(1t)=1.xxlna.lim=lim-lna=lna(a0,a=1为常数)

35、.xTxxoxlna、limx)0bln(1x)e-1ln(1x)=limxx0(1x)b-1bln(1x)b=b(b为常数，b=0).limx)0arc亟设arcsinxhlim丄xtosint二limt0sintt=1.arctanxt设arctanx=tlimxt：0Jim二牛=0(k0常数).li=lim丄tantosintcost=11=1.xkJimX=0(a1常数，k为常数).若limu(x)=a0,limv(x)=b(a,b均为常数),则limu(x)V(x)Xolimu(x)V(x)XoV(x)lnu(x)limeXXolimV(x)lnu(x)limV(x).limInu(

36、x)二exxoexxxxoblnalnabb=eea即limu(x)v(x)=ab。x可换成f(x)，Xx注：不仅要记住这些公式的标准形式，更要明白一般形式。即上面公式中的只要X;X。时，f(x);,结论依然成立。利用上述重要极限，我们可以得到下列对应的重要的等价无穷小量，在解题中经常要利用他们当Xr时，sinxx,ln(1x)x,eX-1x,ax-1xlna(a.0,a=1,常数).b12(1x)-1bx(b=0,常数),arcsinxx,arctanxx,1-cosxx.2注：上式中的x可换成f(x)，只要x、x0时，f(x)0结论依然成立。例如sinf(x)f(x)(若Xrx0时,f(x

37、)0)。此外，若limf(x)=A(常数)=0,f(x)A(xx0).X3X0解题基本方法与技巧一、求函数极限的有关定理等价量替换定理，若()f(x)f1(x),g(x)g1(x),h(x)h1x(x_X0)。()!吧盅呐或:)。，则limX%h(x)f1(x)g1(x)0(x)-A(或:).证limX风0f(x)g(x)h(x)limX昨f1(x)gdx)f(x)g(x)h(x)_Ah(x)(x)gjx)h(x)即limXX0f(x)g(x)h(x)lim迪虫(或XFh1(x)这个定理告诉我们，在求函数极限时，分子、分母中的因式可用它的简单的等价的量来替换，以便化简，容易计算。但替换以后函数

38、极限要存在或为无穷大。需要注意的是，分子、分母中加减的项不能替换，应分解因式，用因式替换，包括用等价无穷小量、等价无穷大量或一般的等价量来替换。夹逼定理若limf(x)二limg(x)=A，且存在x。的某空心邻域0U(X。；)，使得对一切0 xU(X0,、)，都有f(xHh(xHg(x)，则!吧论)。0单调有界定理()若f(x)在U-(X。)内递增(或递减)有下界(或上界)，则limf(x)存Xo-在。()若f(x)在(-口a)内递增(或递减)有下界(或上界)，则limf(x)存在。请读者给出xXX.:的叙述。函数的单调有界定理应用的较少，大家只要了解就可以。洛必达(LHospital)法则设

39、()limf(x)二0,limg(x)二0。X_o000()存在X0的某邻域U(X0)，当U(X0)时，f(x),g(x)都存在，且g(x)=0。()lim丄二A或：)，则lim丄1勺二lim丄_凶二a(或：).XNg(x)XFg(x)XFg(x)洛必达(LHospital)法则，设()()limf(x)=X000f(x),g(x)都存在且g(x)=0。()存在x。的某邻域U(x。)，当U(X0)时,()lim丄凶二A(或二)，则lim卫勺二lim丄凶=A(或：).XX。g(X)%g(x)X旳g(x).上述两个法则中的X；X0改成XrX(,XrXj,Xr-,XrY-,X)：时，条件()只须作相

40、应的修改，结论依然成立。在用洛必达法则求极限之前，应尽可能把函数化简，或把较复杂的因式用简单等价的因式来替换，以达到简化，再利用洛必达法则。利用洛必达法则求极限时，可在计算的过程中论证是否满足洛必达法则的条件，若满足洛必达法则的条件，结果即可求出。若不满足，说明不能使用洛必达法则，则需用其它求极限的方法。此外，可重复使用洛必达法则，但只能用有限次。注：洛比达法则是第三章内容。二、函数极限的类型.若f(x)是初等函数，X0f(x)的定义域，由初等函数的连续性知limf(x)二f(X0).若limf(x)二A,limg(x)=B，则XX0XjXQ()limf(x)0,xxog(x)0IIIIA常数

41、,B常数=0,A=0,B-：,A-：,B=0,A=0,B=0,oOiiiioO()()limf(x)g(x)X一0AB,=弋oOj0oA常数,B常数，A=常数=0,B=：,A=0,B-:.A=0,B=幺时，limf(x)g(x)(0,：)limf(x)(-)或limx10 x。1O0对于因式中含有对数函数，反三角函数时，一般放在分子、否则利用洛必达法则很繁，或求不出来。A-B,A常数,B常数，odJA、B中有一个是常数oOA、B为异号无穷大，比_oOA、B为同号无穷大，另一个是无穷大，()lim(f(x)-g(x)二X0当A-：,B二：，且A、B同号时，limfx-gx.-”，再利用洛必达法则

42、。O0这时，把fx,gx化成分式，通分、化简，化成“0()AB,A常数A0,Bl件，A=1,B=00,A=0,B=0“0“旳,A=,B=0,0,A=0,B=A=0,B=-IX二()当A=1,B-：时,我们有两种方法求该未定式的极限,一种方法利用重要极限1xm1来计算，另种方法，化为以为底的指数函数，再利用洛必达法则。即解法一役f(x)呼沪)=乙Mmyc=e_ffH(fjTOCo1-5hz0oQ再根据具体情况化成-或二。0旳x為/解法二f(xg(W)：elnfW=xegWe)=e匝).这两种方法，我们经常还是利用解法一方便。()当A=0,B=0时，()当A二二,B=0时这时，只有化成以为底的指数

43、函数，再利用洛必达法则。即g(x)g(x)TOCo1-5hzlim-,、cc,、，“、limg(x)Inf(x)(0旳(0旳Tg(x)00g(x)lnf(x)x_xlimf(x)(0)(-)=lime二e0=exJx0 x_0limg(x)lnf(x)|:：(-：)=exx0二e_=0而A=0,B=或A=0,B-：时不属于未定式，因为limf(x严)(0limeg(x)lnf(x)limg(x)lnf(x).(一：j=exx0:Xxgx必limf(x)g(x)(O；)=limeg(x)lnf(x)Xx0 x必0三、已知函数的表达式，求函数的极限求函数极限的四种重要方法()极限的四则运算。()等

44、价量替换。()变量替换。()洛必达法则。对于未定式的极限，先用等价量替换或变量替换或极限的四则运算化简，再利用洛必达法则求极限。很多情况下，这几种方法常常综合运用。x-arcsinx求limx)0 xarcsinx,0、)lim0 x_0 x31Ji_x204()im3x20 xeg(1x2)2x)26x求lim一C0Sx1-cosx1-cosxx10 x(1_cosx)解limlcosx(0)=lim.x0 x(1COSx)0 xpx(1cos、x)(12,1-cos.x.x=,1-cosx222x原式lim一2一x0 xx22注：本题虽然是未定式，但巧妙地用变量替换，并没用洛必法则就直接求

45、出了极限。2x原式lim一2一x0 xx22注：本题虽然是未定式，但巧妙地用变量替换，并没用洛必法则就直接求出了极限。求lim1tanx今竺。J0 xln(1x)-x原式=liiimtanxsinxx0 xIn(1x)x1tanxJ1sinx】sinx(1-cosx)xln(1x)-xlltanx,1sinxCosx20时，sinxx,1-cosx,.1tanx_1sinx2,cosx1，得22xx一2原式=lim-limxT2xln(1+x)x47ln(1xx(0)1r2xlim4x01彳11xlim2x)0 x(1x)X例求limx)01x2-cosx(xx2sinx)解原式1+x2-co

46、sx(xx2)sinx(.1x2cosx)由xr0时，sinxx,1x2cosx2，得原式21x-cosx=lim2x)02(xx2)x1lim2x1021x-cosxx32xsinx012cosx133lim()=limx02x3xx02x3xxsinx-sinxx02xQ26x224解原式二lim叱xxsinx3=lim3X3xX3x-sinx0、1-cosxz0、T)Pm0W(評12X二limx刃3x例求lim(1_,X)(1-xy(1X)n_1(1-x)解法一由妁1脳（0）=lim112jn-Xn-1，故原式.lim1xXx-11X1-x丄n!解法二原式设1-x=tlimt0(1-：.

47、1t)(13、1t)(1n1t)由(1n1t)=(-t)k-1(-t)n=(0)，得原式=lim2nj丄Itn1n!2例求lime2-(1X)x)02e解法一原式二limx=02ln(1:妝)-ex2ln(1-x)Qex-1且x0时，2ln(1x)-20,知e呼=1空S-2，得原式-e2limX2ln(1x)2二2e2lim0ln(1x)-x(0)x2112y-X=-elimx0 x(1x)1x2x=e2lim0解法二原式二limxT2ln(1妝)X（0）Tm）e2ln(1：妝)X1x-ln(1x)X-(1x)In(1x)=-2e2lim2x)0 x2(1x)=-2e2limx)0 x-(1x

48、)ln(1x)/0、(B)X221-ln(1x)-12.2elimelimT2xT1-cot2x).2xln(1x)2e.x求xm0(7d2原式二lim(-cos2x)(:x0 xsinx.222sinx-xcosx：)=lim22xTxsinx.222sinxxcosx=limxsinx+xcosx二limx_0sinx-xcosx3xx,sinx+xcosxsinx由limlim(x10 xx0 xsinxxcosx,0cosxcosxxsinx原式二2lim3()=2limTX30T例求limcos(sinx)YOSXCOSX）=2。得3x2sinxlimx.x4-xsinxx.sinx

49、-x-2sinsin解原式=lim2_4-Tx4sinxxsinxx.sinx-xsinx-x田x0时,sin,sin2-csinxx-2原式=lim2xT2sinx-x1sinxxlimx.xsinx-xsinxx-limxx-sinx(0)1-cosxlimOx刃3x23x12xlimx03x3求limx2(.x22.、x1、x).x.解原式1“lim4(12-x+312tlim-tQG+N-W1im严吋岔丙0t_Q2tt2lim1-T212t0t、12t1tim1t一12t2to（o）lim(1-2202“1t2i12t1=limt=0.J0+例求limlnxln(1x).X人Int二解

50、原式令1-x=tlimln(1-t)lntlim-tlntlim厂(一)limt0tj0tPtt2e例求四100.50解原式设占叫im用50次洛必达法则叭齐0.1sinxx2)xx(Sinx八1x解法一原式=lim1(SinXTX解法二原式例求lim(x.”sinx,0、二exim0rsinxlnx02(-)x20=limeXr0”cosxVlim二ex03x12.x20lm丄(/x03x20cosx1limx-0=elnsinx_lnx,0)(o)x2limsinxxex02xxcosx-sinxlim2ex0 xxcosx-sinxlimX0e2x3limx)0ecosx-xsinx-co

51、sx6x2limsinxexr06xsin2cosl)x.xx1解原式令tlim(sin2tcost)xTt-01t=limet-0ln(sin2tcost)2cos2t-sintlimt一0sin2t七ost二e1xlnIn1I解limIn(一)x0 x28/56InIntocilim(_)=e#t旳、11lnlnt设=tlimetxt1lim=eitlnt=e0=1.sinx求limxx；0limlimlimxsinx00乂x_0亠sinxlnxlimxlnx=ex01limxx0亠12=ex1limxx0亠12=ex_limxx0,Jx2xnxee亠亠ex2xnxee亠亠e1)解lim(

52、x0解lim(x0 x2xnx1一eee)x：)In(exe2enx)_lnlim7x0eex-2e2-nenxlimx_；0exe2-enx123n123nn(n1)2n2ne2例设f(x)在x=0的某邻域内连续,例设f(x)在x=0的某邻域内连续,f(0)=0,f(0)=2,求limx00tf(xt)dtxu11解0tf(xt)dt令xt=u.0f(u)du2.0uf(u)du,于是原式原式Ouf(u)du(0limXlim!1lim0 xe3x2x03x3xef(x)-f(0)12sf(0r2x-sinxlimx：3xcosx分析因为lim2x-sinx(lim2_cosx(极限不存在)

53、，所以洛必达法则不适用，宜改xf：3xcosx二x：3sinx用其它方法。1TOCo1-5hzsinx解原式=limX护1cosxcosxsinx分析分析由于limx+sinxexcosxQOx,e-sinxlimx：ecosxOQx,e-cosxlimx：e-sinx无限循环，所以不能用洛必达法则11xcosx解原式二limeTOCo1-5hzX,11xsinxe利用泰勒公式求函数极限。kkrk右f(x)二Axo(x),A=0常数(x；0),则f(x)Ax。事实上,kkkf(X)Axo(x)1o(x)、彳limklimklim(1l)二1.x0时，右x)0Axx刃Axx*ax因此，利用带有佩

54、亚诺余项的泰勒公式可以求出某些函数极限，当f(x)=Axko(xk)Axk(A0).m/mm,-g(x)=Bxo(x)Bx(B厂0).km,0,x22cosx-e2例求lim4Tx42x解由于cosx-e2=(142,4x,4x1xo(x)-(1-2!4!22!4o(x4),(新新0(x4)x2214cosx-ex(x0)，所以IJnx4丄12对于求xxo时的函数极限，若用泰勒公式求极限，可令X-Xo二t，变成求t；0时的t的函数极限，再利用上述的方法去解决。利用夹逼定理求函数极限。1例求limx.X)0 x解-1-,且x-0,两边同乘以x,得1-x：xI1-1.X_xX_x由塑1)“迥仁1根

55、据夹逼定理知,求lim-X:求lim-X:J0Sint|dtx分析本题虽然属于二型，但不能用洛必达法则，因为O0語SInxdt才卄*lim!=limsinx不存在。化xI显因此，用其它方法，解对任意自然数n,有JJsintdt=njjsintdt=2n,当n理虫x：(n1)二时，成立不等式当n理虫x：(n1)二时，成立不等式2n(n1)二J0|sint|dt2(n+1)xn二由lim2nlim2n2,lim2(n=lim卫二2.根据夹逼定理知原式x：(n亠1)二n匚(n亠1)门：-.x；n二n二二2注：这里是x的函数，是分段函数，即(n1)二2nf(x)_(n1)二利用定义证明函数极限的存在禾

56、U用函数极限定义证明函数极限与利用数列极限定义证明数列极限存在完全类似，在这里我们就不再重复了，一般情况，能不用尽量不用。除非要求用定义证，且考研出这种题的可能性较小。例用定义证明limn1x=1,其中nN。X0证不妨设0cX1，贝yU1+X_1=,:0，要使“1+x1vg,由1c|x(OcX1),只要x|c名,取6=mi妬訂当0c|x出时，都有n，1+x1E,由定义知注：这里用了公式(a-b)(an_anbbn)n丄nJ.丄.ndn斗.n二.nn.n=aabab-ab-ab-ba-b。至于用函数极限的单调有界定理求函数极限的可能性更小。四、已知函数极限且函数表达式中含有字母常数，确定字母常数

57、数值。这种题型考的可能性更大，因为这种题型更能考察考生运用无穷小量阶的比较和洛必达法则分析问题，解决问题的能力。例求lim(x57x42)a_x二b=0，求常数,.x.1解令t,当XrJ时,tr0，于是X原式原式171二!吧(孑2)_1-(7t2t5)k-1lim(72t4)=。2解四叱+近严+”“沪四x21r(a2bx)2xJim。7t小丫一1t0t由limt=0，知分子当t0时，是分母的同阶无穷小量，所以0limt1Ja(17t2t5)a-10.i_0-1得1-5a=0,即a,从而51(1+7t+2t5)5-1原式=lim一-lim-TOCo1-5hz0t015(7t2t5)彳51.lim

58、lit“t51由lim20，知分子是分母的同阶无穷小量,x0有于是xm有于是xm-1-2bx0(0円四1X2xJ-2b(1x)22-1-2b2例试确定常数k1c,使得当x.时,arcsin（；x2x-x）解由题意知limx_jrbcarcsin(.x2x-x)=1.xk由于arcsin(x?x-x).X2亠I，xx12.X2亠Vxx丄(Xx2所以lim-x_-:arcsin(.x2.x-x)limx：ck1xlimT2cxx2=11111必有k二丄,此时，丄=1，因此c二丄*二丄22c22例已知limx011f(x)-1一JC=O,C为常数,x求常数和，使x0时，fXaxk解limx)01+1

59、f(x)-1xx=c，由limx20=0，知=0,必有limf(x)0-0，x从而11f(x)-12x-f(x)二limxx=01x2(1+：f(x)+1)得limf(x)x02cx3=1,即f(x)2cx3,所以k=3,a=2c.例确定常数a,b,c的值，使|m拟?二。=0,3也Qdt解由x0时，axsinx0,且极限c=0,知分子、分母是同阶无穷小量有3ln(1t)dt=0,必有b=0由于且limx2x_0且limx2x_0axsinx,0、a-cosxlim3()二lim3limx-0 xln(1t3)0 x_oln(1x3)xadt0ln(1x3)acosx=c，x2=0,知lim(a

60、-cosx)=0=a-1,得a0二1,从而1-cosxlimx_01故a=1,b=0,c,2x2注：町ln(1-t3)dttln(1-13)dt=0t()必有b=0,因为b：0,tb,0时,ln(1t3)：0,t:0,有ln(1t)tb,0时,ln(1t3)：0,t:0,有ln(1t)0,有dt0与()矛盾，若b0.也丄)dttln(1t)dtXo，由f(rn)二0，imf(rn)二f(X0)=0,故f(x)二0。例若f(x)在区间上连续，当r1,rX且r-i:r2,其中r1,r2为有理数,f(x)在区间递增。证-x-x?x,且捲：x2,取有理数列rnrn：x1,使im_rn=x1,Tn：；r