(江苏专用)高三数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数Ⅰ课时跟踪检测文-人教版高三全册数学试题

1、： AB，使对于集合 A 中的任意一个fword第二章 函数与基本初等函数第一节函数的概念及其表示1函数与映射的概念函数两集合设 A， B是两个非空的数集A， B如果按照某种确定的对应法则对应 f法则数 x，在集合 B中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应称 f： AB 为从集合 A 到集合 B名称映射设 A， B是两个非空集合如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B中都有唯一确定的元素 y 与之对应称对应 f： A B 为从集合 A 到集的一个函数记法 y f ( x)， xA合 B的一个映射对应 f： A B是一个映射2函数的有关概念(1) 函数

2、的定义域、值域：在函数 y f ( x)， xA 中， x 叫做自变量， x 的取值 X 围 A叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f( x)| xA叫做函数的值域显然，值域是集合 B 的子集(2) 函数的三要素：定义域、值域和对应法则(3) 相同函数：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相同，这是判断两函数相同的依据(4) 函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法3分段函数若函数在其定义域内， 对于定义域内的不同取值区间， 有着不同的对应法则， 这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数 小题体

3、验 1 ( 教材习题改编 )下列五个对应 f ，不是从集合 A 到集合 B 的函数的是 _(填序 号)1 / 124x1 32xx12 2 2 4 .2 4wordA ， 1， 2 ， B 6， 3,1 ， f 6， f (1) 3， f 1；A1,2,3 ， B7,8,9 ， f (1) f (2) 7， f (3) 8；AB1,2,3 ， f ( x) 2x 1；AB x| x 1， f ( x) 2x 1；AZ， B 1,1 ， n 为奇数时， f ( n) 1， n 为偶数时， f ( n) 1.解析： 根据函数定义， 即看是否是从非空数集 A 到非空数集 B 的映射 中集合 A中的元

4、素 3 在集合 B 中无元素与之对应，故不是 A 到 B 的函数其他均满足答案：2 ( 教材习题改编 ) 若 f ( x) x x2 ，则 f 2 _.解析： f 1 1 1 11答案：3 ( 教材习题改编 )用长为 30 cm 的铁丝围成矩形，若将矩形面积 S(cm2) 表示为矩形一边长 x(cm) 的函数，则函数解析式为 _，其函数定义域为 _解析：矩形的另一条边长为 15 x，且 x0,15 x0.故 Sx(15 x) ，定义域为 (0,15) 答案： Sx(15 x) (0,15)4函数 f ( x) 的定义域是 _ 答案： 4,5) (5 ，)1解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优

5、先”的原则2易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从 A到B的一个映射，若 A， B 不是数集，则这个映射便不是函数3误把分段函数理解为几个函数组成 小题纠偏 1函数 y x与函数 y x_( 填“是”或“不是” ) 同一函数解析：函数 y x的定义域为 0 ， )， y 的定义域为 (0 ， ) 因为两个函数的定义域不同，所以不表示同一函数答案：不是2 / 1241x 3x5x 15050word2函数 f ( x)解析：由题意，得答案： 1 ，)x 1 x 1的定义域为 _x 10， x 10，所以 x1，所以函数 f ( x) 的定义域是 1 ， )3一个面积

6、为 100 的等腰梯形，上底长为 x，下底长为上底长的 3 倍，则把它的高 y 表示成 x 的函数为 _ 解析：由 2 y 100，得 2xy 100，所以 y x ( x0)答案： y x ( x0)4已知 f x x25x，则 f ( x) _.解析：令 t 1x， x 1t. f ( t ) t125t.f ( x) 5x 1( x0)答案： x2 ( x0)考点一 函数的定义域 常考常新型考点多角探明 命题分析 函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合， 它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念 求给定函数的定义域往往转化为解不等式 ( 组)的问题，在解

7、不等式 (组) 取交集时可借助于数轴常见的命题角度有：(1) 求给定函数解析式的定义域；(2) 求抽象函数的定义域；(3) 已知定义域确定参数问题 题点全练 角度一：求给定函数解析式的定义域3 / 124 1121| x 1| 0，0 x2，x 12 015 所以使函数 g( x)有意义的条件是 解得 0 x0，2函数 f ( x) ax 1 ( a0 且 a1) 的定义域为 _解析：由ax 10 ? 0 x 2，x0故所求函数的定义域为 (0,2 答案： (0,2角度二：求抽象函数的定义域3若函数 y f ( x) 的定义域是 1,2 016，则函数 g( x) 的定义域是 _解析：令 t

8、x 1，则由已知函数的定义域为 1,2 016 ，可知 1t 2 016. 要使函数 f ( x1) 有意义，则有 1x 12 016 ，解得 0 x2 015 ，故函数 f ( x1) 的定义域为 0，0 x 2 015，x 10，故函数 g( x) 的定义域为 0,1) (1， 2 015答案： 0,1) (1,2 0154若函数 f (x21) 的定义域为 1,1 ，则 f (lg x) 的定义域为 _解析：因为 f ( x21) 的定义域为 1,1 ， 则 1 x1，故 0 x21，所以 1x2 12.因为 f (x2 1) 与 f (lg x) 是同一个对应法则， 所以 1lg x2

9、，即 10 x100，所以函数 f (lg x) 的定义域为 10,100 答案： 10,100角度三：已知定义域确定参数问题5 (2016 苏北四市调研 ) 若函数 f ( x) 2 x2 2axa围为 _-1 的定义域为 R，则 a 的取值 X4 / 124方法12 2 21 1x22word解析：因为函数 f ( x ) 的定义域为 R，所以 2 x 2 2ax a 10 对 xR 恒成立，即 2 x 2 2ax a 2 0， x2 2ax a0 恒成立，因此有 (2 a) 24a0，解得 1 a0.答案： 1,0 方法归纳 函数定义域的 2 种求法解读直接法 构造使解析式有意义的不等式

10、 ( 组) 求解 .若 y f ( x) 的定义域为 (a， b) ，则解不等式ag( x)0，所以 t 1，故 f ( x) 的解析式是 f ( x) lg x 1， x1.(3) 设 f ( x) ax2bxc( a0)，5 / 124111a b 1， 2 .2a bb 1， 1word由 f (0) 0，知 c 0， f (x ) ax2bx，又由 f ( x 1) f ( x) x 1，得 a( x 1) 2 b( x1) ax2 bx x 1，即 ax2(2 a b) xa bax2( b1)x 1，所以 解得 a b所以 f ( x) x2 x， x R.(4) 在 f ( x)

11、 2f用1x代替 x，得 f1将 f x可求得22f xxf ( x) 3x x 1 中，1x 2f ( x ) 1x 1，1 代入 f ( x) 2f x x 1 中，x 3 . 由题悟法 求函数解析式的 4 个方法 即时应用 1 设 yf ( x) 是二次函数， 方程 f ( x) 0 有两个相等实根， 且 f (x) 2x 2， 求 f ( x)的解析式解：设 f ( x) ax2bx c( a0) ，则 f (x) 2axb2x 2，a 1， b 2， f ( x) x22x c .又方程 f ( x) 0 有两个相等实根， 4 4c 0，解得 c 1. 故 f ( x) x22x 1

12、.6 / 1242 2123x11 1xword2根据下列条件求各函数的表达式：(1) 已知 f ( x) 是一次函数，且满足 3f ( x 1) 2f ( x 1) 2x 17，求 f ( x)；(2) 已知 f x x3 x3，求 f ( x)解： (1) 设 f ( x) ax b( a0)，则 3f ( x 1) 2f ( x 1) 3ax3a 3b2ax 2a2bax b5a2x 17，所以 a 2， b 7，所以 f ( x) 2x 7.(2) 因为 f x x3 1x3 x1x 3 3 x 1x ，所以 f ( x) x3 3x( x2 或 x 2)考点三 分段函数 重点保分型考

13、点师生共研 典例引领 1 已知 f ( x) 解析：由题意得解得 b 1.log 3 x， x 0， ax b， x0，且 f (0) 2， f ( 1) 3， 则 f ( f ( 3) _.f (0) a0b 1 b2，f ( 1) a1 b a1 1 3，解得 a2.1 32故 f ( 3) 1 9，从而 f ( f ( 3) f (9) log 39 2. 答案： 22 (2015 某某高考改编 ) 设函数 f ( x) 的取值 X 围是_解析：由 f ( f ( a) 2f ( a)得， f ( a) 1.3x 1， x 1，x2， x1，当 a 1 时，有 3a11， a3， 3a

14、1.当 a1 时，有 2a1， a0， a1. 综上， a .答案： ， 由题悟法 分段函数 2 种题型的求解策略(1) 根据分段函数解析式求函数值则满足 f ( f ( a) 2f ( a) 的 a首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解7 / 1242221或211word(2) 已知函数值或函数值 X 围求自变量的值或 X 围应根据每一段的解析式分别求解， 但要注意检验所求自变量的值或 X 围是否符合相应段的自变量的取值 X 围 提醒 当分段函数的自变量 X 围不确定时，应分类讨论 即时应用 1已知函数 f ( x)2x 1， x0，3x， x0，且 f ( x0 )

15、 3，则实数 x0 的值为 _解析：由条件可知，当 x00 时， f ( x0) 2x0 1 3，所以 x0 1；当 x00 时， f( x0) 3x0 3，所以答案：2已知x0 1，所以实数 x0 的值为1 或 1f ( x) x 1， x0，12 x 1 2， x 0，1 或 1.使 f ( x) 1 成立的 x 的取值 X 围是_解析：由题意知解得 4 x0 答案： 4,2x0，x 1 1或 0 x2，故x 0， x 1 2 1，x 的取值 X 围是 4,2 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1函数 f ( x) x 3log 2(6 x) 的定义域是 _解析：要使函数有意义应满足解得 3

16、x0，f ( a) 6，则 a等于 _解析：令 t 2x 1，则 x 2t 2， f ( t) 2(2 t2) 54t 1，则 4a 1 6，解得 a74.8 / 124答案：xx2， x1，1 1 1 12 .2xword743若二次函数g( x) 满足 g(1) 1， g( 1) 5，且图象过原点，则 g( x) 的解析式为_解析：设 g( x) ax2 bxc( a0)， g(1) 1， g( 1) 5，且图象过原点，a bc 1， a3， a bc 5， 解得 b 2，c 0， c 0，g( x) 3x2 2x .答案： g( x) 3x2 2x4已知函数 f ( x) 若 f (1)

17、 2，则 f (3) _.解析：由 f (1) 2，可得 a2，所以 f (3) 2 41答案：45 已知函数 f ( x)x2 2ax， x2，2 1， x3 a2， 则 a 的取值 X 围是 _解析：由题意知 f (1) 2 1 3， f ( f (1) f(3) 32 6a，若 f ( f (1)3 a2，则 9 6a3a2 ，即 a22a30，解得 1a0，lg x 1 0，x 1即 x1，x2，x 10 0，解得， 1 x10.所以函数 f ( x) 的定义域为 (1,2) (2,10 答案： (1,2) (2,10 x 1， x0， 2已知函数 f ( x)解析：因为 f ( 2)

18、 ( 2) 2 4，而则 f ( f ( 2) _.f (4) 4 1 5，所以 f ( f ( 2) 5.9 / 124373 . 综上所述，实数77word答案： 53 (2016 某某四地六校联考 ) 若 f ( x) 对于任意实数 x 恒有 2f ( x) f ( x) 3x 1， 则 f (1) _.解析：令 x 1，得 2f (1) f ( 1) 4，令 x 1，得 2f ( 1) f (1) 2，联立得 f(1) 2.答案： 24已知函数 f ( x)， g( x)分别由下表给出：xf ( x)112331x1 2 3g( x) 3 2 1则满足 f ( g( x) g( f (

19、 x) 的 x 的值是 _解析：当 x 1 时， f ( g(1) f ( g(2) 3， g( f (2) 1，满足 不满足 f ( g( x) g( f ( x) 答案： 2 1， g( f (1) 3，不满足 f ( g( x) g( f ( x) ；当 x 2 时，f ( g( x) g( f ( x) ；当 x3 时， f ( g(3) 1， g( f (3) 3，3x， 0 x1， x， 1x3，5 已知函数 f ( x) 9 32 2当 t 0,1 时， f ( f ( t ) 0,1 ， 则实数 t的取值 X 围是_解析：当 t 0,1 时， f ( t ) 3t 1,3 ；当

20、 3t 1，即 t 0 时， f (1) 3?0,1 ，不符合题意， 舍去； 当 3t (1,3 时， f (3 t) 3 t 0,1 ， 由 所以 t 1；由 f (3 t) 3 t 1，得 3t ，所以 tlog围是 log 3 ， 1 .f (3t) 3 t 0，3 t得 3t 3，的取值 X答案： log 33，110 / 1241 ，1 1 1答案： 或77 7 3word6 (2016 某某一中检测 ) 已知则 a_.解析：若 a0，由 f ( a) 2得， 若 a0，则 |sin a| ， a 综上可知， a 或 .x1， 2f ( x) |sinx|， x 2 ，x0 ， ，

21、若 f ( a) ， 01a 2 2 2，解得 a4；2 0 ，解得 a 6 .147已知函数6y f (x2 1) 的定义域为 3， 3 ，则函数 y f ( x) 的定义域为_解析： y f (x2 1) 的定义域为 3， 3，x 3， 3 ， x2 1 1,2 ， y f ( x) 的定义域为 1,2 答案： 1,28已知函数 f ( x) 2x 1 与函数 y g( x) 的图象关于直线y g( x) 的解析式为 _解析：设点 M(x， y) 为函数 y g( x) 图象上的任意一点，点直线 x 2 的对称点，则x 4x， y y.x 2 成轴对称图形，则函数M(x， y)是点 M关于

22、又 y 2x 1， y 2(4 x) 1 9 2x，即 g(x ) 92x.答案： g( x) 92x9规定 t 为不超过 t 的最大整数，例如 令 f 1( x) 4 x， g( x) 4x 4 x ，进一步令(1) 若 x 16，分别求 f 1( x)和 f 2( x)；12.6 12， 3.5 4，对任意实数 x，f 2( x) f 1 g( x) (2) 若 f 1( x) 1， f 2( x) 3 同时满足，求 x 的取值 X 围解： (1) x 6时， 4x ， f 1( x) 1. g( x) 4 4 4.11 / 1241 b1 b的值域为 R，那么 ax243wordf 2(

23、 x) f 1 g( x) f 1 3 3.(2) f 1( x) 4 x 1， g( x) 4x 1，f 2( x ) f 1(4 x 1) 16 x 4 3.14 x2，316x 44，故 x 的取值 X 围为 176x .7 116， 2 .10 (1) 定义在 ( 1,1) 内的函数 f ( x) 满足 2f ( x) f ( x) lg( x1) ，求函数 f ( x) 的 解析式；(2) 若函数 f ( x) ax b( a0)， f (2) 1，且方程 f ( x) x 有唯一解， 求 f ( x) 的解析式 解： (1) 当 x ( 1,1) 时，有2f ( x) f ( x)

24、 lg( x1) 以 x 代 x，得2f ( x) f ( x) lg( x 1) 由消去 f ( x) ，得f ( x) lg( x 1) lg(1 x)， x( 1,1) (2) 由 f (2) 1，得 2a b 1，即 2a b2.由 f ( x) x，得 ax bx，变形得 x解此方程得 x0 或 x a ，又因为方程有唯一解，故 a 0，1ax b 1 0，解得 b 1，代入 2a b2，得 a ，所以 f ( x) x2 .三上台阶，自主选做志在冲刺名校1 (2016 金陵中学月考 ) 已知 f ( x)的取值 X 围是_解析：要使函数 f ( x) 的值域为 R，12a x 3a

25、， x0，ln 1 1 2a 3a，即 a 的取值 X 围是 1，12 .a2，a 1， 1an) ，映射 f 由下表给出：则使不等式解析： ?( x， y) ( n， n) ( m， n)f ( x， y) n mnf (2 x， x) 4 成立的 x 的集合是 _x N* ，都有 2xx， f (2 x，x) 2x x，( n， m)mn则 f (2 x， x) 4 ? 2x x4( x N* ) ? 2xx4( x N* )，当 x 1 时， 2x 2， x 4 5,2 xx 4 成立；当 x 2 时， 2x 4， x 4 6,2 xx 4 成立；当 x3( x N* ) 时， 2xx

26、4.故满足条件的 x 的集合是 1,2 答案： 1,23. 行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离 y(米)与汽车的车速 x( 千米/时)满足下列关系：mxn(m， n 是常数 ) 如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离 / 时) 的关系图y 200y(米) 与汽车的车速 x(千米(1) 求出 y 关于 x 的函数表达式；(2) 如果要求刹车距离不超过 25.2 米，求行驶的最大速度解： (1) 由题意及函数图象，得240mn8.4 ，260mn18.6 ，解得 m10， n0，所以 y x2200 10( x0

27、)(2) 200 100 72 x70.13 / 124wordx0， 0 x70. 故行驶的最大速度是 70 千米/ 时第二节函数的单调性与最值1函数的单调性(1) 单调函数的定义一般地，设函数增函数 减函数f ( x) 的定义域为 I： 如果对于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x 1， x2定义当 x 1x2 时，都有 f ( x1 ) f ( x2) ，那么就说 函数 f ( x)在区间 D上是增函数图象描述自左向右看图象是上升的当 x1 f ( x2)，那么就说函数 f ( x)在区间 D上是减函数自左向右看图象是下降的(2) 单调区间的定义如果函数 y f ( x)

28、在区间 D上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y f ( x)在这一区间具有 ( 严格的 )单调性，单调增区间和单调减区间统称为函数 y f ( x) 的单调区间2函数的最值前提条件结论设函数 y f ( x) 的定义域为(1) 对于任意的 x I ，都有 f ( x) M；(2) 存在 x0 I ，使得 f ( x0) M. M为最大值I ，如果存在实数 M满足(3) 对于任意的 x I ，都有 f ( x) M；(4) 存在 x0 I ，使得 f ( x0) M. M为最小值 小题体验 1 ( 教材习题改编 )下列函数中， 在区间 (0,2) 上是单调增函数的是 _ (填序号 )y

29、1 3x； y 1x； y x2 1； y | x 1|.解析： y 1 3x 在区间 (0,2) 上是减函数，故错误，其余均正确故填 .答案：14 / 1242a2a 1612 0_2word2 ( 教材习题改编 )若函数 y ax2(2a 1)x 在(， 2 上是增函数，则实数 a 的取值 X 围是 _解析：应分函数为一次函数还是二次函数两种情况：若 a0，则 y x 在(， 2 上是增函数，所以 a 0 符合题意；若 a0，则综合得实数a0， 2，a 的取值 X 围是解得 a0.1 ， 06 .1答案： 6，03已知函数 f ( x) x 1(x2,6) ，则函数的最大值为 _ 答案：

30、21易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集2 若函数在两个不同的区间上单调性相同， 则这两个区间要分开写， 不能写成并集 例如，函数 f ( x) 在区间 ( 1,0) 上是减函数，在 (0,1) 上是减函数，但在 ( 1,0) (0,1) 上却不一定是减函数，如函数 f ( x) 1x.3 两函数 f ( x)， g( x) 在 x ( a， b) 上都是增 ( 减) 函数， 则 f ( x) g( x) 也为增 ( 减) 函数，但 f ( x) g( x)， f 1x 等的单调性与其正负有关，切不可盲目

31、类比 小题纠偏 1函数 y2x 1， x0，2x x 1， x的单调增区间是 解析：由题意画出函数 y2x 1， xf (2m1) ，则实数 m的取值 X 围是_解析：由题意，得m12m1，3m13， 所以 1m0.32m10，解析： y ( x3)| x| 3作出该函数的图象，观察图象知递增区间为 0，3答案： 0，2讨论函数 f ( x) xax21( a0) 在 x( 1,1) 上的单调性 解：法一 ( 定义法 )：设 1x 1x21，则 f ( x 1) f ( x2) xax211 1xax2221ax1x ax1 ax2x ax2 x 1a x2x 1 x 1 1x 1x20，x2

32、 x10， x 1x2 10，.( x 1)( x 1)0.f ( x1) f ( x2)0 ，即 f ( x 1) f ( x2)，故函数 f ( x) 在( 1,1) 上为减函数16 / 124222 3word法二 (导数法f (x) a又 a0，)：x2 1 2ax2 a x2 1x2 1 2 x2 1 2 .所以 f (x)0，所以函数 f ( x)在( 1,1) 上为减函数 谨记通法 判断或证明函数的单调性的 2 种重要方法及其步骤(1) 定义法，其基本步骤：(2) 导数法，其基本步骤：求导函数 确定符号 得出结论考点二 求函数的单调区间求下列函数的单调区间：(1) y x22|

33、x| 1；(2) y log 1 ( x2 3x2) 2重点保分型考点师生共研 典例引领 解： (1) 由于 y即 y x 1 x 1x 2x 1， x0，x 2x 1， x0，22， x0，22， x 0.画出函数图象如图所示，单调增区间为1 ， )(2) 令 ux2 3x2，则原函数可以看作( ， 1 和 0,1 ，单调减区间为 1,0 和y log 1 u 与 ux23x 2 的复合函数2令 ux2 3x 20，则 x 1 或 x 2.函数 y log 1 ( x2 3x2) 的定义域为 ( ， 1) (2 ， )2又 ux 3x 2 的对称轴 x 2，且开口向上ux2 3x 2 在(，

34、 1) 上是单调减函数，在 (2 ， )上是单调增函数17 / 1244 8所以 y 432 3 2 14 8 .3 1 34word而 y log 1 u 在(0 ， )上是单调减函数，2y log 1 ( x2 3x 2) 的单调减区间为 (2 ， ) ，单调增区间为 ( ， 1)2 由题悟法 确定函数的单调区间的 3 种方法 提醒 单调区间只能用区间表示， 不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结 即时应用 1若将 典例引领 (1) 中的函数变为“ y | x2 2x1| ”，则结论如何？解：函数 y | x2 2x 1| 的图象如图

35、所示由图象可知，函数 y | x2 2x 1| 的单调增区间为 (1 2， 1) 和 (1 2 ， )；单调减区间为 ( ， 1 2) 和(1,1 2)2函数 yx2 3x 1 的单调递增区间为 _解析：令 u 2x 3x 1 2 x 因为 u2 x 2 在 ， 4 上单调递减，函数 y u在 R上单调递减1 2x 2 3x1 在 ， 3 上单调递增3答案： ，考点三 函数单调性的应用 常考常新型考点多角探明 命题分析 高考对函数单调性的考查多以填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中常见的命题角度有：18 / 12412 2 .1 5512word(1) 求函数的值域或最值；(2)

36、比较两个函数值或两个自变量的大小；(3) 解函数不等式；(4) 利用单调性求参数的取值角度一：求函数的值域或最值1函数 f ( x) x， x1，X 围或值 题点全练 的最大值为 _x 2， x1解析：当 x1 时，函数 f ( x) x为减函数，所以 f ( x) 在 x 1 处取得最大值，为 f (1) 1；当 xx11 时， f ( x2) f ( x1)( x2x1)0 恒成立，设 af ， b f (2) ， c f (e) ，则 a， b， c 的大小关系为_解析： 因为 f (x ) 的图象关于直线 x 1对称 由此可得 ff ( x1)( x2x1)ac.答案： bac f 由

37、 x2x11 122 f5时， f ( x2)2 f (e) ，角度三：解函数不等式3 f ( x)是定义在 (0 ， )上的单调增函数，满足f ( xy) f ( x) f ( y)， f (3) 1，当f ( x) f ( x8) 2 时， x 的取值 X 围是 _解析： 2 1 1f (3) f(3) f (9) ，由 f (x )f ( x 8) 2，可得x 0，因为 f ( x)是定义在 (0 ， )上的增函数，所以有 x 80，x x 8 9，答案： (8,9角度四：利用单调性求参数的取值 X 围或值19 / 124f x (x 8) f (9) ，解得 8x9.1 1415已知函

38、数 f ( x)41，即 a2，aword4如果函数 f ( x ) ax22x 3 在区间 (， 4) 上是单调递增的，则实数 a 的取值 X围是 _解析：当 a 0 时， f ( x) 2x 3， 在定义域 R 上是单调递增的，故在 (， 4) 上单调递增；当 a0 时，二次函数 f ( x) 的对称轴为因为 f ( x )在(， 4) 上单调递增，所以 a0, 且 a4，解得 4a1，实数 a 的取值 X 围为_解析：要使函数 f ( x)在 R上单调递增，a1，则有 a 20，f 1 0， a2 10，解得 2a3，即实数 a 的取值 X 围是 (2,3 若 f ( x) 在( ， )

39、上单调递增， 则答案： (2,3 方法归纳 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1) 求函数值域或最值常用方法有：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、换元法(2) 比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(3) 解不等式 在求解与抽象函数有关的不等式时， 往往是利用函数的单调性将“ f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(4) 利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数 提醒 若函数在区间 a，b 上单调， 则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；20

40、 / 1241，a 13，bfb 4.x2 2x， x2，x 2x， x2.fword分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值一抓基础，多练小题做到眼疾手快1已知函数 y f ( x) 的图象如图所示，那么该函数的单调减区间是 _解析：由函数的图象易知，函数答案： 3， 1 和1,2f ( x) 的单调减区间是 3， 1 和1,2 2函数 f ( x) | x 2| x 的单调减区间是 _解析：由于 f ( x) | x 2| x 2结合图象可知函数的单调减区间是 1,2 答案： 1,23 (2016 学军中学检测 ) 已知函数 f ( x) | xa| 在( ， 1) 上

41、是单调函数，则 a的取值 X 围是_解析：因为函数 f ( x)在( ， a)上是单调函数，所以 a 1，解得 a1.答案： ( ， 1 4函数 f ( x) x 1在区间 a， b 上的最大值是 1，最小值是 ，则 a b_.解析：易知 f ( x) 在 a， b 上为减函数，1a 1 1，即1 1b 1 3，a b6.a2，答案： 65已知函数 f ( x) x2 2ax 3 在区间 1,2 上具有单调性，则实数 a 的取值 X 围为_解析：函数 f ( x) x22ax3 的图象开口向上，对称轴为直线画出草图如图所示由图象可知， 函数在 (， a 和a， )上都具有单调性，x a，因此要

42、使21 / 1241a2word函数 f ( x )在区间 1,2 上具有单调性，只需 a1 或 a2，从而 a(， 1 2 ， )答案： ( ， 1 2 ，)二保高考，全练题型做到高考达标1函数 f ( x) x a x在1,4 上单调递增，则实数 a 的最大值为 _解析：令 x t ，所以 t 1,2 ，即 f ( t ) t 2 at ，由 f ( x) 在1,4 上递增，知 f ( t )在1,2 上递增，所以 1，即 a2，所以 a 的最大值为 2.答案： 22已知函数 f ( x) x2 2x 3，则该函数的单调增区间为 _解析：设 t x22x 3，由 t 0，即 x22x 30

43、，解得 x 1 或 x3.所以函数的定义域为 ( ， 1 3 ， )因为函数 t x22x 3 的图象的对称轴为 x 1，所以函数 t 在(， 1 上单调递减， 在3 ， )上单调递增所以函数 f ( x) 的单调增区间为 3 ， )答案： 3 ，)3已知函数 f ( x)x 3a， x0 且 a1) 是 R 上的减函数，则 a 的取值 X围是 _解析：由 f ( x)在 R 上是减函数，得 0a1，且 03aa0 ，由此得 a 3，1 .答案：1 3，14定义新运算：当ab 时， aba；当 ab 时， ab b2，则函数 f ( x) (1 x)x(2 x)， x 2,2 的最大值等于 _

44、解析：由已知得当 2 x1 时， f ( x) x 2，当 1x2 时， f ( x) x32.f ( x) x 2， f ( x) x32 在定义域内都为增函数 f ( x) 的最大值为 f (2) 23 2 6.答案： 65 (2016 某某调研 ) 已知 f ( x) 3a 1 x 4a， x0 在 x1 时恒22 / 124x，1 1 13a10， 3a 1 f ( a3) ，则实数 a 的取值 X围为 _解析：由已知可得a2 a0，a 30，a2 aa3，解得 3a3.所以实数 a 的取值 X 围为( 3， 1) (3 ， )答案： ( 3， 1) (3 ，)1， x0，8设函数 f

45、 ( x) 0， x0，1， x1，g( x) 0， x 1，2 x0， x0)，(1) 求证： f ( x)在(0 ， )上是增函数；23 / 124211 k xk， x0ex k， x 0，1 1 1 1 15.2word(2) 若 f ( x) 在1， 2 上的值域是 2， 2 ，求 a 的值解： (1) 证明：任取 x1x20，则 f ( x 1) f ( x2) 1x2 x1x20，x1 x20， x 1x20，f ( x1) f ( x2)0，即 f ( x 1) f ( x2)，f ( x)在(0 ， )上是增函数(2) 由(1) 可知 f ( x) 在 ， 2 上为增函数，f

46、 2 a 2 2， f (2) a2 2，解得 a10已知 f ( x) xxa( xa)(1) 若 a 2，试证明 f ( x)在( ， 2) 内单调递增；(2) 若 a0 且 f ( x)在 (1 ， )上单调递减，求 a 的取值 X 围 解： (1) 证明：任设 x1x20， x1 x20， f ( x1) f ( x2)，f ( x)在( ， 2) 上单调递增(2) 任设 1x 10， x2 x10，a x2x 1x1 a x2 a .要使 f ( x 1) f ( x2)0，只需 ( x1 a)( x2 a)0 在(1 ， )上恒成立， a1.综上所述， a 的取值 X 围是 (0,

47、1 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知函数 f ( x) 是 R 上的增函数，则实数 k 的取值 X 围是24 / 124a21 k0， 2x 1e0 k k， 12word_解析：由题意得 解得 k0，故需 2，2 2 2aa0，解得 2 2a1 时，f ( x)0，代入得 f (1) f ( x1) f ( x1) 0，故 f (1) 0.(2) 证明：任取则x21，由于当x1x 1， x2 (0 ， ) ，且 x 1x2，x1 时， f (x)0，所以 f x2 0，即 f ( x 1) f ( x2)0 ，因此 f ( x 1)0 时， f ( x) x3 x 1， 则当 x0 时，

48、 f ( x) _.解析：若 x0， f ( x) x3x 1，由于 f ( x) 是奇函数，所以 f ( x) 26 / 124f31则 f2 22x22 x2xwordf ( x ) ，所以 f ( x ) x3x 1.答案： x3x 13若函数 f ( x) 是周期为 5 的奇函数，且满足 f (1) 1， f (2) 2，则 f (8) f(14) _.答案： 11判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2判断函数 f ( x) 的奇偶性时， 必须对定义域内的每一个 x，均有 f ( x) f ( x) 或 f ( x) f

49、 ( x) ，而不能说存在 x 使 f ( x) f ( x) 或 f ( x) f ( x)3分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性 小题纠偏 1已知 f ( x) ax2 bx 是定义在 a1,2 a 上的偶函数，那么 ab_.解析： f ( x) ax2 bx 是定义在 a 1,2 a 上的偶函数，a 12a 0， a . 又 f ( x) f ( x)，b0， a b3.1答案：32 设 f ( x) 是 定 义 在 R4x2 2， 1 x0，x， 0 x1，解析：由题意得， 2 f答案： 13函数 f ( x) (2 x2)上 的

50、 周 期 为 2 的 函 数 ， 当 x 1,1) 时， f ( x) 32 _.1 1 4 2 1.的奇偶性为 _2x解析：由 2 x0，得函数 f ( x) (2x2)称，所以函数 f ( x)为非奇非偶函数答案：非奇非偶的定义域为 2,2) ，不关于原点对2x27 / 1244 x 0，2| x3| 30，2解： (1) 由 2 得 x 1，3x2 x， x0，(5)( 易错题 ) f ( x)x2 10，1 x 0，f ( x) 的定义域为 1,1 又 f (1) f ( 1) 0， f (1) f ( 1) 0，即 f ( x) f ( x)f ( x) 既是奇函数又是偶函数(2)

51、函数 f ( x) 32x 2x 3的定义域为 2 ，不关于坐标原点对称，函数 f ( x) 既不是奇函数，也不是偶函数(3) f ( x) 的定义域为 R，f ( x) 3 x 3x (3 x 3x) f ( x)，所以 f ( x)为奇函数(4) 由2得2 x2 且 x0.f ( x) 的定义域为 2,0) (0,2 ，f ( x) 2x3 f ( x) f ( x)，4xx ，f ( x)是奇函数(5) 易知函数的定义域为 (， 0) (0 ， )，关于原点对称，又当 x0 时，f ( x) x2x，则当 x0，28 / 124word故 f ( x ) x2 xf ( x)；当 x0

52、时， x0) 越变越明 变式 1 若母题中条件变为“ f ( x2) f 1x ”，求函数 f ( x ) 的最小正周期解：对任意 xR，都有 f ( x2) 1 ，f ( x 4) f ( x 2 2) f x2f ( x) 的最小正周期为 4. 变式 2 若母题条件改为：定义在11 f xf ( x)，R 上的函数 f ( x)满足 f ( x6) f ( x) ，当 3 x1 时， f ( x) ( x2) 2；当 1 x3 时， f ( x) x. 求 f (1) f (2) f (3) f (2 015)的值解： f ( x6) f ( x) ， T6.当 3 x 1 时， f (

53、x) ( x2) 2；30 / 1242 0106word当 1 x0 时， f ( x) x2 x 1，则当 x0 时， f ( x) _.解析： f ( x) 是定义在 R上的偶函数，当 x0.由已知 f ( x) ( x) 2 ( x) 1 x2x 1f ( x)，f ( x) x2x 1.答案： x2x 12设函数 f ( x) x 为奇函数，则 a_. 解析： f ( x) x 1 x x a 为奇函数，f (1) f ( 1) 0，即 1 1 0，a 1.答案： 1角度二：单调性与奇偶性结合3 (2016 刑台摸底考试 ) 已知定义在 ( 1,1) 上的奇函数 f ( x)，其导函

54、数为 cos x，如果 f (1 a) f (1 a2)0， 则 f ( x) 是定义在 ( 1,1) 上的奇函数、 增函数f (x) 1不等式 f (1a) f (1 a2)0 等价于 f (1 a2) f (1 a) f ( a 1) ，则 11 a2a11，由此解得 1a1， f (2 016) a3， 则 a 的取值 X 围是 _a3解析：因为 f ( x) 的周期为 5，所以 f (2 016) f (1) ，又因为 f ( x ) 是奇函数，所以 f ( 1) f (1) ，即 f (2 016) f ( 1) 1，所以 a3 1，解得 0a0 的解集是 _f( x) 0 既是奇函

55、数又是偶函数，故错当 x (0， ) 时， f ( x) log 2x， 则 f ( 2) f ( 2) log 2 2 2 .x0,6 时， f ( x) 的图象如图所示，则不解析： 奇函数的图象关于原点对称， 作出函数 f ( x) 在 6,0 上的图象 ( 图略 )， 由图象，可知不等式 f ( x)0 的解集是 6， 2) (0,2) 答案： 6， 2) (0,2)5函数 f ( x) 在 R 上为奇函数，且 x0 时， f ( x) x 1，则当 x0 时， f ( x) x 1，当 x0，f ( x) f ( x) ( x 1)，即 x0 时， f ( x) ( x 1) x 1.

56、答案： x 1二保高考，全练题型做到高考达标1已知奇函数 f ( x) 的定义域为 ( 5,0) (0,5) ，当 0 x0 的解集是 _解析：由题意，可作出函数 f ( x) 的大致图象，如图所示，由图象可得不等式 f ( x)0 的解集是 ( 5， 2) (0,2) 答案： ( 5， 2) (0,2)2已知 f ( x)， g( x) 是定义在 R 上的函数， h( x) f ( x) g( x)，则 “f ( x)，g( x)均为偶函数”是“ h( x) 为偶函数”的 _条件 (填“充要”“充分不必 要”“必要不充分”“既不充分又不必要” )34 / 124或 或1word解析：一方面，

57、若 f ( x )， g( x) 均为偶函数，则 f ( x ) f ( x )， g( x) g( x ) ，因此，h( x) f ( x) g( x) f ( x) g( x) h( x) ， h( x) 是偶函数；另一方面，若 h( x) 是偶函数，但 f ( x)， g( x) 不一定均为偶函数，事实上，若 f ( x)， g( x)均为奇函数， h( x)也是偶函数，因此，“ f ( x)， g( x)均为偶函数”是“ h( x)为偶函数”的充分不必要条件答案：充分不必要3已知函数 f ( x)是定义在 ( ， )上的奇函数，若对于任意的实数 x0，都有f ( x2) f ( x)

58、，且当 x 0,2) 时 f ( x) log 2( x 1) ，则 f ( 2 015) f (2 016) 的值为_解析：因为 f ( x) 是奇函数，且周期为 2，所以 f ( 2 015) f (2 016) f (2 015) f (2 016) f (1) f (0) 又当 x 0,2) 时， f ( x) log 2( x 1)，所以 f ( 2 015) f (2 016) 1 0 1.答案： 14 已知函数 y f ( x) 是定义在 R 上的奇函数， 当 x0 时， f ( x) x 2，那么不等式 2f ( x) 10 的解集是 _解析：由题意知，函数 y f ( x)

59、的定义域是 R，当 x0 时，x0，所以 f ( x) x 2，又函数x 2， x0，y f ( x) 为定义在 R上的奇函数，所以 f ( x) f ( 因此不等式 2f ( x) 10 等价于x0，2 x2 10，20 10 2 x 2 10，的解集为 xx 或 0 x .解得 x 或 x 0 或 0 x，故不等式 2f ( x) 10答案： xx 或 0 x0 的 x的 集 合 为_ 35 / 1241 3 53111 11 11 x已知 f ( x)，g( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数， 且 f ( x) g( x) 1 x2 x 2x 2x 2x ， g(0) 1，3

60、5 0，12 21 1word解析：由奇函数 y f ( x)在(0 ， )上递增，且 f 0，得函数 y f ( x) 在(，0) 上递增，且 f 2f ( x)0 时， x或 x0 的 x 的集合为x x.1 1答案： x 2x27 2 ，则 f (1) ，g(0) ， g( 1) 之间的大小关系是 _解析：在 f ( x) g( x) 2 中，用 x 替换 x，得 f ( x) g( x) 2x，由于 f ( x)， g( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，所以 f ( x) f ( x)， g( x) g( x)，因此得 f ( x) g( x) 2x .联立方程组解得 f