2022年北京市丰台区高考数学一模试卷及答案解析

1、第 PAGE 22 页 共 20 页2022 年北京市丰台区高考数学一模试卷注意事项：答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号 条形码粘贴在答题卡上的指定位置。选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在 试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（4 分）若集合 Ax|1x2，B

2、x|x1 或 x3，则 AB（）Ax|1x3Bx|1x11Cx|1x2Dx|2x32（4 分）在复平面内，复数1对应的点位于（）第一象限第二象限第三象限D第四象限3（4 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn若 S4S510，则 a4（）A1B2C3D44（4 分）下列函数中，既是奇函数又在区间（1，1）上单调递增的是（）AyxByx3CycosxD = (11)25（4 分）已知， 是两个不同的平面，直线 l，那么“”是“l”的（）充分而不必要条件C充分必要条件必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件6（4 分）已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，点 M 在 C 上若 O 是坐标原点

3、，|FM|6，则 =（）A8B12C82D837（4 分）为普及冬奥知识，某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛根据参赛学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图若要对 40%成绩较高的学生进行奖励，则获奖学生的最低成绩可能为（ ）A65B75C85D95|2 1|，18（4 分）已知函数() = ，若函数 g（x）f（x）k 有两个不同的零( 1)2， 1点，则实数 k 的取值范围是（）A（，0B（0，1C（1，0D0，1）9（4 分）声强级 L（I 单位：dB）由公式= 10( 1012)给出，其中 I 为声强（单位：W/m2）人在正常说话时，声强级大约在 4060dB 之间，声强级超过 6

4、0dB 的声音会对人的神经系统造成不同程度的伤害给出下列四个声强，其声强级在4060dB 之间的是（）A1011.5B109.5C106.5D102410（4 分）已知函数() = ( + )（0）在区间0，上有且仅有 4 条对称轴，给出下列四个结论：f（x）在区间（0，）上有且仅有 3 个不同的零点；f（x）的最小正周期可能是 ；2 的取值范围是13 ， 17)；44f（x）在区间(0，上单调递增)15其中所有正确结论的序号是（）ABCD二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分11（5 分）在（x+2）5 的展开式中，x2 的系数为（用数字作答）12（5 分）在平面直角坐标系 x

5、Oy 中，角 以 Ox 为始边，它的终边与以原点 O 为圆心的单位圆交于点(， 3)，则( ) =5213（5 分）已知双曲线： 2 222= 1（a0，b0）的离心率为5，C 的焦点到其渐近线的距离为 5，则 a14（5 分）设an是等比数列，能够说明“若 a2a1，则 S2S1”是假命题的一组 a1 和公比 q 的值依次为15（5 分）已知点 P（2，0）和圆 O：x2+y236 上两个不同的点 M，N，满足MPN90，Q 是弦 MN 的中点，给出下列四个结论：|MP|的最小值是 4；点 Q 的轨迹是一个圆；若点 A（5，3），点 B（5，5），则存在点 Q，使得AQB90；MPN 面积的

6、最大值是18 + 217 其中所有正确结论的序号是三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16（13 分）在ABC 中，a7，b8，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知（）求A；（）求ABC 的面积 条件：c3；7条件： = 117（15 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD平面 ABCD，Q 为棱 PD 的中点，PAAD，PAAB2（）求证：PA平面 ABCD；（）求平面 ACQ 与平面 ABCD 夹角的余弦值；（）求直线 PB 到平面 ACQ 的距离18（14 分）为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，

7、某校开展了为期5 天的传统艺术活动，从第 1 天至第 5 天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑” 共 5 项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了 100 名学生作为样本进行调查，调查数据如表：传统艺术活动 第 1 天第 2 天第 3 天第 4 天第 5 天书画古琴汉服戏曲面塑高一体验人数 8045552045高二体验人数 4060608040高三体验人数 1550407530（）从样本中随机选取 1 名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率；（）通过样本估计该校全体学生选择传统艺术活动的情况，现随机选

8、择 3 项传统艺术活动，设选择的 3 项活动中体验人数超过该校学生人数50%的有 X 项，求 X 的分布列和数学期望 E（X）；（）为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取 1 名学生进行访谈设这 3 名学生均选择了第 k 天传统艺术活动的概率为 Pk（k1，2，3，4，5），写出 P1，P2，P3，P4，P5 的大小关系19（14 分）已知函数 f（x）x2alnx（aR 且 a0）（）当 a1 时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若 f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围20（15 分）已知椭圆： 2 + 2 = 1（ab0

9、）过点(2，1)2，离心率为222（）求椭圆 C 的方程；（）设椭圆C 的右顶点为 A，过点D（4，0）的直线l 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N（均异于点 A），直线 AM，AN 分别与直线 x4 交于点 P，Q求证：|DP|DQ|为定值21（14 分）若有穷数列an（nN*且 n3）满足|aiai+1|ai+1ai+2（|i1，2，n2），则称an为 M 数列（）判断下列数列是否为 M 数列，并说明理由；1，2，4，34，2，8，1（）已知 M 数列an中各项互不相同令 bm|amam+1（|数列an是等差数列的充分必要条件是数列bm是常数列；m1，2，n1），求证：（）已知M 数列an

10、是 m（mN*且 m3）个连续正整数1，2，m 的一个排列若11|1 |m+2，求 m 的所有取值2022 年北京市丰台区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（4 分）若集合 Ax|1x2，Bx|x1 或 x3，则 AB（）Ax|1x3Bx|1x1Cx|1x2Dx|2x3【解答】解：Ax|1x2，Bx|x1 或 x3，ABx|1x1故选：B12（4 分）在复平面内，复数对应的点位于（）第一象限1第二象限第三象限第四象限1【解答】解：=11=(1)(1)1= 112221 ，21112在复平面内

11、，复数故选：D1对应的点的坐标为（ ，位于第四象限3（4 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn若 S4S510，则 a4（）A1B2C3D4【解答】解：因为等差数列an中，S4S510，所以 416 = 101510 = 10，解得，a14，d1， 则 a4a1+3d431 故选：A4（4 分）下列函数中，既是奇函数又在区间（1，1）上单调递增的是（）AyxByx3CycosxD = (11)2【解答】解：对于 A，yx 是奇函数，但在区间（1，1）上单调递减，故 A 错误； 对于 B，yf（x）x3，为奇函数，且在 R 上单调递增，故 B 正确；对于 C，ycosx 在（1，0）单调递

12、增，在（0，1）单调递减，故 C 错误；对 于 D， = (12的定义域1，+），不关于原点对称，为非奇非偶函数，故D 错误；故选：B5（4 分）已知， 是两个不同的平面，直线 l，那么“”是“l”的（）充分而不必要条件C充分必要条件必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：若，则 l 与 没有交点，故 l，即充分性成立， 反之，若 l，有可能， 相交，而 l 与交线平行，故必要性不成立， 综上可得，“”是“l”的充分不必要条件故选：A6（4 分）已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，点 M 在 C 上若 O 是坐标原点，|FM|6，则 =（）A8B12C82D83【解答】解：抛物

13、线 C：y28x 的方程可得焦点为 F（2，0）准线方程为 x2，设 M（x0，y0），由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，所以|FM|x0+26，可得 x04，则 =（2，0）（4，y）8，0故选：A7（4 分）为普及冬奥知识，某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛根据参赛学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图若要对 40%成绩较高的学生进行奖励，则获奖学生的最低成绩可能为（ ）A65B75C85D95【解答】解：设获奖学生的最低成绩为 x 元，0.18+909080 0.44 = 0.4，解得 x85故选：C8（4 分）已知函数() = |2 1|，1( 1)2， 1，若函数 g

14、（x）f（x）k 有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围是（）A（，0B（0，1C（1，0D0，1）【解答】解：作出 f（x）的图象如图所示： 因为 f（x）k 有 2 个交点，所以 0k1， 故选：D9（4 分）声强级 L（I 单位：dB）由公式= 10( 1012)给出，其中 I 为声强（单位：W/m2）人在正常说话时，声强级大约在 4060dB 之间，声强级超过 60dB 的声音会对人的神经系统造成不同程度的伤害给出下列四个声强，其声强级在4060dB 之间的是（）A1011.5B109.5C106.5D102【解答】解：对于 A，L = 10(1011.5) = 5，故 A 错误，I

15、1012对于 B，L = 10(109.5) = 25，故 B 错误，I1012对于 C，L = 10(106.5) = 55，故 C 正确，I1012对于 D，LI= 10(故选：C1021012) = 140，故 D 错误410（4 分）已知函数() = ( + )（0）在区间0，上有且仅有 4 条对称轴，给出下列四个结论：f（x）在区间（0，）上有且仅有 3 个不同的零点；f（x）的最小正周期可能是 ；2 的取值范围是13 ， 17)；44f（x）在区间(0， 上单调递增)15其中所有正确结论的序号是（）ABCD4424【解答】解：由函数() = ( + )(0)， 令 + = + ，

16、，则 = (1+4) ， 4函数 f（x）在区间0，上有且仅有 4 条对称轴，即0 (1+4) 有 4 个整数符合，44由0 (1+4) ，得0 1+4 1 0 1 + 4 4，则 k0，1，2，3，1317即 1+4341+44 ，故正确；， 44444对于，x（0，）， + ， + )， + (7 ， 9)，当 + ， 7) 时，f（x）在区间（0，）上有且仅有 3422442个不同的零点；当 + ， 9) 时，f（x） 在区间（0，）上有且仅有 4 个不同的零点；故错442误；对于，周期 = 213 174 1488 ，由 44 ，则171013，17 13 ，故正确；对于 ， (0，

17、) ， + (， + )，又 13 ， 17) ， + 15(7 ， 8)，441544415415158又 ，所以 f（x）在区间(0， )上不一定单调递增，故错误15215故正确序号为：， 故选：B二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分11（5 分）在（x+2）5 的展开式中，x2 的系数为80（用数字作答）【解答】解：二项式（x+2）5 的展开式中含 x2 项的系数为 C3 23 =80，5故答案为：8012（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，角 以 Ox 为始边，它的终边与以原点 O 为圆心的单位圆交于点(， 3)，则( ) =3 5255【解答】解：在平面直角坐标系

18、 xOy 中，角 以 Ox 为始边， 它的终边与以原点 O 为圆心的单位圆交于点(， 3)，则( ) =sin= 3253故答案为： 513（5 分）已知双曲线： 2 2= 1（a0，b0）的离心率为5，C 的焦点到其渐近线的距离为 5，则 a2522【解答】解：由双曲线的离心率 e= = 5，c= 5a，双曲线的渐近线方程 l：y x，焦点为 F（c，0），则焦点到渐近线的距离 d=2+2=b5，42由 c2a2+b2，解得：a2= 25，所以 a= 55故答案为： 214（5 分）设an是等比数列，能够说明“若 a2a1，则 S2S1”是假命题的一组 a1 和公1比 q 的值依次为4； 2

19、【解答】解：令 a 4，q= 1，12则 a22， 若 a2a1，则 S2S1，满足题意1故答案为：4； 215（5 分）已知点 P（2，0）和圆 O：x2+y236 上两个不同的点 M，N，满足MPN90，Q 是弦 MN 的中点，给出下列四个结论：|MP|的最小值是 4；点 Q 的轨迹是一个圆；若点 A（5，3），点 B（5，5），则存在点 Q，使得AQB90；MPN 面积的最大值是18 + 217其中所有正确结论的序号是 【解答】解： 点 M在圆 O ： x2+y2 36上， 设 M （ 6cos ， 6sin ）， 则| =(6 2)2 + (6)2 = 40 24，当 cos1 时，|

20、MP|取得最小值，最小值为 4，正确； 设点 Q（x，y），则由题意得 PQ2QM2OM2OQ2，则（x2）2+y236（x2+y2），整理得：（x1）2+y217，所以点 Q 的轨迹是一个圆，正确；以 AB 为直径的圆，圆心为（5，4），半径为 1，方程为：（x5）2+（y4）21，下面判断此圆与点 Q 的轨迹方程（x1）2+y217 是否有交点， 由于(5 1)4 + 42 = 4217 + 1，两圆相离，故不存在点 Q，使得AQB90，错误；当 PM，PN 斜率分别为 1 和1 时，且点 P，M 在 y 轴左侧，此时MPN 为等腰直角三角形，面积最大，此时 = = = 1 + 17，()

21、= 1 2 (1 + 17)2 = 18 + 217，正2确故答案为：三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16（13 分）在ABC 中，a7，b8，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知（）求A；（）求ABC 的面积 条件：c3；7条件： = 1【解答】解：若选，c3，22832（）由余弦定理可得cosA= 2+22 = 64+949 = 1，0A，3A= ；（）S= 1bcsinA= 1 83 3 =63；ABC2227若选，cosB= 1，7 ，sinB= 1 2 = 43（）由正弦定理可得=，7433sinA=8 7= 2 ，B 为钝角，2，0A

22、 3A= ；（）sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB= 3 （ 1+ 1 43 = 33，2S= 1absinC= 1 87 33 =637） 2714ABC221417（15 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD平面 ABCD，Q 为棱 PD 的中点，PAAD，PAAB2（）求证：PA平面 ABCD；（）求平面 ACQ 与平面 ABCD 夹角的余弦值；（）求直线 PB 到平面 ACQ 的距离【解答】（）证明：因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，又因为 PAAD，所以 PA平面 ABCD（）解：因为底面 A

23、BCD 为正方形，所以 ABAD，由（）知 PA平面 ABCD，所以 AB、AD、AP 两两垂直，建系如图，A（0，0，0），C（2，2，0），Q（0，1，1）， =（2，2，0）， =（0，1，1），令=（1，1，1），因为 =0， =0，所以 是平面 ACQ 的法向量， =（0，0，1）是平面 ABCD 的法向量，所以平面 ACQ 与平面 ABCD 夹角的余弦值为| |=1= 3313（）解：P（0，0，2），B（2，0，0）， | | |=（2，0，2），由（）知=（1，1，1）是平面 ACQ 的法向量，因为 =0，所以PB平面 ACQ，所以直线PB 到平面 ACQ 的距离等于点 B 到

24、平面QAC 的距离， =| |223因为（2，0，0），所以直线 PB 到平面 ACQ 的距离为| |= 3 =3 18（14 分）为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5 天的传统艺术活动，从第 1 天至第 5 天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑” 共 5 项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了 100 名学生作为样本进行调查，调查数据如表：传统艺术活动 第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 第 5 天书画古琴汉服戏曲面塑高一体验人数 8045552045高二

25、体验人数 4060608040高三体验人数 1550407530（）从样本中随机选取 1 名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率；（）通过样本估计该校全体学生选择传统艺术活动的情况，现随机选择 3 项传统艺术活动，设选择的 3 项活动中体验人数超过该校学生人数50%的有 X 项，求 X 的分布列和数学期望 E（X）；（）为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取 1 名学生进行访谈设这 3 名学生均选择了第 k 天传统艺术活动的概率为 Pk（k1，2，3，4，5），写出 P1，P2，P3，P4，P5 的大小关系【解答】解：（）由题意知，样本中学生共有 1

26、00+100+100300 人，其中体验戏曲活动的学生共 20+80+75175 人，设事件 A 为“从样本学生中随机选取 1 名学生，这名学生体验戏曲活动”，30012故所求概率为 P（A）= 175 = 7（）由题意知，体验人数超过该校学生人数50%的传统艺术活动有 3 项，X 的所有可能值为 1，2，3123P（X1）=33 2 = 10，521353P（X2）=3 2 =，531PX= 10（ 3）3 =，35所以 X 的分布列为：X123P331=1051010故 X 的数学期望 E（X）1 3+2 3 +3 195105（） P1P5P4P3P2（即比较这 5 列三个数的乘积大小）

27、19（14 分）已知函数 f（x）x2alnx（aR 且 a0）（）当 a1 时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若 f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围【解答】解：（I）当 a1 时，f（x）x2lnx，x（0，+），f（1）1， f（x）2x 1，f（1）211，曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为：y1x1，化为 xy0；（）f（x）x2alnx，x（0，+），f（x）2x a0 时，f（x）0，此时函数 f（x）在 x（0，+）上单调递增， x0+时，lnx，f（x），不符合题意，舍去2(+)( )a0 时，f（x）=22，此时函数 f（x）在（0，

28、2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，x= 2时，函数 f（x）取得极小值即最小值，f（ = aln 0 恒成立，2） 22 1化为：ln22，解得 0a2e，综上可得：a 的取值范围是（0，2e20（15 分）已知椭圆： 2 + 2 = 1（ab0）过点(2，1)22（）求椭圆 C 的方程；2，离心率为2（）设椭圆C 的右顶点为 A，过点D（4，0）的直线l 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N（均异于点 A），直线 AM，AN 分别与直线 x4 交于点 P，Q求证：|DP|DQ|为定值22 +1 = 122【解答】（）解：由题意知， = 2 =，解得 a2，b= 2， 2所以椭圆 C 的方

29、程为 4+ 222=1= 2 2（）证明：由题意知，直线 l 的斜率不可能为 0，故设其方程为 xty+4，设点 M（x1，y1），点 N（x2，y2）， = + 4联立2 + 2，得（t2+2）y2+8ty+120，42 = 1所以 y +y= 8，y y =12 ，122+21 22+2因为 A（2，0），所以直线 AM 的方程为 y=1（x2），令 x4，则 y =21 ，直线 AN 的方程为 y=212（x2），令 x4，则 y =P2212，22Q22所以|DP|DQ|y y|2122 |412|PQ4 121 2 2 212 212+2( 1+2)+4| 2 122+228|+42+2 3242+2+2|6，2+22+22+2故|DP|DQ|为定值21（14 分）若有穷数列an（nN