运筹学课件：第2章 对偶理论

1、Chapter2 对偶理论 ( Duality Theory )单纯形法的矩阵描述对偶问题的提出线性规划的对偶理论对偶问题的经济解释影子价格对偶单纯形法灵敏度分析(选讲)掌握WinQSB软件求解对偶规划本章主要内容：学习要点：1. 理解对偶理论，掌握描述一个线性规划问题 的对偶问题。 2. 能够运用对偶单纯形法来求解线性规划问题。 3. 会用互补松弛条件来考虑一对对偶问题的界。 4. 了解影子价格、灵敏度分析以及用WinQSB求 解对偶规划问题。2.1 单纯形法矩阵描述0.16-0.120102412x2-0.20.4001207x11.16-3.12100840 x3-1.20003.410

2、00.10010,33012x220-0.51002.5500 x430.8-0.40107.82400 x3000127301001033000 x540010542000 x490001493600 x3x5x4x3x2x1B-1bCBXB每一列的含义？每个表中的B和B-1的查找？B从初表中找，B-1从当前表中找，相当于初表中的I的位置单纯形法的矩阵描述单纯形法的主要步骤因此，单纯形表的主体内容是B-1(b,A)CXB-1bB-1AC- CB-1A单纯形表的主要结构单纯形法的矩阵描述CBCNbXBXNbBNCBCNbXBXNB-1bIB-1N-CBB-1b0CN-CBB-1 N 单纯形法的

3、矩阵描述CBCNCS(0)bXBXNXSbBNI0CBCN0CBCNCS(0)bXBXNXSB-1bIB-1NB-1-CBB-1b0CN-CBB-1 N-CBB-1 单纯形法的矩阵描述单纯形法的矩阵描述2.2 改进单纯形法15001/31/311/35X23301-1-2013X500001320j-1001-113X6000-1001-156101/34/304/38X6001x4010 x5000 x606-13218X50513115X40 x3x2x1bXBCB1321/4-1/35/121001X32-5/6-1/61/4-1/31/30-1/21/2-1/4000-20j0015X

4、100103X20P1P1P1思考：P1分别与P1、 P1的关系改进的单纯形法231000CBXBbx1x2x3x4x5x60X41513110050X51823-101060X631-11001-j02310003X251/311/31/300150X5310-2-11030X684/304/31/3016-15100-100改进的单纯形法231000CBXBbx1x2x3x4x5x63X251/311/31/300150X5310-2-11030X684/304/31/3016j-15100-1000X240112/3-1/3041X1310-2-110-0X640045/3-4/311j

5、-180020-10改进的单纯形法设mm系数矩阵A，求其逆矩阵可以先从第1列开始:以下介绍一种比较简便的计算方法求解线性规划问题的关键是计算B-1改进的单纯形法以a11为主元素, 进行变换然后构造含有（1）列，而其他列都是单位列的矩阵改进的单纯形法可得到：而后以第2列的a22(1) 为主元素，进行变换改进的单纯形法然后构造含有（2）列，而其他列都是单位列的矩阵 可得到改进的单纯形法重复以上的步骤，直到获得求单纯形表的基矩阵的逆矩阵也可以用这方法。改进的单纯形法书上例题自学。2.3 对偶问题的提出 对偶理论是线性规划中最重要的理论之一，是深入了解线性规划问题结构的重要理论基础。同时，由于问题提出

6、本身所具有的经济意义，使得它成为对线性规划问题系统进行经济分析和敏感性分析的重要工具。那么，对偶问题是怎样提出的，为什么会产生这样一种问题呢？对偶问题的提出俩家具制造商间的对话：唉!我想租您的木工和油漆工一用。咋样？价格嘛好说，肯定不会让您兄弟吃亏。 王老板做家具赚了大钱，可惜我老李有高科技产品，却苦于没有足够的木工和油漆工咋办？只有租咯。Hi：王老板，听说近来家具生意好呀，也帮帮兄弟我哦!家具生意还真赚钱，但是现在的手机生意这么好，不如干脆把我的木工和油漆工租给他，又能收租金又可做生意。价格嘛好商量， 好商量。只是. 王 老 板李 老 板引例1对偶问题的提出王老板的家具生产模型：x1 、 x

7、2是桌、椅生产量。Z是家具销售总收入（总利润）。max Z = 50 x1 + 30 x2s.t. 4x1+3x2 120（木工） 2x1+ x2 50 （油漆工） x1，x2 0原始线性规划问题，记为（P）王老板的资源出租模型：y1、 y2单位木、漆工出租价格。W是资源出租租金总收入。min W =120y1 + 50y2s.t. 4y1+2y2 50 3y1+ y2 30 y1，y2 0对偶线性规划问题，记为（D）所得不得低于生产的获利（不吃亏原则）要使对方能够接受 （竞争性原则）两个原则对偶问题的提出 王老板按（D）的解 y1 、y2出租其拥有的木、漆工资源，既保证了自己不吃亏（出租资源

8、的租金收入并不低于自己生产时的销售收入），又使得出租价格对李老板有极大的吸引力（李老板所付出的总租金W最少）。按时下最流行的一个词，叫什么来着对偶问题的提出Max Z= 40 x1 +50 x2 x1 + 2x2 30 3x1 + 2x2 60 2x2 24 x1，x2 0s.t目标函数约束条件设三种资源的使用单价分别为 y1 , y2 , y3y1 y2 y3生产单位产品A的资源消耗所得不少于单位产品A的获利生产单位产品B的资源消耗所得不少于单位产品B的获利y1 +3 y2 40 2y1 + 2 y2 + 2y3 50甲乙资源量A1230B3260C0224单位获利4050引例2通过使用所有

9、资源对外加工所获得的收益W = 30y1 + 60 y2 + 24y3对偶问题的提出根据原则2 ，对方能够接受的价格显然是越低越好，因此此问题可归结为以下数学模型：Min W = 30y1 + 60 y2 + 24y3 y1 + 3y2 402y1 + 2 y2 + 2y3 50y1 , y2 , y3 0s.t目标函数约束条件原线性规划问题称为原问题，此问题为对偶问题，y1 , y2 , y3为对偶变量，也称为影子价格对偶问题的提出2.4 线性规划的对偶理论Max Z= 40 x1 +50 x2 x1 + 2x2 30 3x1 + 2x2 60 2x2 24 x1，x2 0s.t原问题（对偶

10、问题）对偶问题（原问题）一、 原问题与对偶问题的对应关系Min W = 30y1 + 60 y2 + 24y3 y1 + 3y2 402y1 + 2 y2 + 2y3 50y1 , y2 , y3 0s.t（y1） （y2）（y3） （x1） 13040（x2）22250306024min max z 3个约束2个变量2个约束 3个变量线性规划的对偶理论对偶问题的形式定义 设原线性规划问题为 则称下列线性规划问题为其对偶问题，其中yi (i=1,2,m) 称为对偶变量上述对偶问题称为对称型对偶问题原问题简记为(P)，对偶问题简记为(D)称问题(P)和(D )为一对对偶问题线性规划的对偶理论对称

11、型问题的对偶规则1、给每个原始约束条件定义一个非负对偶变量yi(i=1,2,m)；2、使原问题的目标函数系数 cj 变为其对偶问题约束条 件的右端常数；3、使原问题约束条件的右端常数 bi 变为其对偶问题目 标函数的系数；4、将原问题约束条件的系数矩阵转置，得到其对偶问 题约束条件的系数矩阵；5、改变约束问题不等号的方向，即将“”改为“”；6、原问题为“max”型，对偶问题为“min”型。线性规划的对偶理论原始问题Max Z=CXs.t. AXbX 0bACMaxnm对偶问题Min W=Ybs.t.YACY 0MinCATbnmY为行向量线性规划的对偶理论当原问题为求极小值时，对偶问题为求极大

12、值。原始问题中目标函数的系数变成对偶问题中约束条件的右端；原始问题中约束条件的右端变成对偶问题中目标函数的系数。原始问题约束条件系数矩阵的转置对应对偶问题中约束条件的系数矩阵。原始问题的约束条件个数决定对偶问题变量的个数；原始问题变量个数，决定对偶问题的约束个数。原始问题的约束方程的匹配形式决定对偶问题变量的符号；原始问题决策变量的符号决定所对应对偶问题的约束方程的匹配形式。线性规划的对偶理论求线性规划问题的对偶规划解：由原问题的结构可知为对称型对偶问题例1线性规划的对偶理论求线性规划问题的对偶规划解：由原问题的结构可知不是对称型对偶问题，可先化为对称型，再求其对偶规划。例2线性规划的对偶理论

13、求线性规划问题的对偶规划解：由原问题的结构可知不是对称型对偶问题，可先化为对称型，再求其对偶规划。例3线性规划的对偶理论上式已为对称型对偶问题，故可写出它的对偶规划令则上式化为线性规划的对偶理论对偶问题的非对称形式min z= 2x1+4x2-x3s.t. 3x1- x2+2x3 6 -x1+2x2-3x3 12 2x1+x2+2x3 8 x1+3x2-x3 15max w=6y1+12y2+8y3+15y4s.t. 3y1- y2+2y3+ y4 2 -y1+2y2+ y3+3y4 4 2y1- 3y2+2y3- y4 -1 y1 0,y2 ,y3 0,y4 0=unr=x10 x20 x3

14、: unr原始问题变量的个数(3)等于对偶问题约束条件的个数(3)； 原始问题约束条件的个数(4)等于对偶问题变量的个数(4)。原始问题变量的性质影响对偶问题约束条件的性质，用 表示 原始问题约束条件的性质影响对偶问题变量的性质，用 表示线性规划的对偶理论1 原问题为“max”，对偶问题为“min”；2 原问题中目标函数系数 ci 变为其对偶问题约束条件的右端常数；3 原问题约束条件的右端常数 bi 变为其对偶问题目标函数的系数；4 原问题约束条件的系数矩阵转置，即为其对偶问题的系数矩阵；5 原问题的变量个数n等于其对偶问题的约束条件个数n，原问题 约束条件的个数m等于其对偶问题变量的个数m；

15、6 在求极大值的原问题中，“”，“”和“=”的约束条件分别对应其对偶变量“0”，“0”和“无符号限制”；7 在求极大值的原问题中，变量“0”，“0”和“无符号限制”分别对应其对偶约束条件的“”，“”和“=”约束.混合型问题的对偶规则：线性规划的对偶理论原问题（或对偶问题）对偶问题（或原问题）约束条件右端项目标函数变量的系数目标函数变量的系数约束条件右端项目标函数 max目标函数 min约束条件m个m个变量00=无约束变量n个n个约束条件00无约束=线性规划的对偶理论 Max Z=40 x1+ 50 x2 x1+2x2 303x1+2x2 60 2x2 24 x1 , x2 0s.ty1y2y3

16、Min W = 30y1+ 60y2 + 24y3 y1+3y2 + 0y3 402y1+2y2 + 2y3 50 y1 , y2 , y3 0s.tMax W= -30y1- 60y2 - 24y3 y1+3y2 + 0y3 y4 = 402y1+2y2 + 2y3 y5 = 50 y1 , y2 , y3 , y4 , y5 0s.t例4二、 对偶问题的解线性规划的对偶理论Max W= -30y1- 60y2 - 24y3 +0(y4 + y5 )-M (y6 + y7 ) y1+3y2 + 0y3 y4 + y6 = 402y1+2y2 + 2y3 y5 + y7 = 50 y1 , y

17、2 , y3 , y4 , y5 0s.tcj-30-60-2400-M-MB-1bcByBy1y2y3y4y5y6y7-My6130-10104040/3-My72220-1015050/2j3M-305M-602M-24-M-M00-90M线性规划的对偶理论cj-30-60-2400-M-MB-1bcByBy1y2y3y4y5y6y7-60y21/310-1/301/3040/3-My74/3022/3-1-2/3170/335/3j4M/3-1002M-242M/3+20-M-5M/3+200800-70M/3-60y21/310-1/301/3040/340-24y32/3011/3-

18、1/2-1/31/235/335/2j600-12-12-M+12-M+12-1080-60y201-1/2-1/21/41/2-1/415/2-30y1103/21/2-3/4-1/23/435/2j00-9-15-15/2-M+30-M-15/2-975线性规划的对偶理论cj4050000 B-1bcBxBx1x2x3x4x540 x1101/2-1/20150 x5003/2-1/21950 x201-3/41/4015/2j00-35/2-15/20975 Max Z=40 x1+ 50 x2 x1+2x2 303x1+2x2 60 2x2 24 x1 , x2 0s.t x1+2x2

19、 +x3 = 303x1+2x2 +x4 =60 2x2 +x5 = 24 x1 x5 0s.t线性规划的对偶理论线性规划的对偶理论原问题与其对偶问题的变量与解的对应关系： 在单纯形表中，原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量。线性规划的对偶理论XBb原问题的变量原问题的松弛变量x1x2x3x4x5x115101/2-1/20 x59003/2-1/21x215/2013/4-1/4000-35/2-15/20YBb对偶问题的变量对偶问题的剩余变量y1y2y3y4y5y215/201-1/2-1/21/4y135/2103/21/2-3/400-9-15-15/

20、2原问题最优表对偶问题最优表 Max Z=40 x1+ 50 x2 x1+2x2 303x1+2x2 60 2x2 24 x1 , x2 0s.tMin W = 30y1+ 60y2 + 24y3 y1+3y2 + 0y3 402y1+2y2 + 2y3 50 y1 , y2 , y3 0s.t线性规划的对偶理论性质1 对称性定理：对偶问题的对偶是原问题 min W= Y bs.t. YA C Y 0max Z=C Xs.t. AXb X 0三、 对偶原理线性规划的对偶理论min z= - CXs.t. -AX-bX 0maxw= -Ybs.t. -YA-C Y 0min w=Ybs.t. Y

21、AC Y 0max z=CXs.t. AXb X 0对偶的定义对偶的定义简要证明：线性规划的对偶理论性质2 弱对偶原理(弱对偶性)：设 和 分别是问题(P)和(D)的可行解，则必有推论1: 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下界；反之，对偶问题任意可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。证明：(1) 当X和Y为原问题和对偶问题的一个可行解有原问题目标函数值对偶问题目标函数值线性规划的对偶理论推论2: 在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题无可行解；反之不成立。这也是对偶问题的无界性。若（P）为无界解，则（D）无可行解；若（D）为无

22、界解，则（P）无可行解。线性规划的对偶理论推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行（如P），而另一个不可行（如D），则该可行的问题目标函数值无界。已知原问题(LP)，试估计它的目标函数值的界,并验证弱对偶定理.例5线性规划的对偶理论解：问题(LP)的对偶问题(DP)为 (DP)线性规划的对偶理论由观察可知 分别是原问题和对偶问题的可行解。 ，弱对偶定理成立。且由推论1知，对偶问题目标函数W的下界为10，原问题目标函数Z的上界为40。且原问题的目标函数值为对偶问题的目标函数值为故线性规划的对偶理论例：利用对偶性质判断下面问题有无最优解例6解：此问题的对偶问题为不能成立，因此对偶问题不可

23、行。故由推论3知原问题无界。为可行解线性规划的对偶理论性质3 最优性定理：如果 是原问题的可行解， 是其对偶问题的可行解，并且:则 是原问题的最优解， 是其对偶问题的最优解。线性规划的对偶理论性质4 强(主)对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。还可推出另一结论：若一对对偶问题中的任意一个有最优解，则另一个也有最优解，且目标函数最优值相等；若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。一对对偶问题的关系，有且仅有下列三种：都有最优解，且目标函数最优值相等；两个都无可行解；一个问题无界，则另一问题无可行解。线性规划的对偶理论证明：当X*为原问题的

24、一个最优解，B为相应的最优基，通过引入松弛变量Xs，将问题(P)转化为标准型令CCBCN0解基系数基变量XBXNXsCBXBIB-1NB-1B-1b0CN -CBB-1N -CBB-1CBB-1bCXAC-CBB-1A说明Y*可行线性规划的对偶理论问题:（1）由性质4可知，对偶问题最优解的表达式 Y*=?（2）求 Y*是否有必要重新求解(D)?不必。可以从原问题（P）的单纯形终表获得。CCBCN0解基系数基变量XBXNXsCBXBIB-1NB-1B-1b0CN -CBB-1N -CBB-1CBB-1b线性规划的对偶理论性质5 互补松弛性：设X0和Y0分别是P问题 和 D问题 的可行解，则它们分

25、别是最优解的充要条件是：其中：Xs、Ys为松弛变量。在线性规划问题的最优解中，若对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；另一方面，如果约束条件取严格不等式，则其对应的变量一定为零。紧约束与松约束线性规划的对偶理论一个约束称为紧约束，如果该约束在所有最优解上的值使左右取等号。 即我们把严格等式约束称为紧约束（或起作用约束）. 不是紧约束的约束称为松约束。 即把某一最优解处取严格不等式的约束称为松约束（或不起作用约束）。对于最优解X*和Y*而言，松约束的对偶约束是紧约束.以上关系称为对偶问题的互补松弛关系或松紧关系。在计算上，若已知一个问题的最优解，则可利用互补松弛条件求另一个

26、问题的最优解.紧约束与松约束松紧关系非常重要线性规划的对偶理论证: (必要性）原问题 对偶问题线性规划的对偶理论 y1 yi ym ym+1 ym+j yn+m x1 xj xn xn+1 xn+i xn+m 对偶问题的变量 对偶问题的松弛变量 原始问题的变量 原始问题的松弛变量xjym+j=0yixn+i=0(i=1,2,m; j=1,2,n)在一对变量中，其中一个大于0，另一个一定等于0线性规划的对偶理论性质5的应用：该性质给出了已知一个问题最优解求另一个问题最优解的方法，即已知Y求X或已知X求Y互补松弛条件由于变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量为零，因而有下列关系： 若Y0，则

27、Xs必为0；若X0，则Ys必为0利用上述关系，建立对偶问题（或原问题）的约束线性方程组，方程组的解即为最优解。线性规划的对偶理论 已知线性规划的最优解是X=(6,2,0)T,求其对偶问题的最优解Y。解：写出原问题的对偶问题，即标准化例7线性规划的对偶理论设对偶问题最优解为Y(y1，y2),由互补松弛性定理可知，X和 Y满足：即：因为x10，x20，所以对偶问题的第一、二个约束的松弛变量等于零，即y30，y40，带入方程中：解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题的最优解为：Y=(1,1)，最优值w=26。线性规划的对偶理论 已知线性规划 的对偶问题的最优解为Y=(0,-2)，求原问题的

28、最优解。解: 对偶问题是标准化例8线性规划的对偶理论设原问题最优解为X(x1，x2 ，x3)T ,由互补松弛性定理知，X和 Y满足：将Y带入由方程可知，y3y50，y41。y2=-20 x50又y4=10 x20将x2，x5分别带入原问题约束方程中，得：解方程组得：x1=-5,x3=-1, 所以原问题的最优解为X=(-5,0,-1)，最优值z=-12线性规划的对偶理论试用对偶原理求解线性规划问题已知其对偶规划的最优解为练习线性规划的对偶理论解：该问题的对偶规划为线性规划的对偶理论利用松紧关系，代入对偶规划的约束条件得下列约束是松约束，将最优解松约束紧约束其对偶约束是紧约束线性规划的对偶理论设原

29、问题的最优解为紧约束线性规划的对偶理论 对偶规划可以用线性规划的单纯形法求解。由对偶原理可见，原问题与对偶问题之间有紧密联系，因此我们能够通过求解原问题来找出对偶问题的解，反之依然。互补松弛条件就可以解决由原问题的最优解直接求出对偶问题的最优解。对偶问题解的求法线性规划的对偶理论原问题与对偶问题解的对应关系小结对应关系原问题最优解无界解无可行解对偶问题最优解(Y,Y)(N,N)无界解(Y,Y)无可行解(Y,Y)无法判断线性规划的对偶理论思考题判断下列结论是否正确，如果不正确，应该怎样改正？1）任何线性规划都存在一个对应的对偶线性规划.2）原问题第i个约束是“”约束，则对偶变量yi0.3）互为对

30、偶问题，或者同时都有最优解，或者同时都无最优解.4）对偶问题有可行解，则原问题也有可行解.5）原问题有多重解，对偶问题也有多重解.6）对偶问题有可行解，原问题无可行解，则对偶问题具有无界解.7）原问题无最优解，则对偶问题无可行解.8）对偶问题不可行，原问题可能无界解.9）原问题与对偶问题都可行，则都有最优解.10）原问题具有无界解，则对偶问题不可行.11）对偶问题具有无界解，则原问题无最优解.12）若X*、Y*是原问题与对偶问题的最优解，则X*=Y*.线性规划的对偶理论2.5 影子价格单位产品消耗的资源(吨/件)原始问题是利润最大化的生产计划问题总利润(元)产品产量(件)单位产品的利润(元/件

31、)消耗的资源(吨)剩余的资源(吨)资源限量(吨)影子价格对偶问题资源定价问题对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、y2、.、ym称为m种资源的影子价格（Shadow Price）原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润 Max z=Min w总利润(元)资源限量(吨)资源价格(元/吨)影子价格在一对 P 和 D 中，若 P 的某个约束条件的右端项常数 bi （第 i 种资源的拥有量）增加一个单位时，所引起目标函数最优值z* 的改变量称为第 i 种资源的影子价格，其值等于D问题中对偶变量 yi*。由对偶问题得基本性质可得：1. 影子价格的数学分析：影子价格2. 影子价格的经济意义1）影子价

32、格是一种边际价格在其它条件不变的情况下，单位资源数量的变化所引起的目标函数最优值的变化。即对偶变量yi 就是第 i 种资源的影子价格。即： 影子价格影子价格是针对某一具体约束条件而言,因此影子价格可理解为目标函数最优值对资源的一阶偏导数 资源影子价格的性质影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源的影子价格一定等于0影子价格0X2X1X= (15,7.5) Z=975X= (15.5,7.25) Z=982.5X= (14.5,8.25) Z=992.5Max Z=40X1+ 50X2 X1+2X2 303X1+2X2

33、60 2X2 24 X1 , X2 0s.t0X2X1X= (15,7.5) Z=975Max Z=40X1+ 50X2 X1+2X2 303X1+2X2 60 2X2 24 X1 , X2 0s.t0X2X1X= (15,7.5) Z=975X= (14.5,8.25) Z=992.5Max Z=40X1+ 50X2 X1+2X2 303X1+2X2 60 2X2 24 X1 , X2 0s.t0X2X1X= (15,7.5) Z=975X= (15.5,7.25) Z=982.5Max Z=40X1+ 50X2 X1+2X2 303X1+2X2 60 2X2 24 X1 , X2 0s.t

34、0X2X1X= (15,7.5) Z=975Max Z=40X1+ 50X2 X1+2X2 303X1+2X2 60 2X2 24 X1 , X2 0s.t0X2X1X= (15,7.5) Z=975X= (15.5,7.25) Z=982.5X= (14.5,8.25) Z=992.5Max Z=40X1+ 50X2 X1+2X2 303X1+2X2 60 2X2 24 X1 , X2 0s.t2）影子价格是一种机会成本影子价格是在资源最优利用条件下对单位资源的估价，这种估价不是资源实际的市场价格。因此，从另一个角度说，它是一种机会成本。若第i 种资源的单位市场价格为mi ，则有当yi* m

35、i 时，企业愿意购进这种资源，单位纯利为yi*mi ，则有利可图；当yi* mi 则购进资源 i，可获单位纯利yi*mi ； 若yi* 0，则xn+i =0如果xn+i 0，则yi =0影子价格大于0的资源，在最优生产计划条件下没有剩余ym+jxj=0如果ym+j 0，则xj =0如果xj 0，则ym+j =0最优生产计划条件下有剩余的资源，其影子价格等于0差额成本大于0（机会成本大于利润）的产品，不安排生产安排生产的产品，差额成本等于0（机会成本等于利润）互补松弛关系经济解释影子价格4）影子价格对单纯形表计算的解释单纯形表中的检验数其中cj表示第j种产品的价格; 表示生产该种产品所消耗的各项

36、资源的影子价格的总和，即产品的隐含成本。当产值大于隐含成本时，即 ，表明生产该项产品有利，可在计划中安排；否则 ，用这些资源生产别的产品更有利，不在生产中安排该产品。影子价格2.6 对偶单纯形法 对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方法。它是根据对偶原理和单纯形法原理而设计出来的，因此称为对偶单纯形法。不要简单理解为是求解对偶问题的单纯形法。对偶单纯形法原理对偶单纯形法基本思路： 找出一个对偶问题的可行基，保持对偶问题为可行解的条件下，判断XB是否可行（XB为非负），若否，通过变换基解，直到找到原问题基可行解（即XB为非负），这时原问题与对偶问题同时达到可行解，由定理4可得最优解。对偶单纯形

37、法找出一个DP的可行基LP是否可行（XB 0）保持DP为可行解情况下转移到LP的另一个基本解最优解是否循环结束对偶单纯形法先回顾一下单纯形算法：它是从线性规划的一个基可行解迭代到另一个基可行解的过程，在迭代过程中，保持基解的可行性，逐步消除基解的检验数的非负性，即为了求解线性规划，我们也可以从线性规划的一个基解迭代到另一个基解，在迭代过程中，保持基解的检验数的非正性，逐步消除基解的不可行性，即对偶单纯形法 如果原问题(P)的一个基本解X与对偶问题(D)的基可 行解Y对应的检验数向量满足条件 则称X为原问题(P)的一个正则解。求解原问题(P)时，可以从(P)的一个正则解开始，迭代到另一个正则解，

38、使目标函数值增加，当迭代到正则解满足原始可行性条件(即xi0)时，就找到了原问题(P)的最优解。 这一方法称为对偶单纯形法对偶单纯形法定义原始单纯形法对偶单纯形法前提条件所有bi 0所有检验数0最优性检验所有检验数0？所有bi 0？换入、出基变量的确定先确定换入基变量后确定换出基变量先确定换出基变量后确定换入基变量原始基本解的进化可行最优（对偶问题的解从不可行到可行）非可行可行（最优）（原问题的解从不可行到可行）对偶单纯形法原问题解空间对偶问题解空间可行解可行解基本解基本解正则解正则解基可行解基可行解最优解对偶单纯形法对偶单纯法的迭代步骤：（1）找一个正则基B和初始正则解X(0)，将问题（P）

39、化为关于基B的典式，列初始对偶单纯形表.设正则解的典式为：对偶单纯形法将上面的典式转换成前面所学习过的单纯形表：（2）若, 则迭代停止，已求得原问题（P）的最优解;否则转下一步。对偶单纯形法则迭代停止，原问题无解；否则转下一步。为换出变量。若（3）确定换出变量：若则取相应的变量对偶单纯形法（4）确定换入变量：若则取x l 为换入变量。以正则解，返回（2）。为主元进行换基运算得到新的对偶单纯形法用对偶单纯形法计算解：为了便于寻找初始正则解，将问题变形为：取x4,x5为初始正则解，列单纯形表如下：例9对偶单纯形法-2-3-400XBbx1x2x3x4x5x4-3-1-2-110 x5-4-21-3

40、010-2-3-4由于初始正则解有负分量，于是取min-3,-4=-4x5为换出变量，取x1为换入变量，得新基x4,x1 ，51= -2为主元对偶单纯形法基变换的过程：主元变为1，即用-2去除单纯形表中基变量x5所在的行；主元所在列的其它元变为0，消去非基变量x1所在的列的其余元-1，-2；得新基x4,x1的单纯形表-2-3-400XBbx1x2x3x4x5x4-3-1-2-110 x5-4-21-3010-2-3-4对偶单纯形法基变换的过程：-2-3-4XBbx1x2x3x4x5x4x1-2-3-400XBbx1x2x3x4x5x4-3-1-2-110 x5-4-21-3010-2-3-42

41、1-1/23/20-1/2-10-5/21/21-1/240-4-10-1对偶单纯形法-2-3-4XBbx1x2x3x4x5x4x121-1/23/20-1/2-10-5/21/21-1/240-4-10-1可见正则解的有负分量，由于x4=1 , 所以取x4为换出变量，取x2为换入变量，得新基x2,x1 ，42=-5/2为主元对偶单纯形法-2-3-4XBbx1x2x3x4x5x22/501-1/5-2/51/5x111/5107/5-1/5-2/528/500-3/5-8/5-1/5此时正则解是可行解，也是最优解。 X*=(11/5，2/5，0，0，0)；z*=-28/5进行基变换，得新正则解

42、的单纯形表：对偶单纯形法例10cjB-1b-120-5000cByBy1y2y3y40y3-50-4-2100y4-30-3-101j0-120-5000-120/-4-50/-2-50y22521-1/200y4-5-10-1/21j-1250-200-2502050-50y21501-3/22-120y15101/2-1j-135000-15-20例11cjB-1b23-5-M0cBxBx1x2x3x4x5-Mx471111070 x5-10-25-101j-7MM+2M+3M-5003x27111100 x5-45-70-6-51j21-10-7-M-301/77/6(M+3)/53x2

43、4/7011/72/71/72x145/7106/75/7-1/7j102/700-50/7-(M+16)/7-1/7例12cj3-1-100-MB-1bcBxBx1x2x3x4x5x60 x41-2110011110 x54-1-2010-3-Mx6-20100111j-6M+3-1M-1000-Mcj3-1-100-MB-1bcBxBx1x2x3x4x5x60 x43-2010-1100 x50-10012-1-1x3-2010011j1-1000-M+1-1cj3-1-100-MB-1bcBxBx1x2x3x4x5x63x11001/3-2/3-5/34-1x20100-1-21-1x3

44、0012/3-4/3-7/39j000-1/3-1/3-M+2/32cj3-1-100-MB-1bcBxBx1x2x3x4x5x60 x43001-2-512-1x20100-1-21-1x3-2010011j1000-1-M-1-2对偶单纯形法的迭代步骤中,如何找一个初始正则解？初始正则解的确定标准形线性规划问题选定的基B，不妨设对偶单纯形法可行基B的典式为右端常数中有负数，而检验数全非正，则基B为正则基，相应的 解为初始正则解，就可用对偶单纯形法求解。否则，若出现正检验数，X(0)就不是正则解。为此，求初始正则基和初始正则解，可增加一个约束条件：原问题(P)的典式扩充为下列问题:扩充问题：

45、对偶单纯形法非基变量充分大数扩充问题的一个正则基和正则解是不难得到的。对偶单纯形法扩充问题的两种可能结果：（1）若扩充问题无可行解，则原问题(P)也无可行解。（2）若扩充问题有最优解且目标函数最优值与 M 无关,则有必为原问题(P)的最优解。则把 x0 作为换出变量，xk 作为换入变量，经过一次迭代，就可得到一个正则解：具体计算可以在单纯形表上实现.证明:则 一定是扩充问题的可行解，与假设矛盾。令对偶单纯形法（1）若扩充问题无可行解，则原问题(P)也无可行解。事实上，若原问题如果有可行解：由于所以则 是扩充问题的可行解，又因扩充问题与原问题的目标函数相同，且都与 无关,所以必有 这与 是扩充问

46、题的最优解矛盾。 对偶单纯形法（2）若扩充问题有最优解且目标函数最优值与 M 无关,则有必为原问题(P)的最优解。事实上，如果原问题有可行解对偶单纯形法的理论解释对偶单纯形法所使用的表格与原单纯形法一样，可将典式中的数据放在原单纯形表上，即得到对偶单纯形表，所不同的是这里保证在整个过程中不保证,即右端常数中可以出现负数。对偶单纯形法先定换出变量，再定换入变量。从本章起，不强调右端常数非负这个条件。设正则基 的典式为：对偶单纯形法对偶单纯形表对偶单纯形法的迭代方式与原单纯形法基本一致.所不同的是：先定换出变量，再定换入变量，决定主元并作基变换得到一个新的正则解X(1),从而完成一次迭代.算法的后

47、半部分与原单纯形法完全一致.对偶单纯形法 (2)再选进基变量:假定xk为进基变量, 我们分析一下xk 应满足什么条件,才能使迭代后得到的解仍为问题(P)的正则解. (1)先选出基变量:若 则取与 相对应的基变量 xr 为出基变量. 因为 ,而换基运算的第一步是用主元 去除第r 行中的各元素,为了使变换后 为正数,所以主元 必须从第r 行的负元素中选取,即 . 设主元处在第 k 列,于是换基运算后,各检验数变为 因为要求迭代后得到的解仍为正则解,于是 又因为 于是当 时,不等式(1)自然成立;由此则取与之相对应的非基变量 为换入变量。 否则,当 时,要使不等式(1)成立,必须 又因为 于是当 时

48、,不等式(1)自然成立;对偶单纯形法最后证明对应于新的正则解X(1),对偶问题(D)的目标函数值将得到改善.这样,上述求极大值问题(P)的迭代过程,实质上是在对对偶问题(D)求极小值,所以目标函数越小就越接近最优解.直到得到对偶问题(D)的最小值,相应地也就求出了原问题(P)的最大值. 出基变量 与进基变量 xk 确定以后,以 为主元进行换基运算(方法与原单纯形法相同)即可得新的正则解X(1) . 这是因为 ,故和原始单纯形法一样,若对偶问题是非退化的(即对偶问题的每一个基可行解都是非退化的,或者说,对于原问题的每一个正则解，都有 ,则每迭代一次,目标函数都将严格减小,从而一定能在有限次迭代后

49、得到原问题的最优解,或者判定它无解.容易证明:若 ,且所有的 ,则原问题(P)无解(自己证明). 用对偶单纯形法求解线性规划问题时，当约束条件为“”时，不必引进人工变量，使计算简化。当线性规划问题中变量多于约束条件时，用对偶单纯形法计算可以减少工作量。对偶单纯形法应用于主要应用于灵敏度分析及整数规划等有关章节中。对偶单纯形法的局限性主要是：对大多数线性规划问题，很难找到一个初始正则解。因此对偶单纯形法一般不单独使用。对偶单纯形法的优缺点：对偶单纯形法2.7 灵敏度分析灵敏度分析=对于市场的变化，我们的决策究竟怎样变化 （不需要将它当成一个新问题）灵敏度分析的重要性在于：1. 向决策者提供线性规

50、划问题的最优解所能适应的环境条件变化的范围；2. 环境条件变化时可能对经营状况带来何种影响；3. 产生影响后的解决途径。灵敏度分析灵敏度分析的类型：1. 模型中各个参数在什么范围变化时，最优基不发生改变。2. 模型中参数变化已经超出上述范围时，如何快速确定新的最优基和最优解新的最优决策方案。模型中参数变化主要指：1. 目标函数的系数变化；2. 约束条件右边的值变化；3. 约束条件中aij 的变化；4. 可决策变量增减的变化；5. 约束条件增减的变化。 灵敏度分析灵敏度分析的任务：1.当系数A、b、C中的某个发生变化时,目前的最优基是否仍最优（即目前的最优生产方案是否要变化）?(称为模型参数的灵

51、敏度分析)2.增加一个变量或增加一个约束条件时，目前的最优基是否仍最优（即目前的最优生产方案是否要变化）？(称为模型结构的灵敏度分析) 灵敏度分析线性规划问题 I 表与 B 表的关系对给定符合典式的线性规划问题中，初始基矩阵为 I ，基变量为 XS ，即松弛变量。其对应的初始单纯形表如下： I 表（初始表）对初始单纯形表进行迭代之后得到 B 为最优基矩阵，最终典式所对应的单纯形表： B 表（最终表）基解 X XSXSb A Ij C 0 基解 XB XN XSXBB -1b I B -1N B -1 j 0 CN CB B -1N - CB B -1 灵敏度分析原问题对偶问题结论或继续计算的步

52、骤可行解可行解非可行解非可行解可行解非可行解可行解非可行解问题的最优解或最优基不变可以用单纯形法继续迭代求最优解可以用对偶单纯形法继续迭代求最优解引进人工变量，编制新的单纯形表重新计算线性规划原问题单纯形法对应的 I 表中参数的变化将引起B 表中对应参数的变化情况如下：灵敏度分析基解X XSXSbA Ij C 0 基解XB XN XSXBB -1b I B -1N B -1 j 0 CN CB B -1N - CB B -1 I 表（初始表）B 表（最终表）灵敏度分析的方法： 灵敏度分析方法的关键是从单纯形法对应的 I 表中参数的变化来分析B 表中对应参数的变化情况来回答决策者所关心问题。 灵

53、敏度分析的方法是在目前最优基B下进行的。即当参数A、b、c中的某一个或几个发生变化时，考察是否影响以下两式的成立？ 灵敏度分析1. 对于参数b的灵敏度分析基解 XB XN XSXSb B N I j CB CN 0基解 XB XN XSXBB-1b I B -1N B -1j 0 CN CB B -1 - CB B -1I 表B 表当I 表中b变化为b时，在B 表中将只有解列 B-1b发生变化。灵敏度分析bXXBB-1bB-1AZC BB-1bC-C BB-1Ab变化的时候，仅对B-1b有影响仅关心B-1b0?若新的B-1b不满足0，最优基发生变化，此时需用对偶单纯形法进行计算，调整可行性可能

54、当B-1b0时，最优基不变（即生产产品的品种不变，但数量及最优值会变化），此时可以简单求出新最优解。所以，b的变化只影响最优解的变化和最优值的变化。灵敏度分析若B-1b0，其是一个不等式组，从中可以解得b的变化范围（此时，需保证当前最优基变化后仍为最优基）若B-1b中有小于0的分量，则需用对偶单纯形法迭代，以求出新的最优方案。（此时，基变量不变，因为基变量只需要相应的B可逆就可以了）bXXBB-1bB-1AZC BB-1bC-C BB-1A灵敏度分析I 表Cj21000CB基解X1X2X3X4X50X315051000X424620100X5511001检验数j21000B 表Cj21000C

55、B基解X1X2X3X4X50X315/20015/4-15/22X17/21001/4-1/21X23/2010-1/43/2检验数j000-1/4-1/2灵敏度分析若b2增加到30，最优解如何变化？最优基不变，最优解变为（5，0，15，0，0）。灵敏度分析I 表Cj21000CB基解X1X2X3X4X50X315051000X424620100X5511001检验数j21000B 表Cj21000CB基解X1X2X3X4X50X315/20015/4-15/22X17/21001/4-1/21X23/2010-1/43/2检验数j000-1/4-1/2灵敏度分析若b2增加到32，最优解如何变

56、化？最优基发生变化，用对偶单纯形法求解。灵敏度分析B 表Cj21000CB基解X1X2X3X4X50X315051002X15110010X420-401-6检验数j0-100-2B 表Cj21000CB基解X1X2X3X4X50X335/20015/4-15/22X111/21001/4-1/21X2-1/2010-1/43/2检验数j000-1/4-1/2灵敏度分析 已知某生产计划问题的数学模型，为使最优方案不变，试讨论第二个约束条件b2的变化范围。 cj 4 3 0 0 CBXBb x1 x2 x3 x4 34x2x146 0 1 3/5 -2/5 1 0 -2/5 3/5 Z36 0

57、0 1/5 6/5 解：生产计划问题的数学模型和最优单纯形表为：灵敏度分析从矩阵形式的单纯形表中可知，b2的变化只影响解的可行性B-1b0，因此，为使最优解不变，只需变化以后的B-1b0即可。由解得：当数据量十分大的时候，十分麻烦写为B-1(24,26)+B-1b灵敏度分析若b2变化超过范围，则需用对偶单纯形法进行求解。如b2=6，则 cj 4 3 0 0 CBXBb x1 x2 x3 x4 34x2x112-6 0 1 3/5 -2/5 1 0 -2/5 3/5 Z12 0 0 1/5 6/5 将上述数字替换最优单纯形表中相应位置的数据得：灵敏度分析 cj 4 3 0 0 CBXBb x1

58、x2 x3 x4 30 x2x3315 3/2 1 0 1/2 -5/2 0 1 -3/2 Z9 1/2 0 0 3/2 用对偶单纯形法迭代，求出的最优单纯形表如下：得到新的最优解为：x1=0，x2=3; max z=9灵敏度分析当 Cj 是非基变量 X 的目标系数时，若要保持最优解（或基）不变，则必须满足：CN CB B -1N 0基解 XB XN XSXSb B N Ij CB CN 0基解 XB XN XSXBB -1b I B -1N B -1j 0 CN CB B -1N - CB B -1I 表B 表2.对价值系数Cj变化的分析(1)当 Cj 变化使得非基变量的Cj Zj 0，即最

59、优解（或基）发生变化，则在原单纯形表的基础上，继续求解模型。灵敏度分析max z = 2x1 + x2 5x2 15s.t. 6x1 + 2x2 24 x1 + x2 5 x1 ，x2 0I 表Cj21000CB基解X1X2X3X4X50X315051000X424620100X5511001检验数j21000灵敏度分析B 表Cj21000CB基解X1X2X3X4X50X315/20015/4-15/22X17/21001/4-1/21X23/2010-1/43/2检验数j000-1/4-1/2B 表CjC11000CB基解X1X2X3X4X50X315/20015/4-15/2C1X17/2

60、1001/4-1/21X23/2010-1/43/2检验数j0001/4-C1/4C1/2-3/2若要使最优解保持不变，求x1的价值系数变化范围。灵敏度分析因此：当CN（非基变量的目标函数系数）中某个Cj发生变化时，只影响到非基变量xj的检验数 最优解改变，需要用单纯形法重新进行迭代，以求得新的最优解。最优解不变（最小值）灵敏度分析 对于下列线性规划模型,为使最优解不变，讨论非基变量y1的目标函数系数c3的变化范围。用单纯形法求得其最优表为： cj 4 3 2 0 0 CBXBb x1 x2 y1 x3 x4 34x2x146 0 1 -1/5 3/5 -2/5 1 0 4/5 -2/5 3/