北京人民大学附中2022年高三3月份模拟考试数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡

2、一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1方程的实数根叫作函数的“新驻点”，如果函数的“新驻点”为，那么满足（ ）ABCD2下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）ABC D3已知x,y满足不等式组,则点所在区域的面积是( )A1B2CD4已知下列命题：“”的否定是“”；已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题；“”是“”的充分不必要条件；“若，则且”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为（ ）ABCD5已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）AB3CD6某几何体的三视图

3、如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）ABCD7已知，若，则实数的值是（）A-1B7C1D1或78已知数列的前n项和为，且对于任意，满足，则（ ）ABCD9ABC中，如果lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2，则ABC的形状是（ ）A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形10记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间，设函数，则不等式的解集为（ ）A2阶区间B3阶区间C4阶区间D5阶区间11公差不为零的等差数列an中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比数列，则数列an的公差等于( )A1B2C3D412已知函数，若关

4、于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值为（ ）A2B3C5D8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知关于空间两条不同直线m、n，两个不同平面、，有下列四个命题：若且，则；若且，则；若且，则；若，且，则.其中正确命题的序号为_.14若，则_.15已知是抛物线的焦点，过作直线与相交于两点，且在第一象限，若，则直线的斜率是_16已知双曲线：（，），直线：与双曲线的两条渐近线分别交于，两点.若（点为坐标原点）的面积为32，且双曲线的焦距为，则双曲线的离心率为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知椭圆：（）的离心率为，且椭圆的一个焦点与抛

5、物线的焦点重合.过点的直线交椭圆于，两点，为坐标原点.（1）若直线过椭圆的上顶点，求的面积；（2）若，分别为椭圆的左、右顶点，直线，的斜率分别为，求的值.18（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）若，求曲线与的交点坐标；（2）过曲线上任意一点作与夹角为45的直线，交于点，且的最大值为，求的值.19（12分）已知函数，（）当时，证明；（）已知点，点，设函数，当时，试判断的零点个数20（12分）已知在中，角，的对边分别为，且.（1）求的值；（2）若，求面积的最大值.21（12分）已知抛物线上一点到焦点的距离

6、为2，（1）求的值与抛物线的方程；（2）抛物线上第一象限内的动点在点右侧，抛物线上第四象限内的动点，满足，求直线的斜率范围.22（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知平行于x轴的动直线l交抛物线C：于点P，点F为C的焦点圆心不在y轴上的圆M与直线l，PF，x轴都相切，设M的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）若直线与曲线E相切于点，过Q且垂直于的直线为，直线，分别与y轴相交于点A，当线段AB的长度最小时，求s的值参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】由题设中所给的定义，方程的实数根叫做函数的“新驻点”，根

7、据零点存在定理即可求出的大致范围【详解】解：由题意方程的实数根叫做函数的“新驻点”，对于函数，由于，设，该函数在为增函数， ，在上有零点，故函数的“新驻点”为，那么故选：【点睛】本题是一个新定义的题，理解定义，分别建立方程解出存在范围是解题的关键，本题考查了推理判断的能力，属于基础题.2C【解析】由每个函数的单调区间，即可得到本题答案.【详解】因为函数和在递增，而在递减.故选：C【点睛】本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题.3C【解析】画出不等式表示的平面区域，计算面积即可.【详解】不等式表示的平面区域如图：直线的斜率为，直线的斜率为，所以两直线垂直，故为直角三角形，易得，所以阴影部分

8、面积.故选：C.【点睛】本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题.4B【解析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断【详解】“”的否定是“”，正确；已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题，正确；“”是“”的必要不充分条件,错误；“若，则且”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误.故选：B【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础5B【解析】设，代入双曲线方程相减可得到直线的斜率与中点坐标之间的关系，从而得到的等式，求出离心率【详解】，设，则，两式相减得，

9、故选：B【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题方法是点差法，即出现双曲线的弦中点坐标时，可设弦两端点坐标代入双曲线方程相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系6C【解析】由三视图可知，该几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为，上部半圆锥的体积为，所以该几何体的体积为，故应选7C【解析】根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得的值.【详解】由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得.解得.故选：C.【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.8D【解析】利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，

10、判断选项的正误即可【详解】当时，所以数列从第2项起为等差数列，所以，故选：【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题9B【解析】化简得lgcosAlgsinCsinBlg2，即cosA=sinCsinB=12，结合0A， 可求A=3，得B+C=23代入sinC12sinB，从而可求C，B，进而可判断.【详解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2，可得lgcosAlgsinCsinBlg2，cosA=sinCsinB=12，0A，A=3，B+C=23，sinC12sinB12sin23-C34cosC+14sinC

11、，tanC33，C6，B2.故选：B【点睛】本题主要考查了对数的运算性质的应用，两角差的正弦公式的应用，解题的关键是灵活利用基本公式，属于基础题10D【解析】可判断函数为奇函数，先讨论当且时的导数情况，再画出函数大致图形，将所求区间端点值分别看作对应常函数，再由图形确定具体自变量范围即可求解【详解】当且时，.令得.可得和的变化情况如下表：令，则原不等式变为，由图像知的解集为，再次由图像得到的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间. 故选：D【点睛】本题考查由函数的奇偶性，单调性求解对应自变量范围，导数法研究函数增减性，数形结合思想，转化与化归思想，属于难题11B【解析】设数列的公差为.由

12、，成等比数列，列关于的方程组，即求公差.【详解】设数列的公差为，.成等比数列，解可得.故选：.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.12D【解析】画出函数的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出.【详解】解：函数，如图所示当时，由于关于的不等式恰有1个整数解因此其整数解为3，又，则当时，则不满足题意；当时，当时，没有整数解当时，至少有两个整数解综上，实数的最大值为故选：D【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】由直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线

13、面垂直的定义判断【详解】若且，的位置关系是平行、相交或异面，错；若且，则或者，错；若，设过的平面与交于直线，则，又，则，正确；若，且，由线面垂直的定义知，正确故答案为：【点睛】本题考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义，考查空间线面间的位置关系，掌握空间线线、线面、面面位置关系是解题基础14【解析】因为，所以.因为，所以，又，所以，所以.15【解析】作出准线，过作准线的垂线，利用抛物线的定义把抛物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用平面几何知识计算出直线的斜率【详解】设是准线，过作于，过作于，过作于，如图，则，直线斜率为故答案为：【点睛】本题考

14、查抛物线的焦点弦问题，解题关键是利用抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离转化为该点到准线的距离，用平面几何方法求解16或【解析】用表示出的面积，求得等量关系，联立焦距的大小，以及，即可容易求得，则离心率得解.【详解】联立解得.所以的面积，所以.而由双曲线的焦距为知，所以.联立解得或故双曲线的离心率为或.故答案为：或.【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）（2）【解析】（1）根据抛物线的焦点求得椭圆的焦点，由此求得，结合椭圆离心率求得，进而求得，从而求得椭圆的标准方程，求得椭圆上顶

15、点的坐标，由此求得直线的方程.联立直线的方程和椭圆方程，求得两点的纵坐标，由此求得的面积.（2）求得两点的坐标，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，由此求得的值，根据在椭圆上求得的值，由此求得的值.【详解】（1）因为抛物线的焦点坐标为，所以椭圆的右焦点的坐标为，所以，因为椭圆的离心率为，所以，解得，所以，故椭圆的标准方程为.其上顶点为，所以直线：，联立，消去整理得，解得，所以的面积.（2）由题知，设，.由题还可知，直线的斜率不为0，故可设：.由，消去，得，所以所以，又因为点在椭圆上，所以，所以.【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点，椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆，三角形

16、的面积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.18（1），；（2）或【解析】（1）将曲线的极坐标方程和直线的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，即可求得曲线与的交点坐标；（2）由直线的普通方程为，故上任意一点，根据点到直线距离公式求得到直线的距离，根据三角函数的有界性，即可求得答案.【详解】（1），.由，得，曲线的直角坐标方程为.当时，直线的普通方程为由解得或.从而与的交点坐标为，.（2）由题意知直线的普通方程为，的参数方程为（为参数）故上任意一点到的距离为则.当时，的最大值为所以；当时，的最大值为，所以.综上所述，或【点睛】解题关键是掌握极坐

17、标和参数方程化为直角坐标方程的方法，和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.19（）详见解析；（）1.【解析】（）令，；则易得，即可证明；（），分， ， 当时，讨论的零点个数即可【详解】解：（ ）令，；则令，易得在递减，在递增， ，在恒成立 在递减，在递增 ；（ ） 点，点， ， 当时，可知， ， 在单调递增， 在上有一个零点， 当时， ，在恒成立， 在无零点 当时， 在单调递减， 在存在一个零点综上，的零点个数为1【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点问题，考查了分类讨论思想，属于压轴题20 (1);(2) .【解析】分析：（1）在式子中运用正弦、余弦定理后可得（2）由经三

18、角变换可得，然后运用余弦定理可得，从而得到，故得详解：(1)由题意及正、余弦定理得， 整理得，（2）由题意得， ，. 由余弦定理得， ，当且仅当时等号成立 面积的最大值为点睛：（1）正、余弦定理经常与三角形的面积综合在一起考查，解题时要注意整体代换的应用，如余弦定理中常用的变形，这样自然地与三角形的面积公式结合在一起（2）运用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，在解题中必须要注明21（1）1；（2）【解析】（1）根据点到焦点的距离为2，利用抛物线的定义得，再根据点在抛物线上有，列方程组求解，（2）设，根据，再由，求得，当，即时，直线斜率不存在；当时，令，利用导数求解，【详解】（1）因为点到焦点的距离为2，即点到准线的距离为2，得，又，解得，所以抛物线方程为（2）设，由由，则当，即时，直线斜率不存在；当时，令，所以在上分别递减则【点睛】本题主要考查抛物线定义及方程的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题，22（1），（2）【解析】根据题意设，可得PF的方程，根据