第一章地球物理反演理论绪论课件

1、一、本课程的性质和任务 性质：地球物理反演理论是固体地球物理学专业的通开课程，通过本课程的学习加深学生对地球物理专业理论实质的理解和认识。促进学生认识和理解本专业和相关专业的结合，从而拓宽学生的专业知识面，并对地球物理学专业的发展和现状有新的认识 。任务：掌握地球物理反演理论的基本原理与方法（什么是反演问题、正演问题，线性反演方法原理，广义反演方法，B-G反演理论，非线性反演问题）；能够应用地球物理反演理论的基本原理与方法解决科研中的实际问题。二、本课程的内容1、绪论2、参数化模型的最小长度解3、广义反演法4、Backus-Gilbert反演理论 5、非线性反演方法绪论1，地球物理反演的研究对

2、象2，地球物理反演的发展简史 3，地球物理反演的研究内容和方法 地球物理反演的研究对象地球物理反演是在地球物理学中利用地球表面观测到的物理现象推测地球内部介质物理状态的空间变化及物性结构的一个分支。地球物理学可分为固体地球物理学和勘探地球物理学两大方面，其理论上有一个共同的核心问题：如何根据地面上的观测信号推测地球内部与信号有关部位的物理状态，如物理性质、受力状态或热流密度分布等，这些问题就构成了地球物理反演的独特研究对象。具体地说，地球物理反演研究的是各种地球物理方法中反演问题共同的数学物理性质和解估计的构成和评价方法。它是从各个地球物理分支中抽象出来的边缘学科。地球物理反演又可分为单一地球

3、物理现象的反演和多种地球物理现象的联合反演。地球物理反演的发展简史 如果把天然地震的震源参数的推测归入地球物理反演范围，那么我国东汉的科学家张衡应该是从事地球物理反演的先驱。牛顿根据万有引力定律推测地球密度，开尔文研究地球的弹性和热传导，都是早期地球物理反演的范例。 地球物理学中反演问题的研究，在早期主要来自科学家对地球内部构造的好奇心，并受到物理学与地质学发展的推动。1880年美国学者J. A. Ewing 等人发明了近代地震仪，地震记录的分析便提到日程上来，上世纪初，地震、地磁和重力的数据都有了一定程度的积累，地球物理数据的分析问题逐渐受到了重视，而定量的分析地球物理数据便导致了地球物理反

4、演问题的研究。 地球物理反演的发展简史 Hergloz于1907年提出的地震走时数据反演；1909年A. Mohorovicic 发现莫霍面；1912年 Beno Gutenbeg 发现古登堡面；1947年第一台电子数字计算机的诞生标志着科学技术的一场革命，对地球物理数据分析产生了巨大的推动作用；1950地球物理中的正演问题广泛使用了电子计算机，而与正演计算关系紧密的试错法和拟合法也随之用计算机来实现；1967年-70年,美国地球物理学家Backus 和应用数学家Gilbert创建BG 理论，BG理论在70年代后期逐渐普及；90年代非线性理论在自然科学的各个领域都成为研究前沿；目前联合反演理论

5、及其应用。 地球物理反演的研究内容和方法 地球物理反演的出发点是描述地球内部发生的物理现象满足的数学物理方程。数学家称为偏微分方程，物理学家称之为运动方程或场方程对运动方程的研究和证实是物理学方法论的核心!。典型的物理学研究方法如下图 ：地球物理反演的研究内容和方法1，运动方程2，地球物理数据3，介质模型和激发模型4，上述3方面的总体配合反演失败的原因地球物理反演研究的方法是对地球数据、模型和约束条件作准确的数学描述的基础上，根据数学物理方程导出在计算机上快速实现的准确稳定算法，以进行某种物理不可实现过程的计算机“仿真”。地球物理反演研究的内容不仅涉及到地球物理学、应用数学，还与信息科学、计算

6、机科学发展有关。地球物理反演的研究内容和方法目前，人类对地球内部的物理性质以及矿产资源的分布已经有了不同程度的了解。这种知识多数来自于地表地质和地球物理、地球化学资料的反演和解释，而不是来自于钻井。对于地球表层的了解是如此，深层更是如此。地球物理学是把地球作为研究对象的一门学科。地球物理学中的反演问题就是研究利用地球物理的观测数据去反推描述地球物理模型特征的理论与方法。反演问题：具体来说，就是有结果及某些一般原理（或模型）出发去确定表征问题特性的参数（或称模型参数）。反演问题是相对于正演问题而存在。正演问题：就是按事物的一般原理（或模型）以及相关的条件（初条件、边界条件）来预测、确定事物的结果

7、。反演问题和正演问题数学物理模型和响应函数的正演问题在地球物理学中，将观测数据和地球的物理模型参数联系起来的数学表达式叫数学物理模型，虽然地球物理问题千差万别，但把观测数据和模型参数联系起来的数学物理模型却只有线性和非线性两大类。如以x表示模型参数，y表示观测数据，F表示联系x 和y的函数表达式，当满足：（1）F（x1+x2） F（x1）+ F（x2）y（2）F（ax）=aF（x） =y 以上两个条件时，称F为线性函数。在地球物理学中，大多数情况下观测数据和模型参数之间不满足线性关系，但在一定条件下可以简化或近似简化成线性关系。不管是线性反演还是非线性反演，都涉及到响应函数的计算（或理论观测值

8、的计算，因此正演是反演的前提和条件，只有准确地求出地球响应函数，才有可能得到可靠的地球物理模型。模型空间数据空间反演问题和正演问题反演理论的任务可以归纳为解决5大问题1、解的存在性：即给定一组观测数据后，是否一定存在一个能拟合观测数据的解或模型；2、模型构制：如果存在性是肯定的，如何求得或构制能拟合观测数据的模型；3、非唯一性：能拟合观测数据的模型是唯一，还是非唯一的；4、解的稳定性：当反演问题中的数据稍有变化时其解是否会发生大的变化？5、结果的评价：如果解是非唯一的，如何才能从构制的模型中提取关于真实模型的地球物理信息。地球物理学中的反演理论的目的是根据观测数据求取相应的地球物理模型参数。非

9、线性问题的线性化和连续模型的离散化非线性问题线性化的常用的两种方法A、参数代换法：通过参数代换将非线性方程线性化的方法近震直达波走时表的编制问题 非线性问题的线性化和连续模型的离散化B、Taylor级数展开法： 对问题给定一个初始模型m，它与真实模型差异不大，则将模型函数在m处按Taylor级数展开，取一阶项，使方程变换为线性方程。一般模型移项得非线性问题的线性化和连续模型的离散化当观测数据和模型之间呈线性泛函数时，可以将连续m（z）离散化，实现观测数据的反演。右边d（j）是第j个观测数据， m（z）是地球物理模型，是z的连续函数，G是核函数。如果将线性函数中的模型m（z）离散化，将它分为N个

10、区间mi（z） ，则线性函数可变为：通过求解矩阵方程d=Gm而实现反演目的。反演问题的概念及公式反演问题的主要内容有三方面：1、解的适定问题，包括解的存在性、唯一性和稳定性2、反演问题的求解方法3、反演问题的解的评价解的适定问题，包括解的存在性、唯一性和稳定性解的存在性、唯一性与反演问题的数学确定性有关；而解的稳定性则与反演问题的物理确定性以及求解方法对观测数据的处理状况有关。论证解的存在性有时也是提供解法的过程：对于选定的模型和已知条件，若解存在，那么它是否是唯一解？若不是唯一解，为解决其唯一性，通常应加上附加的约束条件，或增加观测数据，或二者兼而有之。观测数据通常是有误差的，且与测量的状况

11、有关。解的稳定性就是研究当反演问题中的数据稍有变化时其解是否会发生大的变化？若数据的微小变化所引起的解在定义域中的变化也是微小的，则认为解的值连续依赖于数据，问题的解是稳定。若此时解在定义域中的变化很大且不规则，则称问题的解是不稳定的，即为病态。反演问题的求解方法在处理反演问题中，通常我们更关心的是求解方法。由于实际问题的复杂性，有时尽管作过解的存在性与唯一性的验证，但并不等于就有了求解的方法。且在实际应用时，也不强求要先解决适定性才能求解。许多问题都是通过反复的实践与演变，才能建立起比较完整的理论。反演问题的解的评价研究解的评价的一系列准则及折衷原则是反演问题的一个重要内容。没有给出解的评价

12、的反演理论是不完全的，且它不同于一般正演问题的误差分析，而是在反演理论中提取真实解信息的重要工具。 模型构制问题超定问题的最小方差解模型构制问题纯欠定问题的最小模型解模型构制问题混定问题的马奎特法模型构制问题恰定问题的解模型构制问题 在模型的构制时，如何处理观测数据和模型参数，有三种不同的观点和方法： 1、把观测数据和模型参数（既可是离散模型，也可以是能用有限个参数表征的连续模型）都看成是随机变量，通过研究它们所遵循的概率分布对观测资料进行反演 。2、把观测数据作为随机变量，把模型看成是由一些确定参数所决定的。反演的任务就是估算这些待定的参数和误差。 3、视观测数据为随机变量，模型是连续函数，

13、形成一套连续介质的反演理论与方法，这就是著名的B-G反演法。 适定问题：反演问题中，对于允许的数据d的每一个集合，问题的解m存在且唯一，且连续依赖于d,这时，线性偏微分方程问题称为适定问题，或说其解是适定的（well or properly posed problem)。不适定问题：部分不满足或全不满足上述条件的问题便称作不适定问题（ill or improperly posed problems)。条件适定问题：实际的反演问题中，观测数据存在误差；在实际使用的计算机中，数的位数也是有限的，其指数传播的误差就可能造成算法的不稳定性；-.-.-.如此诸多原因的每一方面，都造成问题的实际物理内容的

14、确定存在性与相应数学问题的不适定性之间的明显矛盾。为使问题得以解决，只有对问题的解加上适当的附加条件，使问题成为适定的。在数学上面临的问题是在“条件适定”（conditionally well posed)概念下求解不适定问题。反演问题的数学适定性讨论对反演问题求解，不能强求反演问题的精确解，而应当去寻求那种满足方程但近似满足定解条件，或近似满足方程但精确满足定解条件，或两者都近似满足的解。对于反演问题的答案（解），人们往往习惯于希望象解正演问题一样得到解的确切数值。但由于反演问题的不适定性，能按这样的方式得到的反问题的精确解甚少，实际得到的是“根据模型设计所期望得到的解的类型与根据已知资料（数据）实际能得到的信息之间的各种各样的折衷解”。不同的折衷方案给出反问题的不同形式的解。常用的解的形式：1、模型参数的估算值2、模型参数的约束值3、模型参数的加权平均值反演问题的解及其评价地球物理学中的反演理论的目的是根据数据求取相应的地球物理模型。所以，首先必须确定观测数据和地球模型参数之间的函数关系，使既可以根据给定的模型参数计算相应的观测数据（即实现正演计算），也可以根据观测数据求取地球物理模型的参数，实现反演映射。正演是反演的前提和条件，只有解决了正演计算，