湖南城市学院-随机过程讲稿 (2)ppt课件

1、3.1 线性变换的概念及根本定理3.2 随机过程的微分和积分3.3 随机微分方程3.4 随机过程经过线性系统的分析第三章 随机过程的线性变换 3.5 随机序列的线性变换.3.1.1、线性变换的根本概念1、普通函数的变换概念，假设给定一个函数x(t)，假设按照某种法那么T可以确定一个新的函数y(t)，那么我们就说y(t)是x(t)经过变换T后的结果，记为： y(t)=Tx(t)，其中T称为从x(t)到y(t)的变换。定义3.1 给定一个随机过程X(t)，对于他的每一个样本函数x(t)，都可以确定一个对应的函数y(t)，于是我们得到一个新的随机过程Y(t), 记为： Y(t)=TX(t)，其中T称

2、为从随机过程X(t)到Y(t)的变换。Tx(t)样本函数X(t)随机过程y(t)样本函数Y(t)随机过程图1 随机过程的变换表示图.2、对于变换可以分为确定性变换和随机性变换。即，假设e1和e2是两个实验结果，且有x(t,e1)=x(t,e2)，其变换结果有y(t,e1)=y(t,e2)，那么称变换T为确定性变换，否那么称为随机性变换。线性变换线性系统：就是任务过程可以用线性微分方程描画的系统，对于离散信号和系统而言，凡是任务过程可用线性差分方程描画的系统称为线性系统。高放变频中放检波限幅低放负载天线本振图2 通讯接纳机典型构造图线性系统非线性系统.3、设某线性系统输入端加一信号x(t)，那么

3、在输出端得到呼应信号y(t)，y(t)可以看作是线性系统对信号x(t)经过一定变换的结果。假设这个变换L是线性的，我们表示为y(t)=Lx(t)，那么称输出y(t)是输入x(t)的线性变换关系。定义3.2 设有恣意n个随机变量Ak以及恣意n个随机信号Xk(t)(k=1,2,n),假设那么称变换L为线性变换。留意：对于线性变换L，必需保证无论Ak(k=1,2,n),为何值，也无论Xk(t)(k=1,2,n),为何种函数，上述关系式一定可以成立。.4、线性变换的性质：叠加性比例性时不变性定义3.3 对于线性变换L,即Y(t)=LX(t)，假设Y(t+)=LX(t+)成立，其中为恣意常数，即输入的延

4、时对输出也只产生一个相应的延时，那么称L为线性时不变的。L所对应的系统称为线性时不变系统。.3.1.2、线性变换的根本定理定理3.1 设随机过程X(t)，且Y(t)=LX(t)，其中L是线性变换那么有即随机过程经过线性变换后，其输出的数学期望等于输入的数学期望经过线性变换后的结果。由于因此该定理阐明：当把L和E看作算子的话，那么L和E算子的次序是可以交换的。.定理3.2 设随机过程X(t)和Y(t)，且Y(t)=LX(t)，其中L是线性变换那么有其中 表示t1作L变换， 表示t2作L变换。.阐明： 从定理3.1和3.2可以看出，对于线性变换，系统输出的均值和相关函数可以分别由系统输入的均值和相

5、关函数确定。推行： 对于线性变换，输出k阶矩可以由输入的相应矩来确定。例如：假设系统是线性是不变得，由线性是不变得根本特征和两个根本定理可以看出：假设输入过程X(t)是狭义平稳的，那么输出过程Y(t)也是狭义平稳的；假设输入过程X(t)是广义平稳的，那么输出过程Y(t)也是广义平稳的。也就说，线性变换不改动随机过程的平稳性。.3.2.1 、随机过程的极限定义3.4 设一随机变量序列 ，n=1,2，又设有随机变量X，假设其中为恣意小的正数，那么称随机变量序列 依概率收敛于随机变量X；或者说，随机变量X的随机序列 依概率收敛意义下的极限，记作.定义3.5 设一随机变量X及随机变量序列 ，n=1,2

6、，都有二阶矩，即 , ，并且有 那么称 依均方收敛于随机变量X；或者说，随机变量X是随机序列 依均方收敛意义下的极限，记作.定义3.6 设一随机过程X(t),当 时，X(t)依概率收敛于随机变量X的定义或者称随机变量X是随机过程X(t)当 时依概率收敛意义下的极限，记作定义3.7 设一随机过程X(t),当 时，X(t)依均方收敛于随机变量X的定义或者称随机变量X是随机过程X(t)当 时依均方收敛意义下的极限，记作.3.2.2 、随机过程的延续性定义3.8 设随机过程X(t),假设果有即那么称X(t)依均方收敛意义下在t时辰是延续的。以后简称X(t)在t时辰延续。定理3.3 假设随机过程X(t)

7、的自相关函数 在t1=t2=t处二元延续，那么X(t)在每一时辰t都是依均方意义下延续。.定理3.4 假设随机过程X(t)依均方意义下延续，那么其均值 也必为延续的。即有或.平稳随机过程的延续性设X(t)是平稳随机过程，那么其相关函数为：于是可以得出：很明显，只需平稳随机过程X(t)的相关函数 在=0处是延续的，那么当 时，上述式子的右边趋于零，反之亦然。因此可以得出结论：只需平稳随机过程X(t)的相关函数 在=0处延续，那么平稳随机过程X(t)就是依均方收敛意义下延续的。.3.2.3 、随机过程的微分定义3.9均方导数的定义或柯西判别准那么：假设成立，那么随机过程X(t)的导数存在。.定理3.5 平稳随机过程X(t)存在均方意义下的导数条件是其自相关函数在=0处存在的二阶导数。证明：略。定理3.6 非平稳随机过程X(t)存在均方意义下的导数条件是当t1=t2时，其自相关函数存在二阶偏导数。.定义3.10假设随机过程X(t)满足可微条件，那么经微分后得到的导数是一个时间函数，这个函数也是一个随机过程，将其称之为导数过程，记作对于导数过程Y(t)的数学期望和相关函数分别记为 和因此可以得到：.那么随机过程X(t)与导数过程Y(t)的相互关函数为用类似的方法可以得到Y(t)的自相关函数为.同理可以得到：假设X(t)为平稳随机过程时，那么