第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.2平面向量基本定理及其坐标表示课时规范训练理北师大版

1、第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.2平面向量基本定理及其坐标表示课时规范训练理北师大版A级基础演练1.(2014高考福建卷在下列向量组中，可以把向量a=(3,2)表示出来的是()Ae1=(0,0)，e2=(1,2)Be1=(1,2)，e2=(5，2)Ce1=(3,5)，e2=(6,10)De1=(2，3)，e2=(2,3)解析：由题意知，A选项中e1=0，C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a=(3,2)=2e1+e2)答案：B2e1，e2是平面内一组基底，那么()A若实数入1,入使入1e1+入2e2=,则入1=入2=B空间内任一向量a可以表示为a=入1e1+入

2、2e2(入1,为2实数)C.对实数入1,入2,入1e1+入不一定在该平面内D.对平面内任一向量a，使a=入1e1+入2有无数对解析：对于A,ve1?e2不共线，故入1=入20=正确；对于B，空间向量a应改为与el,e2共面的向量才可以；C中，入1e1+入2e一定与el,e2共面；D中，根据平面向量基本定理，入1,入应是惟对.答案：A3.（2016郑州质检已知ABC中，平面内一点P满足=+,若|=t|，则t的值为（）B.A3TOC o 1-5 h zC2D.解析：由题意可知=()=，同理可得=,.|=2|,即t=2.答案：C4(2015高考江苏卷)已知向量a=(2,1),b=(1,2),若ma+

3、nb=(9,8)(m,nR)，贝Umn的值为.解析：vms+nb=(2m+n,m2n)=(9,8),-m-n=25=3.答案：3(2016荆州模拟已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三点共线，则k=.解析：=(4-k,-7),=(-2k,-2),：AB,C三点共线，-2(4-k)-14k=0，解得k=-.答案：-(2016江西南昌模拟)已知向量a=(1,1)，b=(1，-1)，c=(cosa,sina)(aR)，实数n满足ma+nb=c,则(m3)2n2的最大值为.解析：由ma+nb=c，可得故(m+n)2+(mn)2=2，即m2+n2=1，故点M(m,n)在单

4、位圆上，则点P(3,0)到点M的距离的最大值为|OP|+1=3+1=4，故(m3)2+n2的最大值为42=16.答案：16已知A(1,1)、B(3，-1)、C(a，b).若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；若=2，求点C的坐标.解：(1)由已知得=(2，-2)，=(a-1，B-*4/5)，A、B、C三点共线，/，2(B-*4/5)2(a-1)=0，即ab=2.(2)=2，(a-1，B-*4/5)=2(2，-2)，解得点C的坐标为(5,-3).&已知点O为坐标原点，A(0,2),B(4,6),=t1+12.求点M在第二或第三象限的充要条件；求证：当t1=1时，不论t2为何实数，A，B，M三点

5、共线解：(1)=t1+t2=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2)当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t20且t1+2t2半0.(2)证明：当t1=1时，由(1)知=(4t2,4t2+2)，=(4,4),=-=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2，A，B，M三点共线B级能力突破1.(2015高考湖南卷已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动，且AB丄BC.若点P的坐标为(2,0)，则|+|的最大值为()A6B7C.8D.9解析：法一：AC为RtABC的斜边，贝UAC为圆x2+y2=1的一条直径，故AC必经过原点，如图，则+=2,|+|=|2+|=21+II，当

6、P,O,B三点共线时取等号，即当B落在点(1,0)处时|+|取得最大值，此时，=(2,0),=(3,0),2|+|=2X2+3=7,故|+|的最大值为7.法二：同解法一，得|+|=|2+|.又=_,丨+十=|2+|=|3|=w=7,当且仅当/PO=180时取“等号”,故+|的最大值为7.法三：同法一，得|+|=|2+|.设B(COSa,Sina)，则2+|=|2(2,0)+(cosa2,sina)|=|(6+cosa,sina)|=7(当cosa=1，即B落在点(一1,0)处时取等号).故|+|的最大值为7.答案：B(2016保定模拟在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,设向量p=

7、(a+c,b),q=(b-a,ca)，若pIIq,则角C的大小为()A30B60C90D120解析：由p/q得(a+c)(ca)=b(ba)，整理得b2+a2c2=ab,由余弦定理得cosC=,.C=60.答案：B(2016河北邯郸一模已知向量a=(2,3),b=(1,2)，若TOC o 1-5 h z(ma+nb)/(a2b)，则等于()A2B2CD.解析：由题意得manb=(2mn,3m2n),a2b=(4,1),v(ma+nb)/(a2b),二(2mn)4(3m+2n)=0，二=，故选C.答案：C4已知两点A(1,0)，B(1,1)，O为坐标原点，点C在第二象限，且/AOC=135,设=

8、+入(入R)*的值为设点入)，得消BQ的b表示)(用a,+得，2=a+b解析：由/AOC-135知，点C在射线y=x(x0)上，C的坐标为(a,a),a0，则有(a,a)=(1+入，去a得入=答案:5如图，在ABC中,设=a,=b,AP的中点为Q,=()二将代入得，2=a+b(a),解得=a+b.答案：a+b.(2014高考湖南卷在平面直角坐标系中，O为原点，A(-1,0),B(0,),C(3,0)，动点D满足|=1，则|+|的最大值是解析：设D(x,y)，由=(x-3,y)及|=1知(x-3)2+y2=1,即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆.又+=(-1,0)+(0,)+(x,y)=(x-

9、1,y+).a|+=.问题转化为圆(x-3)2+y2=1上的点与点P(1，-)间距离的最大值.圆心C(3,0)与点P(1,-)之间的距离为=,故的最大值为+1.答案：+1已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2yx)的对应关系用v=f(u)表示.设a=(1,1),b=(1,0)，求向量f(a)与f(b)的坐标；求使f(c)=(p，q)(p、q为常数)的向量c的坐标；证明：对任意的向量a、b及常数m、n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.解：(1)va(=,1),-f(a)=(1,2X1)(1,1).又vb=(1,0),f(b)=(0,2X10=(0,-1).设c=(x,y)，则

10、f(c)=(y,2y-x)=(p,q),c=2p-q,p)(3)证明：设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，则manb=(ma1nb1，ma2nb2)，f(manb)=(ma2nb2,2ma22nb2-ma1-nb1)tmf(a)m(a2,2a2a1),nf(b)=n(b2,2b2b1),mf(a)-ffrf(b)=(ma2nb2,2ma22nb2-ma1-nb1)，f(maHnb)=mf(a)+nf(b)成立.第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.2平面向量基本定理及其坐标表示课时规范训练理北师大版A级基础演练(2014高考福建卷在下列向量组中，可以把向量a=(3,2)表示出来的是(

11、)e1=(0,0)，e2=(1,2)e1=(1,2)，e2=(5，2)e1=(3,5)，e2=(6,10)D.el=(2,-3),e2=(-2,3)解析：由题意知，A选项中el=0,C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a=(3,2)=2e1+e2).答案：B2e1，e2是平面内一组基底，那么()若实数入1，入使入1e1+入2e2&,则入1=入24空间内任一向量a可以表示为a=入1e1+入2e2(入1,为实数)对实数入1，入2,入1e1+入不一定在该平面内D.对平面内任一向量a，使a=X1e1+入2e的实数入1，入使无数对解析：对于A，Te1，e2不共线，故入1=入24正

12、确；对于B，空间向量a应改为与e1，e2共面的向量才可以；C中，入1e1+入2e一定与e1，e2共面；D中，根据平面向量基本定理，入1,入应是惟一一对.答案：A(2016郑州质检已知ABC中，平面内一点P满足=+，若|=t|,则t的值为()A.3B.C.2D.解析：由题意可知444(一)=,同理可得4，二|24,即t=2.答案：C(2015高考江苏卷已知向量a4(2,1),b=(1,2)，若ma+nb=(9,8)(m,nR)，则mn的值为.解析：ma+nb4(2m+n,m2n)=(9,8),-m-n425=3.答案：3(2016荆州模拟已知向量4(k,12),4(4,5),4(k,10)，且A

13、,B,C三点共线，则k=解析：4(4k,7),4(2k,2)A,B,C三点共线，2(4k)14k40，解得k=答案：(2016江西南昌模拟已知向量a4(1,1),b4(1,1),C4(cosa,sina)(aR)，实数m,n满足ma+nb=c,则(m3)2+n2的最大值为.解析：由ma+nb=c,可得故(m+n)2+(mn)2=2，即m2+n2=1，故点M(m,n)在单位圆上，则点P(3,0)到点M的距离的最大值为|0P|+1=3+1=4，故(m3)2+n2的最大值为42=16.答案：167已知A(1,1)、B(3，1)、C(a，b)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；若二2，求点C的坐标

14、.解：(1)由已知得二(2,2)，二(a1,B*4/5),A、B、C三点共线，二/,2(B4/5)+2(a1)=0,即卩a+b=2.,(a,B*4/5)=2(2,2),解得点C的坐标为(5，3).8已知点O为坐标原点，A(0,2),B(4,6)，二t1+12.求点M在第二或第三象限的充要条件；求证：当t1=1时，不论t2为何实数，A,B,M三点共线.解：(1)=t1+t2=t1(0,2)+12(4,4)=(4t2,2t1+4t2).当点M在第二或第三象限时有故所求的充要条件为t20且t1+2t2工0.证明：当t1=1时,由(1)知二(4t2,4t2+2),=(4,4),(4t2,4t2)=t2

15、(4,4)=t2ABM三点共线.B级能力突破由余弦定理得cosC，二C60TOC o 1-5 h z1.(2015高考湖南卷已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动，且AB丄BC.若点P的坐标为(2,0)，则|+|的最大值为()A.6B.7C.8D.9解析：法一：AC为RtABC的斜边，则AC为圆x2+y2=1的一条直径，故AC必经过原点，如图，贝U+=2，|+匸|2+|21+II，当P，O，B三点共线时取等号，即当B落在点(-1,0)处时|+|取得最大值，此时，二(-2,0)，二(-3,0)，2|+|=2X2+3=7,故|+|的最大值为7.又=_，丨+|2+|=|3|=7，当且仅当/POB=

16、180时取“等号”，|故+|的最大值为7.法三：同法一，得|+|2+|.设B(cosa，sina)，贝2+|12(2,0)+(cosa2，sina)|6+cosa，sina)|7(当cosa-1，即B落在点(一1,0)处时取等号).故|+|的最大值为7.答案：B(2016保定模拟在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,设向量p(a+c，b)，q(ba，ca)，若p/q，则角C的大小为()A.30B.60C.90D.120解析：由p/q得(a+c)(ca)b(ba)，整理得b2+a2c2ab，答案：B(2016河北邯郸一模已知向量a=(2,3),b=(-1,2)，若(ma+nb)/(a2b)，则等于()A.-2B.2C.D.解析：由题意得ma+nb=(2mn,3m+2n),a2b=(4,1),v(ma+nb)/(a2),二一(2mn)4(3m+2n)=0,二=,故选C.答案：C已知两点A(1,0),B(1,1),O为坐标原点，点C在第二象限，且/AOG135,设二一+入(入R),的值为.解析：