上海数学1-18章知识点总结

1、一、集合1、有限集的个数对集合A=1，2，3n,A中有n个元素那么：（1）A集合子集的个数是2n （2）A集合非空子集的个数是2n-1（少了）（3）A集合真子集的个数是2n-1（少了A自身）（4）A集合非空真子集的个数是2n-2（少了和A自身）2、规定空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。给出下列条件：集合A中任何一个元素都是集合B中的元素；集合B至少存在一个元素不在集合A中；集合B中任何一个元素都是集合A中的元素3、如果集合A、B满足，则A是B的子集；如果集合A、B满足、，则A是B的真子集；如果集合A、B满足、，则A与B是相等的集合；注意：条件为AB，在讨论的时

2、候不要遗忘A的情况；考察集合的关系借助韦恩图。 4、集合的含义：( l )表示函数的定义域； ( 2 ) 表示函数的值域；( 3 )表示方程的解的集合，或表示曲线上的点的集合； ( 4 )表示方程解的集合且 x A ;二、不等式1.1、基本不等式：（1）、重要不等式：如果（2）、定理：如果a,b是正数，那么（3）、已知都是正数，求证：如果积是定值P,那么当时，和有最小值如果和是定值S,那么当时，积有最大值（4）、公式的等价变形：ab，ab（）2（5）、 2（ab0），当且仅当ab时取“”号；（6）、定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）（7）、推论：如果，那么 （当且仅当时取“=”）1.2、基

3、本不等式的应用注意三个条件：一正二定三相等（1）、若：，如果积P是定值,那么当且仅当时，和有最小值如果和S是定值,那么当且仅当时，积有最大值（2）、若：，如果积P是定值,那么当且仅当时，和有最小值如果和S是定值,那么当且仅当时，积有最大值2、分式不等式的解法(1)解分式不等式要注意它的等价变形：； 0；0；0 (2)有些分式不等式可转化为高次不等式运用“数轴标根法”求解，但须注意分母不为零3、无理不等式的解法4、绝对值不等式的解法：基本思想：含绝对值不等式不含绝对值不等式（1）、不等式|x|a(a0)的解集|x|0)的解集为:x|-axa(a0)的解集为:x|xa或x10a0,1）的b次幂等于

4、N，及b=N，那么数b叫做以为底N的对数，记做logaN=b其中叫做对数的底数，N叫做真数。2指数式与对数式的互化 根据对数的定义知：（1）零和负数没有对数，真数为正数，即N0；（2）1的对数为0， 即 loga1=0；（3）底的对数等于1， 即logaa=1；（4）对数恒等式： 在对数中必须强调底数 0,1通常以10为底的对数叫常用对数，N的常用对数log10N简记为lgN通常以e=2.71828为底的对数叫自然对数，N的自然对数logeN简记为lnN二、对数的运算7一般地，对数有下列运算性质：如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：证明：设M=p, N=q由对数的定义可以得：M=，N=

5、MN= = MN=p+q，即证得MN=M + N设M=p，N=q由对数的定义可以得M=，N= 即证得设M=P 由对数定义可以得M=, =np， 即证得=nM一般有下面对数换底公式：（其中）证明：设 N = x , 则 = N 两边取以m 为底的对数： 从而得： 两个常用的推论:， （ a, b 0且均不为1）三、反函数的概念8一般地，对于函数，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值，在D中总有唯一确定的值与它对应，且满足，这样得到关于的函数叫的反函数。记但习惯上表示自变量，表示函数所有改写成（A）9、求反函数的步骤（1）根据的值域写出的定义域（2）由解出 （3）交换，得 10、互为反

6、函数图像之间的关系 （1）一般地，函数的图像与它的反函数关于直线=对称。（2）一般地，如果两个函数图像关于直线=对称，那么两个函数一定互为反函数。11、反函数存在的条件 若函数是从定义域到值域的一一对应，即是定义域上的单调函数，则存在反函数12、反函数与原函数的关系 （1）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。（2）若原函数是奇函数，则反函数一定是奇函数，但奇函数未必有反函数;偶函数一般不存在反函数13、反函数存在的条件若函数是从定义域到值域上的一对应，即是定义域上的单调函数，则存在反函数14、反函数的一些结论：（1）一般地，函数的图像与它的反函数关于直线=对称。（2）互

7、为反函数的两个函数具有相同的单调性（3）定义域上的单调函数必有反函数（4）奇函数的反函数是奇函数（5）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数（6）周期函数在整个定义域内不存在反函数（7）分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成四、对数函数15、定义：函数叫做对数函数。其是自变量，定义域是16、对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质a10a c，b + c a，c + a b，ab c，bc b（3）边与角关系：大边对大角3正弦定理 （R为外接圆半径）a = 2R sinA，4余弦定理 c2 = a2+b22bccosC，b2 = a2+c22accosB，a2 =

8、b2+c22bccosA、5面积公式：面积公式； ；9解斜三角形的常规思维方法是：（用正弦还是余弦定理）（1）已知两角和一边（如A、B、c），由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b（2）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况（3）已知两边和夹角（如a、b、C），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = ，求另一角（4）已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C10在三角形中的一些结论：（1）三角学中的射影定理：在ABC 中，（2）

9、在ABC 中，（3）在ABC 中：引入辅助角。asin+bcos=sin(+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定(a0,或变a0)六、三角函数1、一、正弦函数和余弦函数的图像及性质 ，R叫正弦函数；正弦函数的性质：1、定义域： 2、值域： 3、奇偶性：奇函数4、最大值是1， 5、最小值是-1，6、单调性：单调增区间 单调减区间7、周期性 8、对称中心 9、对称轴叫余弦函数余弦函数的性质：1、定义域： 2、值域：3、最大值是1， 4、最小值是-1，5、奇偶性：偶函数6、单调性：单调增区间 单调减区间7、周期性 8、对称中心 9、对称轴6.2正切函数与余切函数，叫正切函数

10、正切函数的性质： 1定义域：， 2值域：R 3周期性： 4奇偶性：奇函数5单调性：在开区间内，函数单调递增余切函数y=cotx的图象及其性质即将的图象，向左平移个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得的图象1、定义域 2、值域：R，当时，当时3、周期： 4、奇偶性：奇函数5、单调性：在区间上函数单调递减周期函数定义：对于函数，如果存在一个常数T（T0）使得当取定义域D内的任意值时，都有成立，那么叫周期函数。T的最小正值叫最小正周期。6.3 yAsin(x)图像及性质一般地，函数yAsin(x)，xR及函数yAcos(x)，xR(其中A、为常数，且A0，0)的周期T1y=Asinx，xR(A0且A

11、1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍得到的2它的值域-A, A 最大值是A, 最小值是-A3若A0且1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(1) 到原来的倍，或伸长(01)到原来的倍（纵坐标不变）2若0，d0，前n项和有最大值可由0，且0，求得n的值当0，前n项和有最小值可由0，且0，求得n的值（2）利用：由二次函数配方法求得最值时n的值三、等比数列等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（0），即：（0）理解：1“从第

12、二项起”与“前一项”之比为常数，成等比数列=（,0）2 隐含：任一项“0”是数列成等比数列的必要非充分条件3 = 1时，为常数2、等比数列的通项公式1: 通项公式2: 3、既是等差又是等比数列的数列：非零常数列4、等比中项：如果在与中间插入一个数G，使,G，成等比数列，那么称这个数G为与的等比中项. 即G=（, 同号）5、等比数列的性质：若m+n=p+k，则6、判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法7、等比数列的增减性：当q1, 0或0q1, 1, 0,或0q0时, 是递减数列;当q=1时, 是常数列;当q0) 如an= 研究函数的增减性 如数学归纳法一般的证明一个与正整数有关的一个命

13、题，可按以下步骤进行：证明当取第一个值是命题成立；假设当命题成立，证明当时命题也成立。那么由就可以判定命题对从开始所有的正整数都成立。这种证明方法叫数学归纳法。注：数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。八、向量1、两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角说明：（1）当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直，记；（4）注意在向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围01802平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|cos叫与的数量积，记作，即有 = |cos，

14、（）并规定与任何向量的数量积为0。探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分。符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替。（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若，且=0，不能推出=。因为其中cos有可能为0。（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c。但是 = = 如右图： = |cos = |OA|，= |cos = |OA| = 但 (5)在实数中，有(aa)

15、c = a(ac)，但是() () 显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线3“投影”的概念：作图定义：|cos叫做向量在方向上的投影。投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |；当 = 180时投影为 |。4向量数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影|os的乘积。5两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，是与同向的单位向量。1 = =|cos 2 = 0，3 当与同向时， = |；当与反向时， = |特别的 = |2或 4 os = 5| |平面向量数量积的运算律：1交换律：

16、= 2数乘结合律：() =() = () 3分配律：( + ) = c + 说明：（1）一般地，()（）（2），（3）有如下常用性质：，（）（）()平面两向量数量积的坐标表示：已知两个非零向量，试用和的坐标表示，所以1、 在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基本单位向量。任作一个向量，由平面向量基本定理知有且只有一对实数、，使得 eq oac(,1)我们把叫做向量的（直角）坐标，记作 eq oac(,2)其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， eq oac(,2)式叫做向量的坐标表示与相等的向量的坐标也为特别地，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确

17、定设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标。因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示2、平面向量的坐标运算：（1） 若，则：， ，和实数，则两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差两个向量的积是坐标对应乘积之和实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标若，则后一点坐标减去前一点坐标（4） ()的充要条件是即点P是线段之中点，其坐标为（）2.平面内两点间的距离公式：（1）设，则或（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)3.向量垂直的判定设，则4.两向量夹角的余弦（） cos =

18、8.3：共面向量分解定理：平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使=1+2(1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一 1，2是被，唯一确定的数量2.直线方程（1）点的方向式（2）点的法向式（3）点斜式方程- ，且斜率为 4)斜截式方程P（0,b），斜率为k，直线的方程： (5)两点式方程当，时，经过B（ (6)截距式方程A(a,0) B(0,b)（a,b均不为0） (7)一般式方程(其中是常数

19、，不全为0) 1点到直线距离公式：点到直线的距离为：2.已知两条平行线直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为3两条直线的位置关系：直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注 有斜率已知l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，则l1 l2的充要条件是A1A2+B1B2=0。5圆的方程：标准方程： ； 。一般方程： （注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C0且B=0且D2+E24AF0；6圆的方程的求法：待定系数法；几何法。 7点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）点在圆上；点在圆内；点在圆外。直线与圆的

20、位置关系：（表示圆心到直线的距离）相切；相交；相离。圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）相离；外切；相交；内切；内含。8、直线与圆相交所得弦长9.过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0 x+y0y=r2;10.以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0;名 称椭 圆双 曲 线图 象定 义 平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆即 当22时，轨迹是椭圆， 当2=2时，轨迹是一条线段 当22时，轨迹不存在平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即当22时，轨迹是

21、双曲线当2=2时，轨迹是两条射线当22时，轨迹不存在标准方 程 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在轴上时： 焦点在轴上时：注：是根据系数的正负来判断焦点在哪一坐标轴上常数的关 系 ， 最大，最大，可以渐近线焦点在轴上时： 焦点在轴上时：抛物线：图形方程焦点准线二、章节知识点回顾：椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质1椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2椭圆的标准方程：， （）3椭圆的性质：由椭圆方程() (1)

22、范围: ,，椭圆落在组成的矩形中(2)对称性:图象关于轴对称图象关于轴对称图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心，简称中心轴、轴叫椭圆的对称轴从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点： ，加两焦点共有六个特殊点 叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴长分别为 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点4双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线 即 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线） 两定点间距

23、离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线） 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关5双曲线的标准方程及特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种： 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)； 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)(2)有关系式成立，且其中a与b的大小关系:可以为6焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上7双曲线的几何性质：（1）范围、对称性 由

24、标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 （2）顶点顶点：，特殊点：实轴：长为2a, a叫做半实轴长 虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异（3）渐近线过双曲线的渐近线（） 8等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；9共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双

25、曲线方程就一定是：或写成 10共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-111双曲线的通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 12 抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线 13抛物线的准线方程： (1), 焦点:，准线：(2), 焦点:，准线：(3), 焦点:，准线：(4) , 焦点:，准线：相同点：(1)抛物线都过原点

26、；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即。 不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为，左端为。 （2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号。14抛物线的几何性质（1）范围因为p0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说

27、明抛物线向右上方和右下方无限延伸。（2）对称性以y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点。15直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）将代入，消去y，得到关于x的二次方程 （*）若，相交；，相切；，相离综上，得：联立，得关于x的方程当（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当，则若，两个公共点（交点），一个公共点（切点），无公共点 （相离）（2）相交弦长：弦长公式：，（3）通径：定义：过焦点

28、且垂直于对称轴的相交弦 通径：（4）若已知过焦点的直线倾斜角则（5）常用结论：和和1.虚数单位:(1)它的平方等于-1，即; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. 与1的关系: 就是1的一个平方根，即方程x2=1的一个根，方程x2=1的另一个根是3. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=14.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系

29、：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、bR)是实数a；当b0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+dia=c，b=d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、bR)可用点Z(a，b)表示

30、，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.10. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.11. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)12乘法运算

31、规则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.13.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3; (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.14.除法运算规则： (a+bi)(c+di)= i.15*.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共

32、轭虚数16. 复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量、，那么，以OP1、OP2为两边作平行四边形OP1SP2，对角线OS表示的向量就是z1+z2的和所对应的向量 17复数减法的几何意义两个复数的差zz1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应18复数的模：一、判定两线平行的方法平行于同一直线的两条直线互相平行垂直于同一平面的两条直线互相平行如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明判定线面平行的方法据定义：如果一条直线和一个平面没有

33、公共点如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法由定义知：“两平行平面没有公共点”。 由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”。 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 夹在两个平行平面间的平行线段相等。 经过平面外一点只有一个平

34、面和已知平面平行。四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂

35、直于另一个平面六、判定两线垂直的方法定义：成角直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法定义：两面成直二面角,则两面垂直一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质二面角的平面角为在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是： 2、

36、直线与平面所成的角的取值范围是： 3、斜线与平面所成的角的取值范围是： 4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是： 十空间角的计算：总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力1.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易

37、发现两条异面直线间的关系；2.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；3.而求二面角alb的平面角（记作q）通常有以下几种方法：(1) 根据定义；(2) 垂面法： 过棱l上任一点O作棱l的垂面g，设gaOA，gbOB，则AOBq(图1)；(3) 三垂线法：利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面a内一点A，分别作另一个平面b的垂线AB(垂足为B),或棱l的垂线AC(垂足为C)，连结AC，则ACBq 或ACBpq(图2)；(4) 设A为平面a外

38、任一点，ABa，垂足为B，ACb，垂足为C，则BACq或BACpq(图3)；(5) 射影法： 利用面积射影定理，设平面a内的平面图形F的面积为S，F在平面b内的射影图形的面积为S，则cosq. 图 1 图 2 图 31三种空间角的向量法计算公式：异面直线所成的角：；直线与平面(法向量)所成的角：；锐二面角：，其中为两个面的法向量。2.用向量法求距离的公式：异面直线之间的距离：，其中。直线与平面之间的距离：，其中。是平面的法向量。两平行平面之间的距离：，其中。是平面的法向量。点A到平面的距离：，其中，是平面的法向量。点A到直线的距离： ，其中，是直线的方向向量。两平行直线之间的距离：，其中，是的

39、方向向量。1 多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线2凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体如图的多面体则不是凸多面体3凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等4棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱

40、柱的高（公垂线段长也简称高）5棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱 底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱6棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形；（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形7 平行六面体、长方体、正方体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体8平

41、行六面体、长方体的性质(1)平行六面体的对角线交于一点，求证：对角线相交于一点，且在点处互相平分(2)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和9 棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）10棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示如图棱锥可表示为，或11棱锥的分类：（按底面多边形的边数）分别称底面是三角形，四边形，五边形的棱锥为三棱锥，四棱锥，

42、五棱锥（如图）12棱锥的性质：定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面13正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形14.棱柱的侧面积是指所有侧面面积之和:(为底面周长,是高,即直棱柱的侧棱长)15.柱体的体积: 锥体的体积1 球的概念： 与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球定点叫球心，定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做球面一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球2球的截面：用一平面去截一个球，设是平面的垂线段，为垂足，且，则它们