2019高中数学 第二章2.2 平面向量的线性运算 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学案4

1、2.2.3向量数乘运算及其几何意义(学习目标：1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义重点)2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算重点)3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题难点)4.理解实数相乘与向量数乘的区别(易混点)自主预习探新知1向量的数乘运算定义记法长度方向00实数与向量a的乘积是一个向量a|a|a|方向与a的方向相同方向与a的方向相反(2)从几何角度考虑，向量2a和a与向量a分别有什么关系？(2)2a与a方向相同，2a的长度是a的长度的2倍，a与a方向相反，a的长度是a的长度的.思考：(1)何时有a0?12提示(1)

2、若0或a0则a0.1122122向量的数乘运算的运算律设，为任意实数(a)()a；()aaa；(ab)ab.3共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使得ba.4向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有(1a2b)1a2b.基础自测1思考辨析(1)对于任意的向量a，总有0a0.()(2)当0时，|a|a.()1(3)若a0，0，则a与a的方向相反()解析(1)错误.0a0；(2)错误|a|a|(0)(3)错误当0时，0，a与a的方向相同答案(1)(2)(3)2点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是()C.

3、ACBCA.AB3BC12B.AC2BCD.AC2CBD由题意可知：AB3BC；AC2BC2CB.故只有D正确3如图2227，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，ABADAO，则_.13(6ab)9ab；图22272由向量加法的平行四边形法则知ABADAC.又O是AC的中点，AC2AO，AC2AO，ABAD2AO，2.合作探究攻重难向量的线性运算(1)若3(xa)2(x2a)4(xab)0，则x_.(2)化简下列各式：312113a2bab2ab；2281333原式2abababab0.2(5a4bc)3(a3bc)7a.(1)4b3a(1)由已知得3x3a2x4a4x4a4b0

4、，所以x3a4b0，所以x4b3a.(2)原式18a3b9a3b9a.22444原式10a8b2c3a9b3c7abc.23a3bb4a7b；1(1)化简21374a3bbab23174a3b2511511abab.规律方法向量数乘运算的方法向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.跟踪训练2113(2)已知向量为a，b，未知

5、向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x2ya，4x3yb，求向量x，y.解(1)原式3324233432123183x2ya，(2)4x3yb，由32得，x3a2b，代入得3(3a2b)2ya，所以x3a2b，y4a3b.用已知向量表示未知向量(1)如图2228，ABCD中，E是BC的中点，若ABa，ADb，则DE()AabBabCabDab1212图22281212(2)如图2229所示，D，E分别是ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知BCa，BDb，试用a，b分别表示DE，CE，MN.3ABADab.(2)由三角形中位线定理，知DE綊BC，故DEBC，即D

6、Ea.CECBBDDEabaab.MNMDDBBNEDDBBCabaab.又因为DFODBDBD，ABBF3所以AGADDGADABab.1(1)D(1)DEDCCEABAD图2229思路探究先用向量加减法的几何意义设计好总体思路，然后利用平面图形的特征和数乘向量的几何意义表示2112211122211221111122424母题探究：1.本例(1)中，设AC与BD相交于点O，F是线段OD的中点，AF的延长线交DC于点G，试用a，b表示AG.解因为DGAB，所以DFGBFA，11112224DGDF1所以，11332本例(1)中，若点F为边AB的中点，设aDE，bDF，用a，b表示DB.2aA

7、B1AD，解由题意2b1ABAD，33AB4a2b，解得24AD3a3b，4所以DBABADab.2233规律方法用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法63，(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程提醒：用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系.向量共线问题探究问题1已知m，n是不共线向量，a3m4n，b6m8n，判断a与b是否共线？提示：要判断两向量是否共线，只需看是否能找到一个实数，使得ab即可若a与b共线，则存在R，使ab，即3m4n(6m8n)m，n不共线，84.不存在同时满

8、足此方程组，a与b不共线2设两非零向量e1和e2不共线，是否存在实数k，使ke1e2和e1ke2共线？提示：设ke1e2与e1ke2共线，存在使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2.e1与e2不共线，只能有k0，k10，则k1.(1)已知非零向量e1，e2不共线，如果ABe12e2，BC5e16e2，CD7e12e2，则共线的三个点是_(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若OPxOAyOB，求xy的值思路探究(1)将三点共线问题转化为向量共线问题，例如ABBD可推出A，B，D三点共线(2)先用共线向量定理引入参数得APAB，再用向量减法的几何意义向OPxOA5yOB

9、变形，最后对比求xy.BD(1)A，(1)ABe12e2，BDBCCD5e16e27e12e22(e12e2)2AB.AB，BD共线，且有公共点B，A，B，D三点共线(2)由于A，B，P三点共线，则AB，AP在同一直线上，由共线向量定理可知，必存在实数使得APAB，即OPOA(OBOA)，OP(1)OAOB.x1，y，则xy1.规律方法1.证明或判断三点共线的方法(1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得ABAC(或BCAB等)即可(2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点存在实数x，y，使OAxOByOC且xy1.2利用向量共线求参数的方法判断、证明向量

10、共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数，使得ab(b0)而已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得的值当堂达标固双基1设a，b是两个不共线的向量若向量ka2b与8akb的方向相反，则k()A4C4B8D82k，(2018全国卷)在eqoac(,2)ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB()A因为向量ka2b与8akb的方向相反，所以ka2b(8akb)k8k4(因为方向相反，所以0k0)31A.ABAC13B.ABAC31C.ABAC13D.ABAC4444444431A由题可得EBEAAB(ABAC)ABABAC.4443对于向量a，b有下列表示：655如图2230所示，已知APAB，用OA，OB表示OP.a2e，b2e；ae1e2，b2e12e2；21a4e15