最新人教版九年级上册数学第二十二章集体备课教学课件PPT

1、22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数R九年级上册 新课导入导入课题问题：如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落到池中央，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？ 上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系？ （1）会列二次函数表示实际问题中两个变量的数量关系.（2）能判断所给函数是否是二次函数，能说出二次函数的项和各项系数.学习目标 正方体的表面积y与棱长x的关系式为 ，y是x的函数吗？推进新课知识点1二次函数的概念y=6x2是 显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数

2、，它们的函数关系式为y=6x2. 我们再来看几个问题。问题1 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？ 分析：每个队要与其他 个球队各比赛一场，而甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛.(n-1) m是n的函数吗？即所以比赛的场次数为 表示比赛的场次数m与球队数n的关系，对于n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数. 某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的年产量y将随计划所定的x值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？问题2 产品原产量是20t，一年后的产量是原产量的 倍；两

3、年后的产量是一年后的产量的 倍.于是两年后的产量y与增加的倍数x的关系式为 .(1+x)(1+x)y=20(1+x)2y是x的函数吗？y=20(1+x)2y=20 x2+40 x+20 表示两年后的产量y与计划增产的倍数x的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数.y=20 x2+40 x+20 思考 函数y=6x2 , , y=20 x2+40 x+20 , 有什么共同点? 上述三个函数都是用自变量的二次式表示的.一般地， 形如y=ax+bx+c（a，b，c为常数，a0） 的函数，叫做二次函数。其中x是自变量，a，b，c分 别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.二次

4、项一次项常数项 y=6x2 , ,y=20 x2+40 x+20 . 分别指出下列二次函数解析式的自变量、各项及各项系数。 出题角度一 二次函数的识别下列函数中是二次函数的有 。 二次函数：y=ax+bx+c （a，b，c为常数，a0）a=0最高次数是4=x2 运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤：（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数（因变量）的形式；（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；（3）判断自变量的最高次数是否是2；（4）判断二次项系数是否不等于0. 出题角度二 应用二次函数的概念求相关字母的取值(或范围)解：根据二次函数的定义可得解得m=3或m=-1.当

5、m=3时，y=6x2+9;当m=-1时，y=2x2-4x+1.综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2-4x+1. 练习解：依题意，得解得a=-1. 出题角度三 求二次函数的函数值 知识点2根据具体问题确定二次函数解析式根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤：仔细审题，分析数量之间的关系，将文字语言转化为符号语言；根据实际问题中的等量关系，列二次函数关系式，并化成一般形式；联系实际，确定自变量的取值范围. 已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数关系式；王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款

6、年利率为x，两年后王先生共得本息和y万元,写出y与x之间的函数关系式；一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.y=x2y=2(1+x)2S=4r2做一做:(x0)(x0)(r0)说一说以上二次函数解析式的各项系数。 随堂演练1. 下列函数是二次函数的是（ ） A.y=2x+1 B.y=-2x+1 C.y=x2+2 D.y= x-22. 二次函数y=3x2-2x-4的二次项系数与常数项的和是（ ） A.1 B.-1 C.7 D.-63.已知函数y=(a-1)x2+3x-1，若y是x的二次函数，则a的取值范围是 .C基础巩固Ba1 4.某种商品的价格是2元，准备进行两次降价

7、，如果每次降价的百分率都是x，则经过两次降价后的价格y（单位：元）与每次降价的百分率x的函数关系式是 .5. 正方形的边长为10cm，在中间挖去一个边长为xcm的正方形，若剩余部分的面积为ycm2，则y与x的函数关系式是y=100-x2，x的取值范围为 .6. 一辆汽车的行驶距离s（单位：m）与行驶时间t（单位：s）的函数关系式为s=9t+0.5t2，则经过12s汽车行驶了 m，行驶380m 需 s.y=2(1-x)20 x10180 20 综合应用7.如图，在ABC中，B=90，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每

8、秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，写出PBQ的面积S与出发时间t（s）的函数关系式及t的取值范围.解：依题意，得AP=2t, BQ=4t.AB=12, PB=12-2t, t的取值范围为0t6. 拓展延伸解：由题意可得 解得m=1. 课堂小结 问题导入，列关系式 探索二次关系式共同点总结二次函数概念二次函数y=ax+bx+c（a，b，c为常数，a0）二次函数的判别:含未知数的代数式为整式；未知数最高次数为2；二次项系数不为0.确定二次函数解析式及自变量的取值范围 课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。 22.1 二次函数的图象和性质22.

9、1.2 二次函数y=ax2的图象和性质R九年级上册 新课导入导入课题问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？ 那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们来学习最简单的二次函数y=ax2的图象.列表；描点；连线一条直线 （1）用描点法画二次函数y=ax2的图象，知道抛物线y=ax2是轴对称图形，知道抛物线y=ax2的开口方向与a的符号有关.（2）能根据图象说出抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点.学习目标 先画二次函数y = x2的图象推进新课知识点1二次函数y = ax2的图象的画

10、法x-3-2-10123y = x294101491.列表 在y = x2中，自变量x可以是任意实数，列表表示出几组对应值： 2.描点 根据表中x，y的数值在坐标平面中描出对应的点.3.连线 用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2的图象.369yO-33x 369yO-33x 观察：二次函数y = x2的图象像什么？ 事实上，二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c.抛物线y = x2知识点2二次函数y = ax2的图象和性质 369yO-33x函数y = x2的图象开

11、口_.向上抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.顶点坐标是_.顶点是图象的最_点.（0，0）低 在抛物线y = x2上任取一点（m，m2），因为它关于y轴的对称点（-m，m2）也在抛物线y = x2上，所以抛物线y = x2关于y轴对称。 特征 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点 369yO-33x当x0 (在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大. 单调性 268y4O-22x4-4解：分别列表，再画出它们的图象，如图.x-4-3-2-10123484.520.500.524.58x-2

12、-1.5-1-0.500.511.52y = 2x284.520.500.524.58y=2x2例1 在同一直角坐标系中，画出函数 ，y =2x2的图象. a值越大，抛物线的开口越小增减性相同：当x0时，y随x增大而增大.思考268y4O-22x4-4y=2x2顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点；开口都向上；对称轴都是y轴； 函数 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？ 一般地，当a0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.归纳268y4O-22x4-4y=2x2 探究 画出函数y=-x2, , y=

13、-2x2的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点x-3-2-10123y = -x2-9-4-10-1-4-9-20-2y = -2x2-18-8-20-2-8-18y=-2x2y=-x2-3-6-9yO-33x y=-2x2y=-x2-3-6-9yO-33x开口都向下；对称轴都是y轴；a值越小，抛物线的开口越小顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最高点；增减性相同： 当x0时，y随x增大而减小.共同点和不同点 一般地，当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点; 当a0基础巩固 （1）其中开口向上的是_（填序号）；（2）其中开口向下且开口最大的是_（填序号）；（3）有最高点的是_

14、（填序号）.2. 已知下列二次函数y=-x2；y= x2；y=15x2；y =-4x2；y = 4x2.a0a0，|a|越大，开口越小.开口向下a0 3. 分别写出抛物线y=4x2与 的开口方向、对称轴及顶点坐标.解：抛物线y=4x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标（0，0）； 抛物线 的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标（0，0）.yOxyOx yOx4. 在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：x-3-2-10123303x-3-2-10123-30-3 综合应用5. 已知一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2，其中a0，b0，则下面选项中，图象可能正确的是（ ）Cy=ax+b与y轴交点（

15、0，b）b0，y=ax+b单调递增故A错；y=ax2开口向上a0，y=ax+b单调递减故C对.y=ax2开口向下 6. m为何值时，函数 的图象是开口向下的抛物线？解：由题意得 解得m=-1当m=-1时，函数 的图象是开口向下的抛物线.a0）y = ax2（a0）顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方（除顶点外）在x轴的下方（除顶点外）向上向下当x = 0时，最小值为0.当x = 0时，最大值为0.当x0时，y随着x的增大而增大. 当x0时，y随着x的增大而减小. 课堂小结 课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。 22.1.3 二次函数

16、y=a(x-h)2+k的图象和性质第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质R九年级上册 新课导入导入课题问题:说说二次函数y=ax2的图象的特征.268y4y=ax2-8-4-2-6O-22x4-4（2）当a0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的 ; 当a0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的 ;|a|越大，抛物线的开口 .（1）抛物线y=ax2的对称轴是 ，顶点是 .y轴原点向上最低点向下最高点越小那么y=ax2+k 呢？ （1）会用描点法画二次函数y=ax2+k的图象.（2）能说出抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的相互关系.（3）能说出抛物线y=ax2+k的开口方向、对称轴、顶点.学

17、习目标 推进新课知识点1二次函数y = ax2 +k的图象的画法例2 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象。解：先列表：x-2-1.5-1-0.500.511.52y =2x2+195.531.511.535.59y = 2x2 -173.51-0.5-1-0.513.57 x-2-1.5-1-0.500.511.52y = 2x2+195.531.511.535.59y = 2x2 -173.51-0.5-1-0.513.57然后描点画图：268y4O-22x4-4 y = 2x2 -1y = 2x2+1-1 抛物线y = 2x2+1 , y

18、= 2x2 -1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？思考1 268y4O-22x4-4 y = 2x2 -1y = 2x2+1-1开口方向对称轴顶点坐标y = 2x2+1y = 2x2 -1上上y轴y轴（0,1）（0,-1）相同点：不同点：开口方向相同、形状相同，对称轴都是y轴。顶点坐标发生了改变。知识点2二次函数y = ax2 +k的图象和性质 抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 与抛物线y=2x2 有什么关系？思考2268y4O-22x4-4 y = 2x2 -1y = 2x2+1-1 y = 2x2 观察图象可发现： 把抛物线y=2x2 平移 个单位就得到抛物线y=2x2

19、+1;把抛物线y=2x2 平移 个单位就得到抛物线y=2x2-1.向上1向下1 所以，y = 2x2 -1的图象还可以由抛物线y = 2x2+1 平移 个单位得到. 向下 2 抛物线y = ax2+k 与抛物线y=ax2 有什么关系？思考3yOx y = ax2 +k(k0) y = ax2 k k 结论： 抛物线y=ax2+k的图象相当于把抛物线y=ax2的图象 （k0）或 （k0）平移 个单位.向上向下|k| 在同一坐标系中，画出二次函数 ， ， 的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，指明抛物线 通过怎样的平移可得到抛物线 . 练习-4-2y-6O-22x4-4如图所示 二次

20、函数y = ax2 +k的图象和性质:归纳a的符号a0a0k0开口方向对称轴顶点坐标函数的增减性最值当x0时，y随x增大而减小.当x0时，y随x增大而增大.向上向下y轴（直线x=0）y轴（直线x=0）（0，k）（0，k）x=0时，y最小值=kx=0时，y最大值=k 随堂演练1.抛物线y2x23可以由抛物线y2x2向 平移 个单位得到2.抛物线y- x2+1向 平移 个单位后，会得到抛物线y=- x23.抛物线y-2x2-5的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .基础巩固上3下1向下y轴（0，-5） 4.下列各组抛物线中能够互相平移彼此得到对方的是( )A.y2x2与y3x2 B.y x2+2与

21、y 2x2+C.y2x2与yx2+2 D.yx2与yx225.对于二次函数y- x2+2，当x为xl和x2时，对应的函数值分别为y1和y2，若x1x20，则y1与y2的大小关系是( )A.y1y2 B.y10,开口向上a0a0k0开口方向对称轴顶点坐标函数的增减性最值当x0时，y随x增大而减小.当x0时，y随x增大而增大.向上向下y轴（直线x=0）y轴（直线x=0）（0,k）（0,k）x=0时，y最小值=kx=0时，y最大值=k二次函数y = ax2 +k的图象和性质:?y = a(x-h)2 （1）会用描点法画二次函数y=a(x-h)2的图象.（2）能说出抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=

22、ax2的相互关系.（3）能说出抛物线y=a(x-h)2的开口方向、对称轴、顶点.学习目标 推进新课知识点1二次函数y = a(x-h)2 的图象的画法探究解：先分别列表： x-2-101234-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5然后描点画图：x-4-3-2-1012-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5-8-4-2y-6O-22x4-4 思考1-8-4-2y-6O-22x4-4 抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 开口方向对称轴顶点坐标下下x=-1x=1（-1,0）（1,0）相同点：不同点：开口方向相同、形状相同。对称轴、顶点坐标发生了改变。知识点2二次函数y = a(x

23、-h)2 的图象和性质-8-4-2y-6O-22x4-4记作x=-1x=1 所以， 的图象还可以由抛物线 平移 个单位得到. 思考2向左1向右1向右2 -8-4-2y-6O-22x4-4 观察图象可发现： 把抛物线 平移 个单位就得到抛物线 ;把抛物线 平移 个单位就得到抛物线 . 抛物线y = a(x-h)2 与抛物线y=ax2 有什么关系？思考3yOx y = a(x-h)2 (h0)y = a(x-h)2 (h0a0h0开口方向对称轴顶点坐标函数的增减性最值当xh时，y随x增大而减小.当xh时，y随x增大而增大.向上向下直线x=h直线x=h（h,0）x=h时，y最小值=0 x=h时，y最

24、大值=0（h,0） 随堂演练1.抛物线y3(x2)2可以由抛物线y3x2向 平移 个单位得到2.二次函数y=-2(x-1)2的图象开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 .3.要得到抛物线y= (x4)2，可将抛物线y= x2( )A.向上平移4个单位 B.向下平移4个单位C.向右平移4个单位 D.向左平移4个单位基础巩固右2向下（1，0）x=1C 4.对于任意实数h，抛物线y=(x-h)2与抛物线y=x2( ) A.开口方向相同B.对称轴相同 C.顶点相同D.都有最高点5.抛物线y= x2向左平移3个单位所得抛物线是( ) A.y= (x+3)2B.y= (x-3)2 C.y= (x+3)2D

25、.y= (x-3)2AA 6.写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点.（1）y=- (x+2)2； （2）y=3(x-1)2.解：（1）开口向下，对称轴为x=-2，顶点为（-2，0）. （2）开口向上，对称轴为x=1，顶点为（1，0）. 综合应用7.在同一坐标系中，画出函数y2x2与y2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系解：图象如图.函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到.yOxy = 2(x-2)2 y = 2x2 2 拓展延伸8.在直角坐标系中画出函数y (x-3)2的图象(1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)说明该函

26、数图象与二次函数y x2的图象的关系；(3)根据图象说明，何时y随x的增大而减小，何时y随x的增大而增大，何时y有最大(小)值，是多少? 解：（1）开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，0）.（3）当x3时，y随x的增大而增大，当x3时，y随x的增大而减小，当x=3时，y有最小值，为0.-224yO-22x4-4 （2）该函数图象由二次函数y= x2的图象向右平移3个单位得到. 课堂小结 复习y=ax2+k探索y=a(x-h)2的图象及性质图象的画法图象的特征描点法平移法开口方向顶点坐标对称轴平移关系直线x=h（h,0）a0,开口向上a0a0a0图象h0开口方向对称轴顶点坐标函数的增减性最

27、值当xh时，y随x增大而减小.当xh时，y随x增大而增大.向上向下直线x=h直线x=h（h,k）x=h时，y最小值=kx=h时，y最大值=k（h,k） y=a(x-h)2+ky=ax2平移关系？二次函数y=a(x-h)2+k的几种图象：这些图象与抛物线y=ax2有什么关系？ 结论： h0，将抛物线y=ax2向右平移； k0，将抛物线y=ax2向上平移； k0)或向左(h0)或向下(k0)或向左(h0)或向下(k0)或向左(h0)或向下(k0）yOx（a0）二次函数y=ax2+bx+c的图象：增减性？最小值最大值 随堂演练基础巩固B 2.李玲用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列

28、了如下表格，根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c，当x=3时，y= 1 3.确定下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.（1）y=3x2+12x3；（2）y=4x224x+26；（3）y=2x2+8x6； （4）y=12x248x+45.开口向上，对称轴为x=3，顶点为（3，-10）.开口向下，对称轴为x=2，顶点为（2，9）.开口向上，对称轴为x=-2顶点为（-2，-14）.开口向上，对称轴为x=2，顶点为（2，-3）. 4.从地面向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2.小球运动到最高点时，所花时间是多少？

29、最高点的高度是多少？解：小球在顶点时达到最大高度.所花时间是3s，最高点的高度是45m. 综合应用5.已知函数y=-2x2+x-4,当x= 时，y有最大值 .6.已知二次函数y=x2-2x+1，那么它的图象大致为（ ）B 拓展延伸7.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x= ，x=2对应的函数值y= 1-8 课堂小结二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与系数a,b,c及b2-4ac的符号之间的关系: 课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第2课时 用待定系数法求二

30、次函数的解析式R九年级上册 新课导入导入课题问题：如果一个二次函数的图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7)三点，能求出这个二次函数的解析式吗？ 会用待定系数法求二次函数的解析式.学习目标 推进新课思考 回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤求二次函数y=ax2+bx+c的解析式的关键是什么？知识点1用二次函数一般式y=ax2+bx+c 求函数解析式 我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式。对于二次函数，由几个点的坐标可以确定二次函数？探究 已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)，求这个函数的解析式.第一

31、步:设出解析式的形式；第二步:代入已知点的坐标；第三步：解方程组。解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得：a-b+c=10a+b+c=4三个未知数，两个等量关系，这个方程组能解吗？ 已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)， 求这个函数的解析式.第一步:设出解析式的形式；第二步:代入已知点的坐标；第三步：解方程组。解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7三个未知数，三个等量关系，这个方程组能解吗？ a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7?由-可得：2b=-6b=-3由-可得：3a

32、+3b=-3a+b=-1a=2将a=2，b=-3代入可得：2+3+c=10c=5解方程组得：a=2, b=-3, c=5 已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)， 求这个函数的解析式.第一步:设出解析式的形式；第二步:代入已知点的坐标；第三步：解方程组。解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程组得：因此，所求二次函数是：a=2, b= -3, c=5y=2x2-3x+5. 求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。 由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于

33、a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。归纳任意两点的连线不与y轴平行 已知一个二次函数的图象过点A(-1,0), B(4,5), C(0,-3). 三点，求这个函数的解析式.第一步:设出解析式的形式；第二步:代入已知点的坐标；第三步:解方程组。解：设所求抛物线的解析式为yax2+bx+c.抛物线经过点A(-1，0), B(4，5), C(0，-3). 解得a1，b-2，c-3.抛物线的解析式为yx2-2x-3.练习 图象顶点为(h,k)的二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k，如果顶点坐标已知，那么求解析式的关键是什么？知识点2用二次函数顶点式y=a(x-h)2+

34、k求函数解析式 已知抛物线顶点为(1,-4)，且又过点(2,-3)，求其解析式.解：抛物线顶点为(1,-4) 设其解析式为y=a(x-1)2-4， 又抛物线过点(2,-3)， 则-3=a(2-1)2-4，则a=1. 其解析式为y=(x-1)2-4x2-2x-3. 已知顶点坐标和一点，求二次函数解析式的一般步骤:第一步：设解析式为y=a(x-h)2+k.第二步：将已知点坐标代入求a值得出解析式.归纳 知识点3用交点式y=a(x-x1) (x-x2) 求二次函数解析式 一个二次函数，当自变量x0时，函数值y-1，当x-2与 时，y0，求这个二次函数的解析式.两种方法的结果一样吗？两种方法哪一个更简

35、捷？ 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C(0,3)，求这个二次函数的解析式.解: 图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0) 设函数解析式为ya(x-1)(x-3) 图象过点C(0,3) 3=a(0-1)(0-3)，解得a=1. 二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3 用待定系数法求二次函数的解析式的一般步骤：设出合适的函数解析式；把已知条件代入函数解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程组求出待定系数的值，从而写出函数的解析式. 知识点4已知图象上关于对称轴对称的两点坐标 已知二次函数y=

36、ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1，1)，B(3，1)两点，与y轴交于点C(0，3)，求这个二次函数的解析式. 方法1：设y=a(x-1)(x-3)+1,把C(0，3)代入其中求出a的值.方法2：设y=ax2+bx+c，把A(1，1)，B(3，1)，C(0，3)代入其中列方程组求a，b，c的值.两种方法的结果一样吗？哪种方法更简捷？ 已知二次函数的图象经过点(-1,3), (1,3),(2,6),求这个二次函数的解析式.解：设其解析式为y=a(x-1)(x+1)+3, 又图象经过点(2,6), 6=a(2-1)(2+1)+3, 解得a=1. 二次函数解析式为y=(x-1)(x+1)+3=x

37、2+2. 随堂演练基础巩固1.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为( ) A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-22. 抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过(1,2)和(-1,-6)两点，则a+c= 3.已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其解析式为 .D-2y=-7(x-3)2+4. 解：（1）选用一般式求解析式：（2）选用交点式求解析式： 根据已知条件选设函数解析式：用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特

38、点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式（可求出对称轴）. 综合应用5. 如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点A、C的坐标分别是(8,0)、(0,4),求这个抛物线的解析式.解：由抛物线过A(8,0)及对称轴为x=3, 知抛物线一定过点(-2,0). 设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8), 抛物线过点(0,4), 4=a(0

39、+2)(0-8), 拓展延伸6.已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式.解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0)，(-3,0), 设解析式为y=a(x-5)(x+3), 抛物线过点(1,16) 16=a(1-5)(1+3),解得a=-1. 抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15. 课堂小结 课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。 22.2 二次函数与一元二次方程R九年级上册 新课导入导入课题问题: 以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线如果不考虑空气阻力，球的飞行高度

40、h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系h20t5t2.球的飞行高度能否达到15m或20m或20.5m？如能，需要多少飞行时间呢？ (1)知道抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点情况与一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a0)的根的情况之间的关系.(2)会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.学习目标 推进新课知识点1二次函数与一元二次方程的关系问题 以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系h=20t-5t2.球的飞行高度能否达到15m或20

41、m或20.5m？如能，需要多少飞行时间呢？ （1）球的飞行高度能否达到15m？如果能,需要多少飞行时间？h=20t-5t2.15=20t-5t2.解：t2-4t+3=0.t1=1，t2=3.当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m.1s3s15m你能结合图指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？ （2）球的飞行高度能否达到20m？如果能,需要多少飞行时间？h20t-5t2.20=20t-5t2.解：t2 - 4t+4=0.t1 =t2 =2.当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.你能结合图指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？2s20m （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果

42、能,需要多少飞行时间？h20t-5t2.20.5=20t-5t2.解：t2 - 4t+4.1=0.因为(-4)2 44.1 0 = 0 0二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系（2）ax2+bx+c = 0 的根抛物线 y=ax2+bx+c与x轴 若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则_ 。b2 4ac 0= b2 4ac 0=00oxy = b2 4acy=ax2+bx+c 那么a0时呢？a0 知识点2用图象法求一元二次方程的近似解例 利用函数图象求方程x-2x-2=0的实数解.解：作y=x-2x-2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约

43、是-0.7，2.7所以方程x-2x-2=0的实数根为x1-0.7，x22.73yO-33x先画出函数图象，再通过函数图象找点 3yO-33x(-0.7,0)(2.7,0)你能利用函数图象指出x-2x-20的解集吗？y=x-2x-2解：x-2x-20的解集为-0.7x0的解集为x2.7或x3或x-1时，函数值大于0.(3) -1x0(a0)时，抛物线 y = ax2 + bx + c的顶点有最低（高）点，也就是说，当x= 时，二次函数有最小（大）值 。 利用二次函数图象解决最值问题时需要注意哪些问题？思考 探究 用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多

44、少米时，场地的面积S最大？lS 已知矩形场地的周长是60m，一边长是lm，则另一边长是 m，场地面积S= m2.由一边长l及另一边长30-l都是正数，可列不等式组： .解不等式组得l的范围是 .lS总长为60m分析：(30-l) l(30-l)0l30何时取最大值呢？ S=l(30-l)lS总长为60m根据解析式，可以确定这个函数的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，与横轴的交点坐标是 ，与纵轴的交点坐标是 .向下直线l=15(15,225)(0，0)，(30，0)(0，0) 根据l的取值范围及画出该函数图象的草图。50100S150200250O-5050l由图象知：点 是图象的最高点，

45、即当l= 时，S有最 (选填“大”或“小”)值.(15,225)15大 用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？lS解：场地的面积S=l(30-l)即S=-l2+30l(0l30)即当l是15m时，场地的面积S最大。 利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；2.确定自变量的取值范围；3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值. 随堂演练基础巩固1.如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+BD

46、=10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？解：设AC=x,四边形ABCD面积为y,则BD=(10-x).即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大. 2.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园(如图所示),墙长为18m,这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?解：设矩形的长为x m,面积为y m2,则矩形的宽为 m. 0 x18. 综合应用3.如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？解：令AB长为1，设DH=x，正方形EFGH的面积为y，则DG=1-x

47、.即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小. 拓展延伸4.已知矩形的周长为36 cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，圆柱的侧面积最大？解：设矩形的长为xcm，圆柱的侧面积为ycm2，则矩形的宽为(18-x)cm，绕矩形的长或宽旋转，圆柱的侧面积相等.有y=2x(18-x)-2(x-9)2+162(0 x18).当x=9时，y有最大值为162.即当矩形的长、宽各为9cm时，圆柱的侧面积最大。 课堂小结2.图形面积最值问题：由图形面积公式直接计算列出关系式，再利用二次函数的性质分析、解决问题.1.运动问题：（1）运动中的距离、时间、速度问题，这类问题多根据运动规律中

48、的公式求解；（2）物体的运动路线（轨迹）问题，解决这类问题的思想方法是建立合适的平面直角坐标系，根据已知数据求出运动轨迹（抛物线）的解析式，再利用二次函数的性质分析、解决问题. 课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。 22.3 实际问题与二次函数第2课时 实际问题与二次函数(2)R九年级上册 新课导入导入课题问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ (1)能用二次函数表示实际问题中的数量关系(包括写出解析式、自变量

49、的取值范围、画图象草图).(2)会用二次函数求销售问题中的最大利润.学习目标 推进新课某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？探究进价/元售价/元数量/件利润现价涨价降价406030060+n300-10n60-m300+20m4040分析： 进价/元售价/元销量/件利润现价涨价降价406030060+n300-10n60-m300+20m4040解:(1)设每件涨价n元，利润为y1.则y1=(60+n 40 )(300 10n)即y1=-

50、10n2+100n+6000其中，0n30.利润 = 售价销量-进价销量 = (售价-进价)销量怎样确定n的取值范围？可得：0n30. y1=-10n2+100n+6000 （0n30） 抛物线y1 =-10n2+100n+6000顶点坐标为 ，所以商品的单价上涨 元时，利润最大，为 元.(5,6250)56250n取何值时，y有最大值？最大值是多少？=-10(n2-10n)+6000 =-10(n-5)2+6250 即涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元.涨价： 进价/元售价/元销量/件利润降价4060-m300+20m解: (2)设每件降价m元，利润为y2.则y2=(60-m 4

51、0 )(300 +20m)即y2=-20m2+100m+6000其中，0m20.怎样确定m的取值范围？可得：0m20.降价情况下的最大利润又是多少呢? y2=-20m2+100m+6000 (0m20) 抛物线y2=-20m2+100m+6000顶点坐标为 ，所以商品的单价下降 元时，利润最大，为 元.(2.5,6125)2.56125m取何值时，y有最大值？最大值是多少？即降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.降价：=-20(m2-5m)+6000 =-20(m-2.5)2+6125 （2）降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.（1）涨价情况下，定价65元时，有最

52、大利润6250元.综上可知：该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元. 随堂演练基础巩固1.下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有,写出这些点的坐标(用公式)：(1)y=-4x2+3x; (2)y=3x2+x+6. 2.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200-x)件，应如何定价才能使利润最大？解：设所得利润为y元,由题意得y=x(200-x)-30(200-x) =-x2+230 x-6000 =-(x-115)2+7225 (0 x200)当x=115时，y有最大值.即当这件商品定价为115元时，利润最大. 综合应用3.某种文化衫以每件盈利20元的

53、价格出售，每天可售出40件. 若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利最多，每件应降价多少元？解：设每件应降价x元，每天的利润为y元，由题意得：y=(20-x)(40+10 x) =-10 x2+160 x+800 =-10(x-8)2+1440 (0 x20).当x=8时，y取最大值1440.即当每件降价8元时，每天的盈利最多。 拓展延伸4.求函数y=-x2+6x+5的最大值和最小值.(1)0 x6； (2) -2x2.解：y=-x2+6x+5=-(x-3)2+14(1)当0 x6时，当x=3时， y有最大值14,当x=0或6时，y有最小值5.(2)当-2x2时，当x=2时，y有最

54、大值13,当x=-2时，y有最小值-11. 课堂小结利用二次函数解决利润问题的一般步骤：(1)审清题意，理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系；(3)列出函数关系式；(4)求解数学问题；(5)求解实际问题. 课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题. 22.3 实际问题与二次函数第3课时 实际问题与二次函数(3)R九年级上册 新课导入导入课题问题：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m. 水面下降1 m，水面宽度增加多少？ (1)能建立合适的直角坐标系，用二次函数的知识解决与抛物线相关的实际问题.(2)进一步巩固二次函数的性质与图象特征.学习目

55、标 推进新课 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m. 水面下降1m时，水面宽度增加多少？分析：(1) 建立合适的直角坐标系；(2) 将实际建筑数学化，数字化；(3) 明确具体的数量关系，如函数解 析式；(4) 分析所求问题，代入解析式求解。探究(2,-2)(-2,-2)xyO 解：以拱顶为坐标原点建立如图所示的直角坐标系.设抛物线解析式为y=ax2.将点(-2，-2)代入解析式，可得-2=a (-2)2.xyO(2,-2)(-2,-2)水面水面下降一米，即此时y=-3. 如果以下降1 m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系. 与前面方法的结果相同吗？yO(2,1

56、)(-2,1)水面x(0,3)解：依题意建立如图所示的直角坐标系.设抛物线解析式为y=ax2+3.将点(-2，1)代入解析式，可得1=a (-2)2+3. yO(2,1)(-2,1)水面x(0,3)水面下降一米，即此时y=0. 虽然建立的直角坐标系不一样，但是两种方法的结果是相同的. 你还有其他的方法吗？yO(2,0)(-2,0)x(0,2) 还可以以水面未下降时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系来计算. 随堂演练基础巩固1.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图所示)，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为(

57、精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计)( ) A.9.2 m B.9.1 m C.9 m D.5.1 mB 2.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水平宽度AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么在如图所示的直角坐标系中，涵洞所在的抛物线的解析式是 .y=-3.75x2A B 综合应用3.某幢建筑物，从10米高的窗户A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(如图)，若抛物线最高点M离墙1米，离地面 米，求水流落地点B离墙的距离. 拓展延伸4.某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底

58、部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为多少？ 解：以水平面为x轴,抛物线对称轴为y轴建立直角坐标系.设抛物线解析式为y=ax2+0.5，抛物线过点(1,0),0=a+0.5，解得a=-0.5.抛物线解析式为y=-0.5x2+0.5.令y0，则-0.5x2+0.50，解得x1.令x=0.2,y=-0.50.22+0.5=0.48,令x=0.6,y=-0.50.62+0.5=0.32.(0.48+0.32)2100=160 (m)这条防护栏需要不锈钢支柱 的总长度至少为160m. 课堂小结利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤：(1) 建立适当的直角坐标系；(2) 写出抛物线

59、上的关键点的坐标；(3) 运用待定系数法求出函数关系式；(4) 求解数学问题；(5) 求解抛物线形实际问题. 课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。 数学活动 R九年级上册 新课导入导入课题问题: 观察下列两个两位数的积，猜一猜其中哪个积最大.9199,9298,9892,9991. 这节课我们运用二次函数的知识探究和说明两数的积的最大值. (1)探究具有某种特点的两数的积中存在的某种规律.(2)建立二次函数模型证明猜想是否正确.(3)通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力.学习目标 推进新课活动1关于两数乘积的猜想与证明猜想：下列式子中，哪个积最大？ 901999

60、， 902998， ， 998902, 999901.猜一猜 先研究稍小一点的数，算一算，看你的猜想是否正确：9199= ,9298= ,9397= ,9496= ,9595= .90099016902190249025 猜想：下列式子中，哪个乘积最大？ 901999， 902998， ， 998902, 999901.猜测:950950最大！这个猜测对不对呢？ 证明：设第一个数是900+x，则第二个数是(1000-x), 设两数积为y.(1)求y与x的函数关系式；y=(900+x)(1000-x)=-x2+100 x+900000(2)求y的最大值；y=-(x-50)2+902500y的最大