数理方程与特殊函数：第3章 分离变量法

1、1 分离变量法是求解各种类型偏微分方程定解问题的典型方法之一。包括各类典型方程的初值、边值与混合问题。要求熟练掌握。初值问题 (柯西问题)：无边界条件的定解问题。边值问题：无初值条件的定解问题。混合问题：有初值条件和边界条件的定解问题。第三章 分离变量法2本章主要内容1、一维波动与热传导定解问题分离变量求解2、高维定解问题分离变量求解3、非齐次定解问题的求解学时：8学时3一维波动与热传导定解问题分离变量求解本次课主要内容(一)、波动方程定解问题的分离变量求解(二)、热传导方程定解问题的分离变量求解4齐次弦振动方程的混合问题求解(一)、波动方程定解问题的分离变量求解分析：(1) 定解问题特点：方

2、程是二阶线性齐次方程，所以各特解的和也是方程的解。如果能够找到足够多的特解，可考虑用它们的线性组合去求定解问题的解！5因此，自然就会想到上面齐次方程的特解形式可能为：(2) 物理模型考察：乐器发出的声音可以分解为若干不同频率的单音。每个单音振动又可以表示为：该等式的特征是把待求的多元函数分解为一元函数乘积的形式。6设方程(1)具有可以分离变量的解 :把(4)代入(1)与(2)得：注：如果定解问题是非齐次方程与非齐次边界条件，能够得到(5)与(6)吗？7欲使(5)成立，等式两端必须为常数。于是，令：考虑如下方程：下面讨论该方程的解8(1) 当 时 从而 9(2). 当 时(3).当 时10注：对

3、于参数的某些值，问题(8),(9)的非平凡解存在，称这种值为固有值(本征值)；同时称相应的非平凡解X(x)为固有函数(本征函数)；求解固有值和固有函数的问题称为固有值问题(本征值问题)。分离变量的核心问题是固有值问题(本征值问题)！11由(7)还可得：该方程对应于固有值n的通解为：把(10)、(12)代入(4)得：12(13)是满足方程和边界条件的特解，但不满足初始条件。由于方程与边界条件是线性的，因此，由叠加原理2，下面表达式仍然满足方程和边界条件。欲使(13) 满足方程和边界条件和初始条件。只需把(14)代入初始条件，求出Cn,Dn即可！13将 在0,L上按奇式傅里叶展开得：问题回顾：1、

4、分离变量法的物理背景是什么？2、分离变量法的使用条件是什么？3、什么是分离变量法的固有值问题？4、小结分离变量法的步骤。141、分离变量2、求解固有值问题3、求解其它常微分方程对应于固有值的解利用分离变量法求定解的步骤4、写出叠加解，利用其余条件定出叠加系数。15例1 求下面定解问题解: 1、分离变量16得：2、求解固有值问题(1) 当 时 17(2). 当 时(3).当 时由条件得：18所以，固有值为：固有函数为：3、求解如下微分方程194、一般解为：20例2. 两端固定的弦长为l，用细棒敲击弦上x=x0 点处，亦即在点 x=x0 施加冲量，设其冲量为I 。求解弦的振动。解:定解问题为：由分

5、离变量得定解问题的一般解为：21由初始条件得：定解问题的解为：22例3. 求解如下定解问题分析：方程不是齐次形式，要作齐次化处理！令：代入原方程得：23欲使关于V(x,t)的定解问题可分离变量，W(x)要满足：求解得：原问题变为：24由分离变量得定解问题的一般解为：由初始条件得：所以，定解问题的解为：25(二)、热传导方程混合问题分离变量解法例1 设有长度为L的，均匀的，内部无热源的热传导细杆，侧面绝热，其左端保持零度，右端绝热，初始温度分布为已知。该定解问题应为26解：1、分离变量2、求解固有值问题27(1). 当 时，特征值问题无非零(2). 由条件得：28固有函数为： 29利用叠加原理，得一般解为： 由初始条件得： 30例2 设有一条长为2L、温度为零的均匀杆，其两端与侧面都绝热。现在用一个火焰集中在杆的中点烧它一下，使传给杆的热量恰好等于 c(设c为杆的比热，为线密度）。求杆上的温度分布。 解：问题归结为解定解问题 :31解：1、分离变量2、求解固有值问题32(1) 当 时 从而 33(2). 当 时(3).当 时由条件得：34求出Tn(