《直线的倾斜角和斜率》案例分析

1、直线的倾斜角和斜率案例分析宁波市第四中学冯文富 3150162007年4月19日我有幸参加了在余姚中学举行的宁波市第七期特级教师跨区域带徒 第二次集中活动。活动中我上了其中一堂示范课，课题为：直线的倾斜角和斜率。示范课 后特级教师和市教研员对4节课进行了点评，提出了很多意见和建议，学员们受益非浅。 下面我对我上的这堂课进行案例分析。一、教材分析（一）教材地位和知识结构本节内容是平面解析几何的第一节课，是研究直线方程的基础。这节课首先根据一次 函数与其图像的变化关系得出确定直线需要的量；其次为进一步研究直线，建立了直线倾 斜角的概念，进而建立直线斜率的概念，从而实现了直线的方向或者说直线的倾斜角

2、这一 直线的几何属性向直线的斜率这一代数属性的转变；最后推导出经过两点的直线的斜率公 式.这些充分体现了解析几何的思想方法.（二）重点、难点分析本节的重点是直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式.浙江的教材安排使课本上倾 斜角的定义产生了错误，如何定义直线的倾斜角对学生来说很困难。直线的斜率是后继内 容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与 二次曲线的位置关系等，直线的斜率都发挥着重要作用.因此，正确理解斜率概念，熟练 掌握斜率公式是学好这一章的关键.本节的难点是对斜率概念的理解和斜率公式的推导.为什么要定义直线的斜率，为 什么把斜率定义为倾斜角的正切学生是不

3、容易接受的.而斜率公式由于教材的安排可以由 向量的方法进行推导。二、教学过程设计（一）、引入新课：1、求方程sinx=lgx的解的个数。（几何画板演示）实际上我们已经用代数的方法研究过抛物线的性质：建立适当的直角坐标系，可以写出抛物线的二次函数y = ax2 + bx + c （a主0）就可以研究抛物线的性质了。设计意图：用几何画板研究a,b,c对图象的影响，为一次函数中系数对直线的影响作 出铺垫。说明：把方程所表示的图形画出来研究图形的性质。把图形放到直角坐标系中，用代数的方法来研究图形的几何性质。向学生指出用代数的方法来研究图象的几何性质是笛卡儿和费马创立的解析几何中 最基本的研究方法。是

4、数学发展史上的一个里程碑。2、用几何画板研究y = ax + b中，a,b对图象的影响。提问：一次函数所表示的图象是什么？其中a，b是怎样影响图象的？利用几何画板的动画演示引导学生：b的影响：平行移动，b值为直线与y轴交 点的纵坐标。此时直线的是一组平行线；a的影响：随着a的变化，形成了无数条共点的直线，这些直线的倾斜程 度不同。（二）、讲授新课：问题1：要确定这些相交直线中某一条直线还需要给出直线的一个角，即直线的方向。如何确定一条直线？两点确定一条直线.还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度.问题2：在坐

5、标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？学生：展开讨论.教师：利用三角板教具对学生进行引导，利用学生对斜边的倾斜程度的理解诱导学生 得出倾斜角的定义。1、得出倾斜角的定义，通过讨论认为:应选择直线向上的方向和x轴的正半轴所成的角来刻画直线的方向.根 据三角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能 有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角.从而得到直线倾斜角的概念.定义：一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫做直线l的倾斜角.（教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2） x轴的正方向，（3）最小正角.）让学生补全教科书上倾斜角的定义，

6、并向学生指出造成这个错误的原因。利用几何画板的演示，引导学生得出：（1）倾斜角的取值范围为0 0，且a越大，K也越来越大；a (900,180。)时，k0，且a越大，K也越来越大。练习：关于直线倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的？A、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；B、直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；C、直线的斜率值为tana，则它的倾斜角为a；D、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等.E、直线斜率的范围是(一8，+8).口答题：已知直线的倾斜角，求直线的斜率：a=0； (2)a=60 a=90；(4)a=0.75n(5) a (600,1200)直线l的倾斜角ai = 30，直线LLL的

7、倾斜角和斜率为直线l经过原点和点(一1,1)，则它的倾斜角是，斜率是.设计意图：(1) (6)是对倾斜角和斜率的巩固训练，(7)是引导出两点可以确定 直线的倾斜角和斜率。问题4:如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义* =tga求出直线的 斜率；如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那 么又怎么求出直线的斜率呢？3、两点的斜率公式从口答题中的（7）可以得出：直线上的两点可以确定直线的方向一一倾斜角和斜率。引导学生推导两点的斜率公式。（动画演示）在推导公式的过程中利用直角三角形教具引导学生由直线上的两点建立直角三角形， 从而得出斜率公式。（1）无论倾斜

8、角是钝角还是锐角，也二总与斜率相等；x 一 x（2）当直线倾斜角确定后，斜率与两点的顺序无关。（3）引导学生发现当直线平行x轴和垂直x轴时，公式是否成立。（4）斜率公式跟P七的顺序无关。例1求过下列两点的直线的斜率k及倾斜角a。（1）P1 （-2，3），P2 （-2，8）（2）P1 （5，-2），P2 （-2，-2）（3）P1 （-1，2），P2 （3，-4）（4）P （b,b+c），P2 （a,c+a） （a,b,c 互不相等）练习：画出经过点（1，2）且斜率为2的直线。例2已知两点M（2，3）、N（ 3，2），直线l过点P（1，1）且与线段MN相交，求 直线L的斜率k的取值范围和倾斜角的范

9、围。（三）小结:提问：（1）直线倾斜角的概念要注意什么？（2）直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？（3）已知两点坐标，如何求直线的斜率？斜率公式中脚标1和2有顺序吗？三、教学课后思考1、本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.学生思维 也对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立。教学流程中利用4个问题引出三个教学任务，首先利用二个问题情境让学生明确倾斜 角的定义，然后利用第3个问题情境让学生理解用倾斜角的正切定义斜率，而不用正弦、 余弦或余切来定义的道理。为了便于学生更好的理解直线斜率的概念，教学中借助几何画 板设计：（1）a变化一直线变化

10、一 y = kx + b中的x系数k变化（同时注意tga的变化）.（2）y = kx+b中的x系数k变化一直线变化一a变化（同时注意tga的变化）.运用上述正反两种变化的动态演示充分揭示一次函数中x系数与倾斜角正切的内在 关系，这对帮助学生理解斜率概念是极有好处的.最后利用第4个问题情境让学生理解得到两点的斜率公式的必要性。另外，在3个教学任务中要利用好直角三角形，借助直角三角形可以让学生很容易掌 握概念和公式。2、本节内容在教学中采用了启发引导法和讨论法，设计为启发、引导、探究、评价 的教学模式.学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、和评价.三项教 学任务都是在讨论、交流、评价

11、中完成的。教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织 交流，参与评价.3、示范课后特级教师、教研员和部分学员的点评，让我受益非浅，总结出以后的教 学中要注意的地方。1）要重视问题情境的创设数学学习总是与一定知识背景、即“情景”相联系，在实际情境下进行学习，可以使 学生利用自己原有的认知结构中的有关知识与经验“同化”和“索引”出当前要探索的新 知识，促进对新知识的意义建构。本节课利用4个问题的提出引导学生去探究3个教学任 务。2）要关注学生的已有经验学生的已有经验是影响新知识学习的重要因素之一，有的学生能够从过去的经验 中找出与新知识的联系，在比较异同的基础上进一步来理解问题的本质。如这节课中的斜 率和学生已掌握的坡度的联系。3）要提供探索交流合作的空间让学生在教师的组织引导下，一起讨论和交流，在交流中同学们获取信息，在交流中 同学们数学思想变得清晰，在交流中数学学习得以深入和发展，本节课提供了学生探索交 流的合作的空间，通过问题学习，通过探索、通过交流，澄清了错误的