数学期望和概率

1、数学期望2017：（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线 上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产 经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分 布N（也02）.（1）假设生产状态正常，记x表示一天内抽取的16个零件中其 尺寸在（-3。,从+ 3。）之外的零件数，求P（X 1）及X的数学期望；（2） 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（Q3。,从+ 3。）之外 的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情 况，需对当天的生产过程进行检查.（i）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（五）下面是检验员在一天内抽取的

2、16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经 计 算 得X = 1/X = 9.97,16 ii =1s = 4 （X- X）2 =卢（ X2 一 16 X 2）220.212 ,其中X.为抽取的第i个零件i=1i=1的尺寸，i = 1,2,16 .用样本平均数X作为N的估计值3 ,用样本标准差s作为。的估计 值W，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 （口-3。, 口 + 3。）之外的数据，用剩下的数据估计3和。（精确到0.01）.附：若随机变量Z服从正态分布

3、N（3,。2），则P（3 3。 Z 3 + 3。） = 0.997 4 ,0.997 416 = 0.959 2，J0008 0.09 2016：选择题第4题：某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小 明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是 随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(A)1(B)2(C)2(D)43234(12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一 易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需 决策在购买机器时应同时购买几个易损零件

4、，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损 零件数发生的概率记x表示2台机器三年内共需更换的易损零件数， n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(I)求x的分布列；(II)若要求P(x 0.5，确定n的最小值；(III以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据在n二19与n二20 之中选其一，应选用哪个？2015：选择题第4题：投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才 能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）（A）0.648（B

5、）0.432（C）0.36（D）0.312需了解年z （单位：1,2 , 8 ）（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费， 宣传费x（单位：千元）对年销售量y （单位：t）和年利润 千元）的影响，对近8年的年宣传费,和年销售量y （ ,= 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.i,yw( , 一 , )2 ii=1(w - w)2 ii=1(, - ,)(y - y) iii=1(w - w)(y - y) iii=146.656.36.8289.81.61469108.85M -5M *4W九金九也3石料，1,3孙 门官你优IF表中攻回，京=1 *匕i=1（I）根据散

6、点图判断，y=a+bx与y=c+d:哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可不必说明理由）（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（III）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（II）的结果回答下列问题：(i)年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？(ii)年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？,(u、),其回归线V二a + pu的附：对于一组数据(4#1), (u2,V2)，斜率和截距的最小二乘估计分别为：工也一况X -V CC i-l2014 ：选择题第5题：.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参

7、加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率().A. 1B. 3 C. 5 D. 78888(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项一组数据用该区间的中点值作代表)；(II)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值z服从 正态分布N (凡8 2)，其中H近似为样本平均数；,8 2近似为样本方差s 2.(i)利用该正态分布，求P(187.8 Z 212.2)；(ii)某用户从该企业购买了 100件这种产品，记x表示这100件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2 )的产品件数，利用(i ) 的结果，求EX .附：150 x 12.2，若Z N,8

8、2)，贝IP(从一8 Z 从 + 8) = 0.6826 , P(从-28 Z 1) = 1 -P(X = 0)= 1 -0.997416 = 1 -0.9592 = 0.0408 由题意可得，X满足二项分布XB(16,0,0016)， 因此可得 EX (16,0.0016)= 16 x 0.0016 = 0.0256由(1)可得P(X 1)= 0,0408 5%，属于小概率事件，故而如果出现(从-3。，从+ 3。)的零件，需要进行检查。 由题意可得口 = 9.97,。= 0.212 n 口 -3。= 9.334,口 + 3。= 10.606， 故而在(9,334,10,606)范围外存在9.

9、22这一个数据，因此需要进 行检查。9.97 X16 一 9.22 ) 10,02，15止匕时：u=x =。氏 0.09。2016-【答案】B【详细解答】小明可以到达车站时长为40分钟，可以等到车的时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率是p=20 = 1,故B 40 2选项正确.【详细解答】（I）这100台机器更换的易损零件数为8,9,10,11时的频率为分别为1 ,2 ,1 ,1故1台机器更换的易损零件数为8,9,10,11 5 5 5 5时发生的概率分别为1，2，1，1，每台机器更换与否相互独立， 5555X = 16,17,18,19,20,21,22 ,故两台机器更换易损零件

10、个数及对应概率如下表：8( 5 )9( 2 )10( 5 )11 ( 5 )8( 1 ) 516(工) 2517(工) 2518( ) 2519( ) 259( 2 ) 51(工) 2518( ) 2519 ( A )2520( A ) 2510( 1 ) 51( -1 ) 2519 (2) 2520( -1 ) 2521( -1 ) 2511 ( 5 )1( 1 ) 2520(工) 2521) 2522(人) 25所以求x的分布列为：X16171819202122p146652125252525252525(II)P(X 18) =11 1,P(X 1，所以n 的最小值为 19 25 225

11、 2(III)EX = 16x +17x-4 +18x-6- +19x-6- + 20 x-5- + 21 x + 22x = 18.2 25252525252525故 至 少 购 买 19 件 , 若 买 19 件 时 费 用 期 望 为521200 x 19 + 500 x +1000 x +1500 x 一 = 4040 (兀)，252525若买20件时费用期望为200 x20 + 500 x 225 +1000 x14080 (元) 所以应选用n = 19 .2015-【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C2 0.62 X0.4 + 0.63 =0.648，

12、故选 A.3【答案】（I） ） = c + d震适合作为年销售y关于年宣传费用X的回归方 程类型；（ll） y = 100,6+68,；X （III） 46.24【解析】试题分析（I）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函 数；（II）令w-,X，先求出建立y关于w的线性回归方程，即可y关 于X的回归方程（III ）（i）利用y关于X的回归方程先求出年销售量y 的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z 的预报值；（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值，列出关于x 的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年 宣传费用.试题解析： （I

13、）由散点图可以判断，y = c + dG适合作为年销售y关于年宣传费用X的回归方程类型.（II ）令W =G ,先建立y关于w的线性回归方程，由于=瞥=6816(w - w)(y - y) iid = 4-1(w - w)2ii=1c = - _ dw =563-68x6.8=100.6. . y关于W的线性回归方程为 y = 100.6 + 68w ,y关于X的回归方程为y = 100.6+68.-X .(Ill)(i)由(II)知，当x =49时，年销售量y的预报值y = 100.6+ 68 x 0.02 + (-20 x 0.09 + (-10 x 0.22+0 x 0.33 +102 x 0.24 + 202 x 0.08 + 302 x 0.02150(2 )( 1 )由(1 )知，Z (200,