2019-2020年北师大版七年级下册第一章综合复习利用数学思维解决整式的混合运算

1、cd，北师大版七年级下册综合复习利用图形结合思维解决整式运算一、整式混合运算与数学思维的碰撞1、整式混合运算主要是加、减、乘、除、乘方这5种运算，应运用运算顺序与数学思维相结合的计算方式来简化，从而为后面函数学习打下坚固基础。2、整式乘法相关的几个重要公式、单项式与多项式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc、多项式与多项式相乘：（m+a）（n+b）=mn+mb+an+ab注意：多项式与多项式相乘，均可以转化为单项式与多项式相乘。如：（m+n+p）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）+p（a+b+c）、平方差公式：(ab)(ab)a2b2、完全平方公式：(ab)2a22abb2

2、3、整式四则运算与数学思维碰撞出的最亲密思维-整体思维例题1：若a+b=3,ab=1,求（a-2）（b-2）的值2【解析】：（a-2）（b-2）=ab-2a-2b+4=ab-2（a+b）+4=1-23+4=22整体思维的运用：将代数式a+b、ab的值作为一个整体带入求值，而不必将这2个已知条件中等式联合成方程组分别求出a、b的值再带入，可见数学思维的运用是要简化并降低计算的难度。例题2：将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成abcdadbc，请你将定义abx3x1x1x3化为代数式，再化简为_cdadbc，【解析】：abx3x1x1x3=（x+3）（x+3）（x1）（x+

3、1）=x2+6x+9x2+1=6x+10整体思维的运用：这里是将代数式x+3、x1、x+1分别与已知条件中的a、b、c、d对应成一个整体，再运用已知条件，来进行解答题目。整体思维的总结：整体思维作为整式混合运算中一个非常重要，并且是每个人都必须掌握的一个思维，可见整式运算与整体思维已经融为一体了，你只有了解它、分析它、熟悉它、并把它作为你的一种武器，才能在整式混合运算这个大机器里拥有属于你的一小片领地，只有这样你才能为后面学习代数打下坚固的基础，并且不断完善以及开阔自己的知识面。4、代数与几何碰撞出的数学思维-数形结合思维例题3：如图，某校有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形空

4、地，中间是边长（a+b）米的正方形草坪，其余为活动场地，学校计划将活动场地（阴影部分）进行硬化（1）用含a，b的代数式表示需要硬化的面积并化简；（2）当a=5，b=2时，求需要硬化的面积【解析】：（1）需要硬化的面积表示为：（3a+b）（2a+b）-（a+b）2-化简：（3a+b）（2a+b）-（a+b）=6a2+3ab+2ab+b2（a2+2ab+b2）=5a2+3ab（2）当a=5，b=2时,5a2+3ab=552+352=155（米2）数形结合思维的应用：通过图形阴影面积的求法，成功利用几何图形的相关公式与等量关系，转化为整式乘法运算。通过这道题，我们看到了数形结合思维的一个雏形，只要大

5、家用心理解它们间的联系，相信大家一定会灵活运用的。例题4：如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为（2m+4）【解析】：设拼成的矩形的另一边长为x，根据题意，可列方程：4x（m+4）2m2（m+4+m）（m+4m），解得x2m+4数学思维的综合运用：本题运用了数形结合思维、方程思维、逆向思维、整体思维，四种数学思维的综合运用，清晰明了的将此题完美的呈现出来。例题5：把三张大小相同的正方形卡片A、B、C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若按图1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图2摆

6、放时，阴影部分的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（）AS1S2BS1S2CS1S2D无法确定【解析】：设底面的正方形的边长为a，正方形卡片A，B，C的边长为b，由图1，得S1（ab）（ab）（ab）2，由图2，得S2（ab）（ab）（ab）2，S1S2故选：C数学思维的综合运用：本题通过数形结合思维，综合运用了方程思维、转化思维等不同的思维，将代数思维与几何思维进行碰撞组合，通过数形结合思维作为桥梁，为后面函数、几何综合题打下基础。5、数形结合思维作为数学解题中的一个重要思维，一定要将这个思维当做一个公式一样，让它成为解题的一种必备“武器”。数形结合思维在几何题中的应用还是很广泛的，在后面

7、几何知识章节内，我还会通过不同的题型，来让大家感受到这种思维的强大与实用的；数形结合思维在七下第一章整式乘除中，主要是利用图形中不变的量（大多利用线段的长度、某个图形的面积或者周长等不变的量），通过线段的长度与面积（或者周长）间的公式来证明某2个代数式的恒等式关系。二、数形结合思维在整式混合运算中的应用1、对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2a2+2ab+b2，请解答下列问题（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c10，ab+ac+

8、bc35，求a2+b2+c2；（4）小明同学用图3中2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形m张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出m的所有可能取值【解析】：（1）边长为（a+b+c）的正方形的面积为：（a+b+c）2分部分来看的面积为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac同一个正方形面积相等所以：（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac2（2）（a+b+c）（a+b+c）a+b+c）a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（3）a+b+c10，ab+ac+bc35a2+b2+c2（a+b+c）22

9、ab2bc2ac10223530a2+b2+c2=30（4）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：2a2+3b2+mab从同一个图形面积相等，由题意可列式为（2a+b）（a+3b）或（2a+3b）（a+b）（2a+b）（a+3b）2a2+3b2+7ab或（2a+3b）（a+b）2a2+3b2+5abm5或7数学思维的综合运用：通过数形结合思维，结合分类思维、逆向思维、方程思维、整体思维、等量思维等多种思维的碰撞，来巩固整式乘法公式中的完全平方公式，同时拓展并考察了分类思维的运用。2、如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b形状拼成一个正方形

10、（1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？（2）观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（mn）2，mn（3）已知m+n7，mn6，求（mn）2的值【解析】：（1）mn（2）（m+n）2（mn）2+4mn（3）（mn）2（m+n）24mn494625数学思维的综合运用：通过数形结合思维，结合整体思维，对完全平方公式进行变形，使完全平方公式拓展出这2个公式间的联系与区别。3、甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2（1）填空：S1S2（用含m的代数式表示）；（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和设该正方形的边长为

11、x，求x的值（用含m的代数式表示）；设该正方形的面积为S3，试探究：S3与2（S1+S2）的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由，【解析】：（1）S1S2（m+7）（m+1）（m+4）（m+2）2m1（3）根据题意，列方程得4x2（m+7+m+1）+2（m+4+m+2）解得x2m+7S2S1+S22m2+14m+15，32（S1+S2）（2m+7）2（2m2+14m+15）4m2+28m+494m228m3019所以：S3与2（S1+S2）的差是常数：19数学思维的综合运用：通过数形结合思维，结合方程思维、整体思维、等量思维等综合运用，从而达到熟练掌握整式混合运算的技巧

12、，本题中（2）中整体思维的另一个运用是将除了未知数x外的其他字母当成常数来运用，这个运用在后面的函数、方程等的解题过程中会经常用到。4、我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）a2+3ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c11，ab+bc+ac38，求a2+b2+c2的值；（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z；（4

13、）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个数学等式：【解析】（1）最大正方形的边长是：a+b+c所以它的面积为：（a+b+c）2，从分部分来看，有三个正方形、六个长方形，它们的和为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc由同一个正方形面积相等得出（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc（2）a+b+c11，ab+bc+ac38，112a2+b2+c2+238a2+b2+c21217645a2+b2+c2的值为45（4）（2a+b）（a+2b）2a2+2b2+5abx代表的是a2系数，y代表的是b2系数,z代表的是ab系数x2，y2，z5x+y+z9（5）大