2016届高三数学人教A版一轮复习基础巩固强化：第8章 第5节双曲线

1、第八章第五节一、选择题1(文)(2014广东文)若实数k满足0k5，则曲线eq f(x2,16)eq f(y2,5k)1与曲线eq f(x2,16k)eq f(y2,5)1的()A实半轴长相等 B虚半轴长相等C离心率相等D焦距相等答案D解析0k5，两方程都表示双曲线，由双曲线中c2a2b2得其焦距相等，选D(理)(2014广东理)若实数k满足0k9，则曲线eq f(x2,25)eq f(y2,9k)1与曲线eq f(x2,25k)eq f(y2,9)1的()A焦距相等 B实半轴长相等C虚半轴长相等D离心率相等答案A解析由0k0)的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线C上一点，则POF的大小不可能

2、是()A15B25C60D165答案C解析双曲线的渐近线方程为eq f(x,r(3)a)eq f(y,a)0，两渐近线的斜率keq f(a,r(3)a)eq f(r(3),3)，渐近线的倾斜角分别为30，150，所以POF的大小不可能是60.(理)已知双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的渐近线方程为yeq f(r(3),3)x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为()Aeq f(x2,4)eq f(3y2,4)1Beq f(3x2,4)eq f(y2,4)1Ceq f(x2,4)eq f(y2,4)1Deq f(x2,4)eq f(4y2,3)1答案A解析

3、由渐近线方程为yeq f(r(3),3)x知，eq f(b,a)eq f(r(3),3)，aeq r(3)b，又顶点到渐近线距离为1，eq f(|ba|,r(a2b2)1，由得，a2，beq f(2r(3),3)，选A3(文)(2013保定调研)已知双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的一条渐近线方程是yeq r(3)x，它的一个焦点在抛物线y248x的准线上则双曲线的方程为()Aeq f(x2,9)eq f(y2,27)1Beq f(x2,36)eq f(y2,108)1Ceq f(x2,108)eq f(y2,36)1Deq f(x2,27)eq f(y2,9

4、)1答案B解析由题意可知eq blcrc (avs4alco1(c12，,a2b2c2，,f(b,a)r(3).)解得eq blcrc (avs4alco1(a236，,b2108.)所以选B(理)(2014甘肃兰州、张掖诊断)已知双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为()Aeq f(x2,16)eq f(y2,9)1Beq f(x2,3)eq f(y2,4)1Ceq f(x2,9)eq f(y2,16)1Deq f(x2,4)eq f(y2,3)1答案C解

5、析因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c5，eq f(b,a)eq f(4,3)，又c2a2b2，所以a3，b4，所以以此双曲线的方程为eq f(x2,9)eq f(y2,16)1.4(2014山东烟台一模)双曲线C1的中心在原点，焦点在x轴上，若C1的一个焦点与抛物线C2：y212x的焦点重合，且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4eq r(3)，则双曲线C1的实轴长为()A6B2eq r(6)Ceq r(3)D2eq r(3)答案D解析设双曲线C1的方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)由已知，抛物线C2的焦点为(3,0)

6、，准线方程为x3，即双曲线中c3，a2b29，又抛物线C2的准线过双曲线的焦点，且交双曲线C1所得的弦长为4eq r(3)，所以eq f(b2,a)2eq r(3)，与a2b29联立，得a22eq r(3)a90，解得aeq r(3)，故双曲线C1的实轴长为2eq r(3)，故选D5(2013广东六校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(5,0)和C(5,0)，若顶点B在双曲线eq f(x2,16)eq f(y2,9)1上，则eq f(sinB,|sinAsinC|)为()Aeq f(3,2)Beq f(2,3)Ceq f(5,4)Deq f(4,5)答案C解析设ABC中角A、B

7、、C所对的边分别是a、b、c，由正弦定理得eq f(sinB,|sinAsinC|)eq f(|AC|,|BC|AB|)，由双曲线的标准方程和定义可知，A、C是双曲线的焦点，且|AC|10，|BC|AB|8.所以eq f(sinB,|sinAsinC|)eq f(5,4)，故选C6(文)(2014江西赣州四校联考)已知双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1，A2，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系为()A相交B相切C相离D以上情况都有可能答案B解析设以线段PF1，A1A2为直径的两圆的半径分

8、别为r1，r2，若P在双曲线左支上，如图所示，则|O2O|eq f(1,2)|PF2|eq f(1,2)(|PF1|2a)eq f(1,2)|PF1|ar1r2，即圆心距为两圆半径之和，两圆外切若P在双曲线右支上，同理求得|OO1|r1r2，故此时两圆内切综上，两圆相切，故选B(理)如图在正方体ABCDA1B1C1D1中，当动点M在底面ABCD内运动时，总有：D1AD1M，则动点M在面ABCD内的轨迹是()上的一段弧()A圆B椭圆C双曲线D抛物线答案A解析因为满足条件的动点在底面ABCD内运动时，动点的轨迹是以D1D为轴线，以D1A为母线的圆锥，与平面ABCD的交线即圆的一部分故选A二、填空题

9、7(文)已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mxy0，若m为集合1,2,3,4,5,6,7,8,9中任意一个值，则使得双曲线的离心率大于3的概率是_答案eq f(7,9)解析由题意知双曲线方程可设为m2x2y21，从而eeq r(m21)3，m0，m2eq r(2)，故所求概率是eq f(7,9)，故填eq f(7,9).(理)(2014浙江)设直线x3ym0(m0)与双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P(m,0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_答案eq f(r(5),2)解析联立渐近线与直线方程可解得A

10、(eq f(am,3ba)，eq f(bm,3ba)，B(eq f(ma,3ba)，eq f(bm,3ba)，则kABeq f(1,3)，设AB的中点为E，由|PA|PB|，可知AB的中点E与点P两点连线的斜率为3，eq f(b3a,3ba)eq f(b3a,3ba)6，化简得4b2a2，所以eeq f(r(5),2).8(2014温州十校联考)过双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左焦点F作圆x2y2a2的两条切线，记切点分别为A、B，双曲线的左顶点为C，若ACB120，则双曲线的离心率e_.答案2解析连接OA，根据题意以及双曲线的几何性质，|FO|c，|OA

11、|a，而ACB120，AOC60，又FA是圆O的切线，故OAFA，在RtFAO中，容易得到|OF|2a，eeq f(c,a)2.9(文)(2013北京大兴模拟)已知双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左顶点与抛物线y22px(p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为_答案2eq r(5)解析由eq blcrc (avs4alco1(yf(b,a)x，,xf(p,2)，)解得eq blcrc (avs4alco1(yf(bp,2a)，,xf(p,2)，)由题意得eq blcrc (avs4alco1(f(b

12、p,2a)1，,f(p,2)2，)得eq blcrc (avs4alco1(f(b,a)f(1,2)，,p4，)又已知eq f(p,2)a4，故a2，b1，ceq r(a2b2)eq r(5).所以双曲线的焦距2c2eq r(5).(理)(2014深圳调研)已知双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)与椭圆eq f(x2,9)eq f(y2,4)1有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y2x，则双曲线C的方程为_答案x2eq f(y2,4)1解析易得椭圆的焦点为(eq r(5)，0)，(eq r(5)，0)，eq blcrc (avs4alco1(a2b25,f(

13、b,a)2)，a21，b24，双曲线C的方程为x2eq f(y2,4)1.三、解答题10(文)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为eq r(2)，且过点(4，eq r(10)(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：eq o(MF1,sup6()eq o(MF2,sup6()0；(3)在(2)的条件下，求F1MF2的面积解析(1)eeq r(2)，可设双曲线方程为x2y2(0)，双曲线过点(4，eq r(10)，1610，即6，双曲线方程为eq f(x2,6)eq f(y2,6)1.(2)证明：法1：由(1)可知，双曲线中abeq r(6)，c2eq

14、r(3)，F1(2eq r(3)，0)，F2(2eq r(3)，0)，kMF1eq f(m,32r(3)，kMF2eq f(m,32r(3)，kMF1kMF2eq f(m2,912)eq f(m2,3)，点M(3，m)在双曲线上，m23，kMF1kMF21，MF1MF2，即eq o(MF1,sup6()eq o(MF2,sup6()0.法2：eq o(MF1,sup6()(2eq r(3)3，m)，eq o(MF2,sup6()(2eq r(3)3，m)，eq o(MF1,sup6()eq o(MF2,sup6()(2eq r(3)3)(2eq r(3)3)m23m2，点M在双曲线上，9m26

15、，即m230，eq o(MF1,sup6()eq o(MF2,sup6()0.(3)F1MF2的底边长|F1F2|4eq r(3)，F1MF2的高h|m|eq r(3)，SF1MF26.(理)(2013铜陵一模)若双曲线E：eq f(x2,a2)y21(a0)的离心率等于eq r(2)，直线ykx1与双曲线E的右支交于A，B两点(1)求k的取值范围；(2)若|AB|6eq r(3)，点C是双曲线上一点，且eq o(OC,sup6()m(eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，求k，m的值解析(1)由eq blcrc (avs4alco1(f(c,a)r(2)，,a2c21，)

16、得eq blcrc (avs4alco1(a21，,c22，)故双曲线E的方程为x2y21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,x2y21，)得(1k2)x22kx20.直线与双曲线右支交于A，B两点，故eq blcrc (avs4alco1(k1，,2k241k220，)即eq blcrc (avs4alco1(k1，,r(2)kr(2)，)所以1keq r(2).(2)由得x1x2eq f(2k,k21)，x1x2eq f(2,k21)，|AB|eq r(1k2)eq r(x1x224x1x2)2eq r(f(1k22k2,k212)

17、6eq r(3)，整理得28k455k2250，k2eq f(5,7)或k2eq f(5,4).又1k0，a0)与抛物线yeq f(1,8)x2有一个公共焦点F，双曲线的过点F且垂直于y轴的弦长为eq f(2r(3),3)，则双曲线的离心率等于()A2Beq f(2r(3),3)Ceq f(3r(2),2)Deq r(3)答案B解析双曲线与抛物线x28y的公共焦点F的坐标为(0,2)，由题意知(eq f(r(3),3)，2)在双曲线上，于是eq blcrc (avs4alco1(a2b24,f(1,3b2)f(4,a2)1)，得a23，b21，故eeq f(c,a)eq f(2r(3),3)，

18、故选B(理)(2013安徽皖南八校联考)设F1，F2分别是双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使eq o(PF1,sup6()eq o(PF2,sup6()0，且F1PF2的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为()Aeq r(2)Beq r(3)C2D5答案D解析设|PF1|m，|PF2|n，且mn，|F1F2|2c，由题可知F1PF2为直角三角形且F1F2为斜边由双曲线的几何性质和直角三角形的勾股定理得eq blcrc (avs4alco1(mn2a，,m2n24c2，,2mn2c，)由得eq blcrc (avs4

19、alco1(m2c2a，,n2c4a，)代入得(2c2a)2(2c4a)24c2，整理得c26ac5a20，等式两边同时除以a2得e26e50，解得e5或e1.因为双曲线的离心率e1，所以e5.12(2014重庆理)设F1，F2分别为双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|eq f(9,4)ab，则该双曲线的离心率为()Aeq f(4,3)Beq f(5,3)Ceq f(9,4)D3答案B解析由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|3b，所以(|PF1|PF2|)2(|P

20、F1|PF2|)29b24a2，即4|PF1|PF2|9b24a2，又4|PF1|PF2|9ab，因此9b24a29ab，即9(eq f(b,a)2eq f(9b,a)40，则(eq f(3b,a)1)(eq f(3b,a)4)0，解得eq f(b,a)eq f(4,3)(eq f(b,a)eq f(1,3)舍去)，则双曲线的离心率eeq f(5,3).13(2014湖北文)设a，b是关于t的方程t2costsin0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线eq f(x2,cos2)eq f(y2,sin2)1的公共点的个数为()A0B1C2D3答案A解析关于t的方程

21、t2costsin0的两个不等实根为0，tan(tan0)，A(0,0)，B(tan，tan2)，则过A，B两点的直线方程为yxtan，双曲线eq f(x2,cos2)eq f(y2,sin2)1的渐近线方程为yxtan，所以直线yxtan与双曲线没有公共点，故选A14(文)若原点O和点F(2,0)分别为双曲线eq f(x2,a2)y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则eq o(OP,sup6()eq o(FP,sup6()的取值范围为()A32eq r(3)，)B32eq r(3)，)Ceq f(7,4)，)Deq f(7,4)，)答案B解析a21224，a23，双曲

22、线方程为eq f(x2,3)y21.设P点坐标为(x，y)，则eq o(OP,sup6()(x，y)，eq o(FP,sup6()(x2，y)，y2eq f(x2,3)1，eq o(OP,sup6()eq o(FP,sup6()x22xy2x22xeq f(x2,3)1eq f(4,3)x22x1eq f(4,3)(xeq f(3,4)2eq f(7,4).又xeq r(3)(右支上任意一点)，eq o(OP,sup6()eq o(FP,sup6()32eq r(3).故选B(理)设F1、F2分别是双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线右支上存

23、在一点P满足|PF2|F1F2|，且cosPF1F2eq f(4,5)，则双曲线的渐近线方程为()A3x4y0B3x5y0C4x3y0D5x4y0答案C解析在PF1F2中，由余弦定理得，cosPF1F2eq f(|PF1|2|F1F2|2|PF2|2,2|PF1|F1F2|)eq f(|PF1|2,4c|PF1|)eq f(|PF1|,4c)eq f(4,5).所以|PF1|eq f(16,5)c.又|PF1|PF2|2a，即eq f(16,5)c2c2a，所以ceq f(5,3)a.代入c2a2b2得eq f(b,a)eq f(4,3).因此，双曲线的渐近线方程为4x3y0.二、填空题15(

24、文)(2013湖南)设F1，F2是双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的两个焦点，若在C上存在一点P，使PF1PF2，且PF1F230，则C的离心率为_答案eq r(3)1解析由已知可得，|PF1|2ccos30eq r(3)c，|PF2|2csin30c，由双曲线的定义，可得eq r(3)cc2a，则eeq f(c,a)eq f(2,r(3)1)eq r(3)1.(理)(2014山东日照模拟)已知F1，F2为双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q.且F1PQ为正三角形，则双曲线的渐

25、近线方程为_答案yeq r(2)x解析设F2(c,0)(c0)，P(c，y0)，代入双曲线方程得y0eq f(b2,a)，PQx轴，|PQ|eq f(2b2,a).在RtF1F2P中，PF1F230，|F1F2|eq r(3)|PF2|，即2ceq r(3)eq f(b2,a).又c2a2b2，b22a2或2a23b2(舍去)，a0，b0，eq f(b,a)eq r(2).故所求双曲线的渐近线方程为yeq r(2)x.16P为双曲线x2eq f(y2,15)1右支上一点，M、N分别是圆(x4)2y24和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为_答案5解析双曲线的两个焦点为F1(4,0

26、)、F2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r12，r21，|PM|max|PF1|2，|PN|min|PF2|1，故|PM|PN|的最大值为(|PF1|2)(|PF2|1)|PF1|PF2|35.三、解答题17(文)(2013江苏泰州质检)已知点N(1,2)，过点N的直线交双曲线x2eq f(y2,2)1于A，B两点，且eq o(ON,sup6()eq f(1,2)(eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(1)求直线AB的方程；(2)若过N的另一条直线交双曲线于C，D两点，且eq o(CD,sup6()eq o(AB,sup6()0，那么A，B，C，D四点是否共圆？为什么

27、？解析(1)由题意知直线AB的斜率存在设直线AB：yk(x1)2，代入x2eq f(y2,2)1得，(2k2)x22k(2k)x(2k)220.(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两根，2k20且x1x2eq f(2k2k,2k2).eq o(ON,sup6()eq f(1,2)(eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，N是AB的中点，eq f(x1x2,2)1，k(2k)k22，k1，AB的方程为yx1.(2)将k1代入方程(*)得x22x30，x1或x3，不妨设A(1,0)，B(3,4)eq o(CD,sup6()eq o(AB,sup6

28、()0，CD垂直平分ABCD所在直线方程为y(x1)2，即y3x，代入双曲线方程整理得x26x110，令C(x3，y3)，D(x4，y4)及CD中点M(x0，y0)，则x3x46，x3x411，x0eq f(x3x4,2)3，y06，即M(3,6)|CD|eq r(1k2)|x3x4|eq r(1k2)eq r(x3x424x3x4)4eq r(10)，|MC|MD|eq f(1,2)|CD|2eq r(10)，|MA|MB|2eq r(10)，即A，B，C，D到M的距离相等，A，B，C，D四点共圆(理)(2014广东肇庆一模)设双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，

29、b0)的一个焦点坐标为(eq r(3)，0)，离心率eeq r(3)，A，B是双曲线上的两点，AB的中点为M(1,2)(1)求双曲线C的方程；(2)求直线AB的方程；(3)如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C，D两点，那么A，B，C，D四点是否共圆？为什么？解析(1)依题意得eq blcrc (avs4alco1(cr(3)，,ef(c,a)r(3)，)解得a1.所以b2c2a2312，故双曲线C的方程为x2eq f(y2,2)1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有eq blcrc (avs4alco1(xoal(2,1)f(yoal(2,1),2)1，,xoal(2,2)f(

30、yoal(2,2),2)1.，)两式相减得(x1x2)(x1x2)eq f(1,2)(y1y2)(y1y2)，由题意得x1x2，x1x22，y1y24，所以eq f(y1y2,x1x2)eq f(2x1x2,y1y2)1，即kAB1.故直线AB的方程为yx1.(3)假设A，B，C，D四点共圆，且圆心为P.因为AB为圆P的弦，所以圆心P在AB的垂直平分线CD上又CD为圆P的弦且垂直平分AB，故圆心P为CD中点M.下面只需证CD的中点M满足|MA|MB|MC|MD|即可由eq blcrc (avs4alco1(yx1，,x2f(y2,2)1，)得A(1,0)，B(3,4)由此可得直线CD方程：yx

31、3.由eq blcrc (avs4alco1(yx3，,x2f(y2,2)1，)得C(32eq r(5)，62eq r(5)，D(32eq r(5)，62eq r(5)，所以CD的中点M(3,6)因为|MA|eq r(436)2eq r(10)，|MB|eq r(364)2eq r(10)，|MC|eq r(2020)2eq r(10)，|MD|eq r(2020)2eq r(10)，所以|MA|MB|MC|MD|，即A，B，C，D四点在以点M(3,6)为圆心，2eq r(10)为半径的圆上18(文)已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线与圆x2y210 x200相切过点P(4,0)作

32、斜率为eq f(r(7),4)的直线l，交双曲线左支于A、B两点，交y轴于点C，且满足|PA|PB|PC|2.(1)求双曲线的标准方程；(2)设点M为双曲线上一动点，点N为圆x2(y2)2eq f(1,4)上一动点，求|MN|的取值范围解析(1)设双曲线的渐近线方程为ykx，因为渐近线与圆(x5)2y25相切，则eq f(|5k|,r(k21)eq r(5)，即keq f(1,2)，所以双曲线的渐近线方程为yeq f(1,2)x.设双曲线方程为x24y2m，将yeq f(r(7),4)(x4)代入双曲线方程中整理得，3x256x1124m0.所以xAxBeq f(56,3)，xAxBeq f(1124m,3).因为|PA|