2016级第6周数学史

1、PAGE PAGE 7几何学的发展历程浅谈欧几里得几何与非欧几里得几何的发展史【学院】：数学与信息学院【专业】：数学与应用数学【学生】：2009级01班 余永香【学号】：200908140148【指导老师】：杨 孝 斌【摘要】：在希腊语中，“几何学”是由“地”与“测量”合并而来的，本来有测量土地的含义，意思就是“测地术”。“几何学”这个名词，是我国明代数学家徐光启根据读音译出的，沿用至今。几何学分为欧几里得几何与非欧几里得几何。非欧几何有三种不同的含义：狭义的，单指罗氏( HYPERLINK /datebase/briefing/scientist/18st/luo_ba_qie_fu_si_

2、ji.htm t contents 罗巴切夫斯基)几何；广义的，泛指一切和欧氏(欧几里得)几何不同的几何；通常意义的，指罗氏几何和黎曼几何。几何学有着悠久的发展史，是为后人学习、创新极佳的的非物质产品。【关键词】：几何学；欧几里得；罗巴切夫斯基；发展史 （）什么是几何学？它是研究现实世界空间形式的一门学科，也是研究一般空间结构的学科。1-1几何学的发展简史。几何学的发展主要经历了四个阶段：经验事实的积累和初步整理。理论几何的形成与发展。解析几何的产生和发展。现代几何的发展。1-2几何学的分支学科。它的分支学科有：平面几何、立体几何、非欧几何、罗氏几何、黎曼几何、解析几何、射影几何、仿射几何、代

3、数几何、微分几何、计算几何、分形几何、拓扑学等。（）欧几里得几何与非欧几何的产生与发展。2-1几何原本的由来。大约公元前1650年，埃及人阿默斯（Ahrmes，生卒年月不详）手抄了一本书，即后人所称得“阿默斯手册”，最早发现于埃及底比斯的废墟中。公元1858年由英国的埃及学者莱因德（A.H.Rhind）购得，故又名“莱茵德纸草书”。此书中载有很多关于面积的测量法以及关于埃及金字塔的几何问题，它是世界上最古老的数学书。古代埃及虽然积累了很多的几何知识，但是还没有组织成一门系统的科学。直到后来希腊与埃及通商，几何知识渐渐传入希腊，在希腊得到光辉的发展。在古希腊，许多数学家，如泰勒斯（约公元前625

4、前547年）、毕达哥拉斯（约公元前582前493年）、希波克拉底（公元前5世纪中期）、柏拉图（约公元前427前347年）、欧几里得（约公元前330前275年）等人，对几何作出了很大的贡献。泰勒斯曾发现若干几何定理和证明的方法，这是理论几何是的开端，他还利用几何定理来解决实际问题，凭一根竹竿就可以测的金字塔的高。毕达哥拉斯认为数学是一切学问的基础，他对几何有很多研究，著名的勾股定理在西方就叫做“毕达哥拉斯定理”。希波克拉底是编著第一部初等几何教科书，并首先使用“反证法”的人，他还与柏拉图等同为研究“几何三大问题”的人，并因此发现了许多几何定理。柏拉图首创证题利器“分析法”，而确立缜密的定义和明晰

5、的公理作为几何学的基础，这种思想也由柏拉图开其先河。而数学家欧几里得搜集了一大堆杂乱无章的前人留下来的数学知识。欧几里得深知，要使数学得以广泛流传，就必须将这些数学知识条理化、系统化，成为一个完整的理论体系。 他做了三件大事：首先为数学体系寻找一个理论框架，这就是亚里士多德形式逻辑的演绎体系，它就相当于穿珍珠的线，有了它，各种数学公式、定理之间的承接关系便一目了然，数学是“演绎的”这一逻辑特性也因此而确定了下来。其次，为了演绎系统的需要，欧几里得十分精细地对所有的数学命题加以分析，确定它们各自的位置，哪些可以放在最前面，其正确性不须证明，称之为公理；哪些命题放在中间或后面，要依靠公理或前面已被

6、证明的命题来证明其正确性，这些称为定理。概念也须一一加以定义，在定义中出现的概念必须是已被定义过的。这样一步步追溯上去，总有一些概念是处于这一“逻辑链”的最前头，被称为“原始概念”。完成这一工作需要清晰的头脑、坚强的毅力和有条不紊的工作，这也是欧几里得数学才华的真正展现。第三，欧几里得在前人工作的基础上，根据他所构造的数学体系进一步向前推演，得到了一批新的定理，充分显示了他的创造性思维能力，经数载辛勤劳动，欧几里得的鸿篇巨著几何原本终于在公元前300年问世了！从1482年拉丁文本首次在威尼斯印刷出版到19世纪末，它的各种版本用各种语言出了1000版以上。在这之前，它的手抄本统治几何学也已达18

7、00年之久。欧几里得的影响如此深远，以致他的名字成了“几何学”的同义语，这本西方最古老的数学著作，为2000年来用公理法建立演绎的数学体系树立了最早也是最光辉的典范。22欧几里得几何原本第五公设证明问题的争议。几何原本共十三卷。每卷都是以一些概念的定义、公理和公设为基础的。第一卷便是以二十三个定义、五个公理和五个公设开始的。第一卷的第五公设在欧几里得几何的所有的几何公设中显得无比特殊。即是：“过直线外的一点能且只能作一条直线与已知直线平行”。第五公设能不能证明一直是人们心中的疑问。从古希腊时代开始数学家们就一直试图把它当作一条定理由其他公设、公理推导出来。古希腊天文学家托勒玫第一个作第五公设证

8、明的重大尝试。接着中世纪的阿拉伯数学家奥马海姆亚、纳西尔.丁、沃利斯等，但都没有对数学思想的进展产生多大的现实意义。23非欧几何的发现与发展。在18世纪中叶前后，在对第五公设的研究开始出现有意义的进展。代表人物是意大利数学家萨凯里、德国数学家克吕格尔和瑞士数学家兰伯特。萨凯里首先使用归谬法来证明第五公设。克吕格尔是第一个怀疑第五公设能否由欧式几何的其他公理加以证明的科学家。1776年，兰伯特写了平行线理论一书，他最先认识到一组假设如果不引起矛盾的话，就提供了一种可能的几何，因此，兰伯特最先指出了通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学的道路。在非欧几何正式建立之前，最先认识到非欧几何是一种逻辑

9、上相容并且可以描述物质空间、像欧氏几何一样正确的新几何学的是高斯。认识到非欧几何的还有匈牙利青年J.波约和俄国数学家罗切夫斯基。而高斯、波约的正确理论都因客观因素没有正式发表。在非欧几何的三位发明人中，只有罗巴契夫斯基于最早、最系统地发表了自己的研究成果，并且也是最坚定地宣传和捍卫自己的新思想的一位数学家。1829年发表的论几何原理是历史上第一篇公开发表的非欧几何文献。在非欧几何中，他假设“过不在已知直线上的一点，可以引至少两条直线平行于已知直线”，用以代替第五公设，同时保留了欧氏几何的其它公设。 非欧几何从发现到普遍接受，经历了曲折的道路。要达到这一目标，需要确实建立非欧几何自身的无矛盾性和现实意义。罗切夫斯基终其一生努力也没有这一目标。继他之后，德国数学家黎曼在1854年发展了罗切夫斯基等人的思想而建立了一种更广泛的几何。他创立了黎曼几何不仅是对已经出现的罗切夫斯基几何的承认，而且显示了创造其他非欧几何的可能性。1871年，克莱因把这3种几何：罗巴契夫斯基鲍耶的、欧几里得的和黎曼的分别定名为双曲几何、抛物几何和椭圆几何。19世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱因和法国数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型，从而揭示了非欧几何的现实意义。