中考培优竞赛专题经典讲义 第6讲 巧用旋转解题

1、第6讲 巧用旋转解题【例题讲解】一、当条件中出现“邻边相等对角互补半角”例题1、如图，将RtABC沿斜边AC翻折得到RtADC，E、F分别是BC、CD边上的点，EAFBAD，连结EF，试猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的结论.【解析】如图，延长CB到Q，使BQDF，连接AQ，ABC与ADC关于AC对称，ABCADC，ABAD，ABCD.ABC90，ABQD90.易证ADFABQ（SAS），AQAF，QABDAF，EAFBAD，DAFBAEEAF，BAQBAEEAF，即EAQEAF，易证EAQEAF（SAS），EFEQBEBQBEDF.二、当条件中出现“邻边相等半角”例题2、

2、如图，等边ABC中，点P，Q在边BC上，且PAQ30.若BP2，QC3，则ABC的边长为 .【解析】将ABP绕点A逆时针旋转60，得到ACP，连接QP，易证AQPAQP，PCD60，过PD作PDBC，交BC延长线于点D，在RtPCD中，可得CD1，PD，在RtPQD中，可计算出QP，PQ，边长为5.三、当条件中出现“邻边相等对角互补”例题3、如图，在O的内接四边形ABCD中，AB3，AD5，BAD60，点C为弧BD的中点，则AC的长是 .【解析】由点C为弧BD中点，可得BCCD，BACCAD，即出现“邻边相等”，所以将ABC绕点C旋转至BC与CD重合，如图可得ACE为等腰三角形，顶角ACEBC

3、D120，底边长AEADDEADAB358，所以在底角为30的等腰ACE中即可求出AC.四、仅有“邻边相等”例题4、如图，在等边ABC中有一点P，PA2，PB4，PC2.（1）求APB的度数；（2）求ABP的面积；（3）求APC的面积；（4）求ABC的面积.【解析】（1）如图，ABC为等边三角形，ABAC，BAC60；将ABP绕点A逆时针旋转60，到ACQ的位置，连接PQ；则AQAP2，CQBP4；PAQ60，APQ为等边三角形，PQPA2，AQP60；在PQC中，满足PC2PQ2CQ2，PQC90，AQC150，APBAQC150，故答案为150.（2）由（1）可知APB150，如图，延长B

4、P，过点A作ADBD，交BP延长线于点D.APD30，ADAP，SAPBBPAD42.（3）可知SABPSAPCS四边形APCQ.S四边形APCQSAPQSPQC，SABPSAPCSAPQSPQC，2SAPC（2）2427.SAPC5，（4）在RtABD中，AD，BD437，AB2.由等边三角形面积公式可得SABC（2）213.【巩固练习】1、如图ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，BDCD，BDC120，以D为顶点作一个60角，使其角的两边分别交AB、AC边于M、N，连接MN，则AMN的周长为 .2、如图，在四边形ABCD中，ABCADC180，ABAD，AEBC于点E.若AE

5、18，BC10，CD6，则四边形ABCD的面积为 .3、已知点P为等边ABC内一点，APB112，APC122，若以AP、BP、CP为边长可以构成一个三角形，那么所构成三角形的各内角的度数是 .4、如图，P为正方形ABCD内一点，且PC3，APB135，将APB绕点B顺时针旋转90得到CPB，连接PP.若BP的长为整数，则AP .5、如图，E是正方形ABCD内一点，E到点A、D、B的距离EA、ED、EB分别为1、3、2，延长AE交CD于点F，则四边形BCFE的面积为 .6、如图，在菱形ABCD中，A60，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AEDF，连接BF与DE相交于点G，

6、连接CG与BD相交于点H.给出如下几个结论：AEDDFB；S四边形BCDGCG2；若AF2DF，则BG6GF；CG与BD一定不垂直；BGE的大小为定值.其中正确的结论是 .7、五边形ABCDE中，ABAE，BCDECD，ABCAED180，求证：AD平分CDE.8.如图，AB为O的直径，点C在O上，连接AC和BC，ACB的平分线交O于点D，求证：ACBCCD.9、正方形ABCD的四个顶点都在O上，E是O上的一点.（1）如图1，若点E在弧AB上，F是DE上的一点，DFBE.求证：ADFABE；（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DEBEAE.请你说明理由；（3

7、）如图2，若点E在弧AD上.写出线段DE、BE、AE之间的等量关系.（不必证明）.10、问题背景：如图1：在四边形ABCD中，ABAD，BAD120，BADC90.E，F分别是BC，CD上的点.且EAF60.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DGBE.连结AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是 ；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，ABAD，BD180.E，F分别是BC，CD上的点，且EAFBAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的

8、A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离.11、如图，己知直线l1l2，一个45角的顶点A在l1上，过A作ADl2，垂足为D，AD6.将这个角绕顶点A旋转（角的两边足够长）.（1）如下图，旋转过程中，若角的两边与l2分别交于B、C，且ABAC，求BD的长.为了解决这个问题，下面提供一种解题思路：如图，作DAP45，AP与l2相交于点P，过点C作CQ

9、AP于点Q.DAPBAC45，BADCAQ，请你接下去完成解答.（2）旋转过程中，若角的两边与l2，分别交于E、F（E在F左面），且AEAF，DF2，求DE的长.请你借鉴（1）的做法在备用图中画图并解答这个问题.参考答案1.解：BDC是等腰三角形，且BDC120BCDDBC30ABC是边长为3的等边三角形ABCBACBCA60DBADCA90延长AB至F，使BFCN，连接DF，在RtBDF和RtCND中，BFCN，DBDCBDFCDN，BDFCDN，DFDNMDN60BDMCDN60BDMBDF60，FDM60MDN，DM为公共边DMNDMF，MNMFAMN的周长是：AMANMNAMMBBFA

10、NABAC62.解：如图，过点A作AFCD交CD的延长线于F，连接AC，则ADFADC180，ABCADC180，ABCADF，易证ABEADF（AAS），AFAE19，S四边形ABCDSABCSACDBCAECDAF10196199557152.故答案为：1523.解：如图，将APC绕点A顺时针旋转60得到ABE，连接PEAEAP，EAPBAC60，EAP是等边三角形，EABPAC，AEPAPE60，PAPE，易证EAPPAC，EBPC，PA、PB、PC组成的三角形就是PEB，APB112，APE60，EPB52，AEBAPC122，AEP62，PEB66，EBP180BEPEPB66故答案

11、为52、62、664.解：BPC是由BPA旋转得到，APBCPB135，ABPCBP，BPBP，APCP，ABPPBC90，CBPPBC90，即PBP90，BPP是等腰直角三角形，BPP45，APBCPB135，PPC90，设BPBPa，APCPb，则PPa，在RtPPC中，PP2PC2PC2，且PC3，CP，BP的长a为整数，满足上式的a为1或2，当a1时，APCP，当a2时，APCP1，故答案为：或1.5.解：如图，将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABM，作DNAF垂足为N，AMAE1，MAE90，ME，BM2ME2（3）2（）220，BE2（2）220，BM2ME2BE2，BME90，A

12、MEAEM45，AMBAED135在RTDEN中，DE3，DEN45，DNEN3，AN4，AD5，DANDAF，ANDADF90，ADNAFD，AF，NF，SABESADESABMSABESAMESBME113，SEDF（3）3，S四边形BCFES正方形ABCD（SABESAED）SEFD25.故答案为.6.解：ABCD为菱形，ABAD，ABBD，ABD为等边三角形，ABDF60，又AEDF，ADBD，AEDDFB，故本选项正确；BGEBDGDBFBDGGDF60BCD，即BGDBCD180，点B、C、D、G四点共圆，BGCBDC60，DGCDBC60，BGCDGC60，过点C作CMGB于M，

13、CNGD于N（如图1），则CBMCDN（AAS），S四边形BCDGS四边形CMGNS四边形CMGN2SCMG，CGM60，GMCG，CMCG，S四边形CMGN2SCMG2CGCGCG2，故本选项错误；过点F作FPAE交DE于P点（如图2），AF2FD，FP：AEDF：DA1：3，AEDF，ABAD，BE2AE，FP：BEFP：2AE1：6，FPAE，PFBE，FG：BGFP：BE1：6，即BG6GF，故本选项正确，当点E，F分别是AB，AD中点时（如图3），由（1）知，ABD，BDC为等边三角形，点E， F分别是AB，AD中点，BDEDBG30，DGBG，易证GDCBGC，DCGBCG，CHB

14、D，即CGBD，故本选项错误；BGEBDGDBFBDGGDF60，为定值，故本选项正确；综上所述，正确的结论有，共3个，故选：B证明：如图，连接AC，将ABC绕A点旋转120到AEF，ABAE，BAE120，AB与AE重合，并且ACAF，又ABCAED180，而ABCAEF，AEFAED180，D，E，F在一条直线上，而BCEF，BCDECD，CDDF，又ACAF，ACDAFD，ADCADF，即AD平分CDE8.证明：过点D作DFCA，垂足F在CA的延长线上，作DGCB于点G，连接DA，DBCD平分ACB，ACDBCD，DFDG，DADB.AFDBGD90，易证RtAFDRtBGD（HL），A

15、FBG，同理：RtCDFRtCDG（HL），CFCG。ACBCCFAFAGBGCFCG2CF，AB是直径，ACB90，ACD45，CDF是等腰直角三角形，CFCD，ACBC2CFCD；9.答案：（1）证明：在正方形ABCD中，ABAD，1和2都对，12，易证ADFABE（SAS）；（2）由（1）有ADFABE，AFAE，34.在正方形ABCD中，BAD90.BAF390.BAF490.EAF90.EAF是等腰直角三角形.EF2AE2AF2.EF22AE2.EFAE.即DEDFAE.DEBEAE.（3）BEDEAE理由如下：在BE上取点F，使BFDE，连接AF.易证ADEABF，AFAE，DAE

16、BAF.在正方形ABCD中，BAD90.BAFDAF90.DAEDAF90.EAF90.EAF是等腰直角三角形EF2AE2AF2.EF22AE2.EFAE.即BEBFAE.BEDEAE.10.答案：问题背景：EF=BE+FD.探索眼神：成立，提示，在CD的延长线上截取DG=BE，如图，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论.实际应用：连接EF，延长AE、BF交于点C，AOB=30+90+（90-70）=140，EOF=70，EOF=AOB，OA=OB，OAC+OBC=（90-30）+（70+50）=180，符合探索延伸中的条件结论EF=AE+BF成立，即EF=1.5（60+80）=210海里，答：此时两舰艇之间的距离是210海里11.解：（1）ADl2，CQAP，ADBAQC90，又ABAC，易证ABDACQ（AAS），BDCQ，AQAD6，DAPBAC45，ADP、CQP是等腰直角三角形，AP6，QP66，BDCQQP66.（2）