绝对值三角不等式的应用

1、绝对值三角不等式的应用选修4-5 第一讲 授课班级：高二7班 高州市第四中学：黄坚 近年高考全国卷的最后一道选做题，主要考察含有两个绝对值不等式的问题。本题共分两小题，第一小题主要考察求解集的，第二小题一般是考察恒成立（最值）的问题。链接高考1.温故而知新 绝对值三角不等式： | |a|-|b| | |ab| |a| + |b|2.合作讨论，探索新知探究1：你能根据上面的绝对值三角不等式，得出|a|-|b|的取值范围吗？结论：|a|-|b|有最大值是|ab|，最小值是-|ab|。探究2：作为函数的最大（小）值，必须满足什么条件？不是常数可以吗？教学活动：学生小组讨论。结论：必须保证|a+b|（

2、或者|a-b|）为常数，才能取得最值。探究3：你能根据上面的绝对值三角不等式，得出|a|+|b|的取值范围吗？取得最值的条件又是什么呢？结论：|a|+|b|有最小值是|ab|，其中必须保证|a+b|（或者|a-b|）为常数。3.学以致用例题【1】解决一些简单的关于含两个绝对值的不等式的最值问题。 （1）求函数|x-3|-|x+1|的最大值和最小值； （2）求函数|x-3|+|x+1|的最小值； （3）求函数|2x+1|+|5-2x|的最小值.（2） |x-3|+|x+1| |（x-3）-（x+1）|=4 函数 |x-3|+|x+1|的最小值是4.（3） |2x+1|+|5-2x| |（2x+1

3、）+（5-2x） |=6 函数 |2x+1|+|5-2x|的最小值是6.例题【1】巩固练习：（1）求函数|2x-5|-|2x+3|的最大值和最小值；（2）求函数|2x-5|+2|3-x|的最小值.答案：（1） 函数|2x-5|-|2x+3|的最大值是8， 最小值是-8.（2）函数|2x-5|+2|3-x|的最小值是1.4.知识转化与拓展应用例题【2】解决一些简单的关于含两个绝对值的不等式的恒成立问题。 (1)若|x+3|-|x-1| 对于任意实数x恒成立，求实数a的取值范围。 （2）关于x的不等式 |x+2|+|x-1|m在R上恒成立等价于 f(x)的最小值m. 2. 若f(x)m在R上恒成立

4、等价于 f(x)的最大值m. 例题【2】巩固练习： （1）若关于x的不等式 |x-a|+|x+4|1的解集为R,则实数a的取值范围是（ ）A.(-,3U5，+) B.-5，-3C.3，5 D.(-,-5U-3，+) (2)若关于x的不等式 |x-2|+|x+3|m的解集为 ，实数m的取值范围是 。Dm5 例题【3】解决含两个绝对值的不等式“有解”（也即是“解集非空”）的问题。 若关于x的不等式 |x-4|+|x+5|m的有解等价于 f(x)的最大值m. 2.若f(x)m的有解等价于 f(x)的最小值m. 5.课堂小结。 运用绝对值三角不等式能解决哪几类问题？它们对应的解决方法是什么？题型（1）：含两个绝对值的不等式的最值问题。题型（2）：含两个绝对值的不等式的恒成立问题。题型（3）：含两个绝对值的不等式的有解（即解集非空）问题。拓展与提高 1. 对任意实数x，若不等式|x+1|-|x-2|k恒成立，则k的取值范围是( )A.k-3 B.k-3 C.0k-3 D.k-3 2.若存在实数x满足|x-3|+|x-m|5，则实数m的取值范围为_ 3. 若不等式 对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是( )A.-1，1 B.（-1，1） C.（-2，2） D