关于足球门的危险区域的数学建模(共13页)

1、 足球门的危险(wixin)区域摘要(zhiyo)本文研究了足球门危险区域问题，利用题目所给条件和搜集的足球知识建立了一维正态分布模型(mxng)和二维正态分布模型，借助MATLAB软件对模型进行了求解和分析，回答了题目中所给问题。对于问题一，要求我们针对球员在不同位置射门对球门的威胁度进行研究，并绘制出球门的危险区域。我们在确定条件下，主要是针对同素质的球员在球场上任意一点射门时（此时无守门员），研究其对球门的威胁程度，将威胁度定义为进球成功概率。我们认为球员进球成功时所在射门位置在球场上是呈现正态分布的，球员在球场上任意位置射门的路径分解为水平方向和竖直方向，引进角度和建立两个一维正态分布

2、模型，借助MATLAB软件求解。对于问题二，在有一名守门员防守的情况下，要求我们对球员射门的威胁度和危险区域作进一步的研究。与第一问相比，多了一个守门员，球员进球成功率还与守门员有联系，因此球员进球成功的概率要降低。我们在确定的条件下，研究同素质的球员在球场上任一点射门时进球成功的概率（此时无守门员）和守门员扑球成功的概率，将威胁度定义为有守门员时球员进球成功概率。在问题一的基础上，重新建立关于和的二维正态分布模型，借助MATLAB软件求解。关键词：一维正态分布 二维正态分布 MATLAB软件 威胁程度 进球成功的概率 扑球成功的概率 危险区域一、问题重述在足球比赛中，球员在对方球门前不同的位

3、置起脚射门对球门的威胁(wixi)是不一样的。在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧射门；近距离的射门对球门的威胁要大于远射。已知标准球场(qichng)长104米，宽69米；球门高2.44米，宽7.32米。（如图） 实际中，球员之间的基本素质可能(knng)有一定差异，但对于职业球员来讲一般可认为这种差别不大。另外，根据统计资料显示，射门时球的速度一般在10米/秒左右。请你结合球场和足球赛的实际情况建模分析，并研究下列问题：针对球员在不同位置射门对球门的威胁度进行研究，并绘制出球门的危险区域；在有一名守门员防守的情况下，对球员射门的威胁度和危险区域作进一步的研究。二、基本假设（1）在理想状态下

4、，认为球员之间的基本素质相同，或差别不大；（2）不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响，设球速为10m/s；（3）球员射门只在前半场进行，为此假设前半场为有效射门区域；（4）只考虑标准球场：和球门： （5）球射向球门的路径均为直线，不考虑抛物线的情况。三、符号说明球门所在的平面；球员在球场上某点射门的水平方向上的角度；球员在球场上某点射门的竖直方向上的角度；球场上的射门点；球门(qimn)内的点；球员在球场上某点射门水平方向命中(mngzhng)球门的概率；球员在球场上某点射门竖直方向命中球门(qimn)的概率；球员在球场上某点射门命中球门的概率；衡量守门员水平方向控制角度的能力的系数；衡量守

5、门员垂直方向控制角度的能力的系数；守门员的反应时间。四、问题分析4.1问题一要确定足球门的危险区域，也就是要确定球员射门最容易进球成功的足球门中的区域。这样我们必须先研究球员在任一点位置射门时，进球成功的可能性的大小。球员无论从哪个位置射门，都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件。不同的一点在于在不同的位置射门进球成功的可能性的大小不一样。影响球员进球成功率的因素有很多，其中最重要的是球员的基本素质（技术水平）和射门时所在位置。对于每个球员来说，基本素质短期内是不可以改变的，所以我们认为球员的基本素质一样，或者差距不大。因此，我们在确定的条件下，对球员射门时所在位置进行分析，研究球员射球

6、时所在位置的不同与进球成功率的相互关系，即球员对球门的威胁程度。 在没有守门员的情况下，球员在某一位置向球门射球时，该球员的基本和球员射球所在位置到球门的距离决定了进球成功的概率。球员在球场上进球成功时，其射球时所在位置点将呈现一个固定的概率分布，稍作分析容易判断，该分布是正态分布。这里我们将球员在球场上任意位置射门的路径分解为水平方向和竖直方向，将两个方向命中球门的概率简单相乘，就可以得到球员在球场上某一点射中球门的概率，这个概率就可以用来定义改点对球门的威胁度。4.2问题二在有守门员的情况时，我们除了上述分析外，还需分析守门员扑球成功的概率。足球从对方球员起脚射门飞向球门的过程中，守门员在

7、防守时，需要一定的反应时间，所以我们在问题一的基础上，建立了二维正态分布模型。五、模型的建立及求解5.1问题一5.1.1模型(mxng)准备这里我们将球员在球场上任意位置射门的路径分解为水平(shupng)方向和竖直方向。在水平方向，球员实际看到的球门是原球门在球员正对的垂面上的投影区域，因此球员会尽量将球射向投影球门的中点以保证命中率，这样就会在该点附近形成一个概率分布。稍作分析容易断定该分布应当是正态分布，这是我们解决问题的关键所在。在垂直方向，球员会尽量压低球的出射高度以保证命中率，这样也会在竖直方向形成一个概率分布。同理，该分布也是正态分布。需要特别说明的是实际上球员只能踢到地面的上方

8、部分，因此该正态分布只取上半部分。这样我们将两个方向命中球门的概率简单相乘，就可以得到球员在球场上某一点射中球门的概率，这个概率就可以用来定义(dngy)改点对球门的威胁度。连续型随机变量的概率密度函数为：当时称服从标准正态分布：5.1.2模型的建立首先建立如图1所示的空间直角坐标系，即以球场右路的角球点为原点O，地面为xoy面，球门所在的平面为xoz面。图1 球门示意图BO根据前面的分析，球员在水平方向命中球门的概率满足：球员射门(sh mn)的期望是正对可射门区域角度为，假定该球员(qi yun)水平方向射门的标准差为。当球员水平方向(fngxing)射门的角度为时，命中球门的概率为：将球

9、员射门的角度化为标准正态，再用matlab计算得到球场上每一点水平方向射进球门的概率。相应的，垂直方向射进球门的概率满足：球员会尽量踢低平球以加大进球的概率，假定该球员竖直方向射门的标准差为。实际上球员只能踢到球场的地面以上的部分，做出修正过后得到，当球员竖直方向射门的角度为时，他能命中球门的概率为：将球员射门的角度化为标准正态后，再用matlab计算得到球场上每一点竖直方向射进球门的概率。这样就可以得到球场上每一点对球门的威胁度为：5.1.3模型的求解通过VC编程，可以分别得出水平方向和竖直方向命中球门的概率，部分结果见表1和表2（源代码见附录）。表1 水平方向命中球门的概率表2 竖直方向(

10、fngxing)命中球门的概率将两个概率相乘便可得到球场上每一点命中(mngzhng)球门的概率，即每一点的威胁度，部分结果见表3。表3 球场上每一点命中球门(qimn)的概率这样便可以绘出球场上的等威胁度曲线，见图2图2 球场(qichng)等威胁度曲线5.2问题(wnt)二5.2.1模型(mxng)准备假设守门员站在射门点与两球门柱所夹角平分线上，即守门员站在球门垂直射门线平面上的投影区域中心位置是最佳防守位置。球员在球场上某点对球门内任意一点起脚射门，经过时间到达球门平面，球到达该点时，守门员对球都有一个扑到球概率为，下面先分析一下这个函数的形式。首先注意到，当一定时，应该是一个以守门员

11、为中心向周围辐射衰减的二维函数，如图3(a)图3(b)给出的是相应的等值线图。图3(a)80 70 60 40 30 20 1080 70 60 40 30 20 10图3(b)当变小时，曲线(qxin)的峰度应增高，而面积减小，如图4(a)和图4(b)。图4(a)1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 80 70 60 40 30 20 1080 70 60 40 30 20 10图4(b)由图4可以看出该曲面的形式与二维正态分布的密度函数很相似，因此，我们采用该函数形式描述(mio sh)这种变化趋势。参数表示从起脚射出到球到达(dod)球门的时间，也就是给守门员的反应时间，该时间越长，曲

12、面越平滑，综上我们得到守门员扑球成功的概率：其中(qzhng)为守门员的反应系数，据专家预测(yc)，一般正常人的反应速度约为0.12-0.15s。根据(gnj)著名的“纸条试验”可得到一般人反应时间约为（即设想将一张纸条放在人的两手指之间。当纸条在重力的作用下自由下落时。由，可以计算出人的反应时间）。因此，我们在此不妨取t=1/7（实验值）。表示衡量守门员水平方向控制角度的能力的系数，表示衡量守门员垂直方向控制角度的能力的系数。我们根据大量的数据统计得到、的值，这里我们取=20，=10。5.2.2模型的建立在问题(1)的基础上，对球员在球场上每一点射入球门的概率应修正为即表示守门员扑到球的概

13、率，就表示扑不到球的概率。5.2.3模型的求解类似于问题(1)的求解可以得到球场上任意点对球门的威胁度，这里给出了部分结果，见表4。根据各点威胁度的值也可以作出球场上等威胁度的曲线，见图5。表4 有守门员时命中球门的概率图5 有守门员时的等威胁度曲线六、结果(ji gu)分析与评价比较两个问题的结果可以看出，问题（2）有防守的情况比问题（1）无防守的情况有很大差别，问题（2）主要是守门员的作用，使得危险区明显缩小。威胁度最大的区域还是球门(qimn)的附近，特别是正前方，由此也说明了球场上的大、小禁区设置的合理性。本模型(mxng)采用的值是估算出来的，严格地讲，应该通过大量的试验按统计规律确

14、定可能更好。我们通过计算证明了，当增加（即球员的素质增强）时，对球门的威胁明显增加，危险区域变大。相反的，当减小时，对球门的威胁度也减小，即危险区域变小，关于防守员素质，在模型中没有考虑，是为了问题的简化。关于有多名队员的进攻和防守的情况和派兵布阵的相关问题，就更复杂了。 由于(yuy)做了很多假设与简化，与实际可能有点偏差，另外另外该问题还有多种不同的解法，比如可以借助初等代数和初等几何的方法，在不同的射门点进行随机模拟，通过可能射入球门(qimn)的概率来定义威胁度函数，也能给出相应的结果。七、参考文献1韩中庚.数学(shxu)建模方法及应用：高等教育出版社，2005年6月.2关安霖.对足

15、球比赛得分区域的研究，中国科技创新导刊，2008年第20期.3王欣.析足球比赛中的最佳射门区域，南京体育学院学报，2002年第16卷第5期.4钟俊.对足球比赛邪门区域的分析体育承认教育学刊，2004年第20卷第3期.5姚凯.论进球射门区域，体育世界学术，2007年4月.6蔡国武，刘祚时，罗爱华.基于最大角的足球机器人贪心射门算法，机械工程与自动化，2009年第2期.附录1.竖直方向(fngxing)的威胁度（垂直角度）y=zeros(71,51); for i=0:70 for j=0:50if ( j = 0 & i = 32 & i =38 ) y(i+1,j+1)=90; elseif

16、( j = 0 & (i 38 ) y(i+1,j+1)=0; else y(i+1,j+1)=(atan(2.44/sqrt(i-35)2+j2)/(2*pi)*360; end end end y2.水平方向的威胁(wixi)度（水平角度）x=zeros(71,51); for i=0:70 for j=0:50if ( j = 0 & i = 32 & i =38 ) x(i+1,j+1)=180; elseif ( j = 0 & (i 38 ) x(i+1,j+1)=0; else x(i+1,j+1)=(atan(i-35+3.66)/j)-atan(i-35-3.66)/j)/(2*pi)*360; end end end x3.守门员扑球的概率(gil)p=zeros(71,51);for i=1:71 for j=1:51 x(i,j)=x(i,j)2/1600; y(i,j)=y(i,j)2/400; if (sqrt(i-1-35)2+(j-1)2)/10-1/70) p(i,j)=exp(-(x(i,j)+y(i,j)/(sqrt(i-1-35)2+(j-1)2)/10-1/7); else p(i,j)=0; end endendp 4.有守门员情况