九年级数学下册28.2-《解直角三角形及其应用》PPT课件

1、导入新课讲授新课当堂练习课堂小结28.2 解直角三角形及其应用第二十八章 锐角三角函数28.2.1 解直角三角形新课标人教版九年级数学下册学习目标1. 了解并掌握解直角三角形的概念；2. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系. (重点)3. 学会解直角三角形. (难点)导入新课ACBcba(1) 三边之间的关系:a2+b2=_；(2) 锐角之间的关系： A+B=_；(3) 边角之间的关系：sinA=_，cosA=_， tanA=_. 如图，在RtABC中，共有六个元素（三条边，三个角）， 其中C=90.c290复习引入讲授新课已知两边解直角三角形一在图中的RtABC中，(1) 根据A75，斜边

2、AB6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABC6合作探究75(2) 根据AC2.4，斜边AB6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABC62.4 在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素. 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.ABC解：典例精析例1 如图，在RtABC中，C = 90，AC = ， ，解这个直角三角形.在RtABC中，C90，a = 30，b = 20，根据条件解直角三角形. 解：根据勾股定理ABCb=20a=30c练一练已知一边及一锐角解直角三角形二例

3、2 如图，在RtABC中，C90，B35，b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).ABCb20ca35解：1. 在 RtABC 中，C90，B72，c = 14. 根据条件解直角三角形. ABCbac=14解：练一练2. 如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长提示：作CDAB于点D，根据三角函数的定义，在RtACD，RtCDB中，即可求出 CD，AD，BD 的长，从而求解在RtCDB中，DCB=ACBACD=45，D解：如图，作CDAB于点D，在RtACD中，A=30，ACD=90-A=60，BD=CD=2.已知一锐角三角函数值解直角三角形三例3 如图，在RtABC

4、中，C=90，cosA = ，BC = 5， 试求AB的长.ACB解：设在解直角三角形中，已知一边与一锐角三角函数值，一般可结合方程思想求解.ACB AB的长为1. 在RtABC中，C=90，sinA = ，BC=6，则 AB的值为 ( ) A4 B6 C8 D10 D2. 如图，在菱形ABCD中，AEBC于点E，EC=4， sinB ，则菱形的周长是 ( ) A10 B20 C40 D28 C练一练图提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论.例4 在ABC中，AB= ，AC=13，cosB= ，求BC的长.解：cosB = ，B=45，当ABC为钝角三角形时，如图，AC=13，由勾股定理得CD

5、=5BC=BD-CD=12-5=7；图当ABC为锐角三角形时，如图，BC=BD+CD=12+5=17. BC的长为7或17.当堂练习 C2. 如图，在RtABC中，C=90，B=30， AB=8，则BC的长是 ( ) D1. 在RtABC中，C=90，a，b，c分别是A， B，C的对边，则下列各式正确的是 ( ) A. b=atanA B. b=csinA C. b=ccosA D. a=ccosAACB3. 在RtABC中，C=90，B=37，BC=32，则 AC = (参考数据：sin370.60，cos370.80， tan370.75).4. 如图，已知RtABC中，斜边BC上的高AD

6、=3，cosB = ，则 AC 的长为 . 243.75 5. 如图，在RtABC中，C90，AC=6， BAC 的平分线 ，解这个直角三角形.解： AD平分BAC，DABC6解：过点 A作 ADBC于D.在ACD中，C=45，AC=2，CD=AD=sinC AC= 2sin45= .在ABD中，B=30，BD=BC=CD+BD= 6. 如图，在ABC中，B=30，C=45，AC=2， 求BC.DABC解直角三角形依据解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素勾股定理两锐角互余锐角的三角函数课堂小结导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第二十八章 锐角三角函数

7、第1课时 解直角三角形的简单应用新课标人教版九年级数学下册28.2 解直角三角形及其应用学习目标1. 巩固解直角三角形相关知识. (重点)2. 能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问 题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三 角函数解决问题(重点、难点)导入新课情境引入 高跟鞋深受很多女性的喜爱，但有时候，如果鞋跟太高，也有可能“喜剧”变“悲剧”. 美国人体工程学研究人员卡特 克雷加文调查发现，70以上的女性喜欢穿鞋跟高度为6至7cm左右的高跟鞋. 但专家认为穿6cm以上的高跟鞋，腿肚、脚背等处的肌肉非常容易疲劳. 若某成年人的脚掌长为15cm，鞋跟约在3cm左右高度为最佳. 据此，可以

8、算出高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11左右时，人脚的感觉最舒适.你知道专家是怎样计算的吗？在直角三角形中，除直角外，由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1. 解直角三角形(1) 三边之间的关系：a2b2c2（勾股定理）；2. 解直角三角形的依据(2) 两锐角之间的关系： A B 90；(3) 边角之间的关系：tanAsinAaccosAabcbcab讲授新课利用解直角三角形解决简单实际问题一棋棋去景点游玩，乘坐登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为30，你知道缆车垂直上升的距离是多少吗?ABABD30200mBD

9、=ABsin30=100m合作探究ABC棋棋乘缆车继续从点B到达比点B高 200m的点C， 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60，缆车行进速度为1m/s，棋棋需要多长时间才能到达目的地？ABDCE60200m棋棋需要231s才能到达目的地.例1 2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神州”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到离地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6 400km， 结果取整数）？OFPQFQ是O的

10、切线，FQO为直角.最远点求 的长，要先求POQ的度数典例精析OFPQ解：设POQ= ，FQ是O的切线，FOQ是直角三角形.的长为利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：1. 将实际问题抽象为数学问题；2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形；画出平面图形，转化为解直角三角形的问题3. 得到数学问题的答案；4. 得到实际问题的答案.归纳：OCBA练一练 “欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人李白的不朽诗句. 如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设 代表地面，O为地球球心，C是地面上一点， =500km，地球的半径

11、为6370 km，cos4.5= 0.997)？解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是 看C点，AB就是“楼”的高度， AB=OBOA=63896370=19(km).即这层楼至少要高19km，即1900m. 这是不存在的. OCBA在RtOCB中，O例2 如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？0.5m3m600.5m3mABCDE60分析：根据题意，可知秋千踏板与地面的最大距离为CE的长度.因此，本题可抽象为：已知 ：DE=0.5m，AD=AB

12、=3m，DAB=60，ACB为直角三角形，求CE的长度.解：CAB=60，AD=AB=3m，3mABDE60CAC=ABcosCAB=1.5m， CD=ADAC=1.5m， CE=AD+DE=2.0m.即秋千踏板与地面的最大距离为2.0m. 如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆. 拉线CE和地面成60角，在离电线杆6米的A处测得AC与水平面的夹角为30，已知A与地面的距离为1.5米，求拉线CE的长.（结果保留根号） 练一练G解：作AGCD于点G， 则AG=BD=6米，DG=AB=1.5米.(米).GCD=CG+DG= ( +1.5) (米)， (米).1. 课外活动小组测量学校旗杆

13、的高度. 当太阳光线与 地面成30角时，测得旗杆在地面上的影长为24米， 那么旗杆的高度约是 ( )当堂练习A. 12米 B. 米 C. 24米 D. 米B2. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两 棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案： 从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂 直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同 学分别测得三组数据：AC，ACB；EF、DE、 AD；CD，ACB，ADB其中能根据所测数 据求得A、B两树距离的有 ( ) A0组 B.1组 C2组 D.3组 D3. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的 着地点A到树根部C的距离为

14、4米，倒下部分AB与地平 面AC的夹角为45，则这棵大树高是 米.ACB4米454. 如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得 BAD=30，在C点测得BCD=60，又测得 AC=100米，则B点到河岸AD的距离为 ( )BDCAA. 100米 B. 米 C. 米 D. 50米BFEA3015m5. (1)小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD =20m，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平 线的夹角为30，求南楼的影子在北楼上有多高？北ABDC20m15mEF南解：过点E作EFBC，AFE=90，FE=BC=15m.即南楼的影子在北楼上的高度为(2) 小华想：若设计时要求

15、北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距BC长至少应为多少米?AB20m?m北DC南答案：BC至少为课堂小结利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：1. 将实际问题抽象为数学问题；2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形；画出平面图形，转化为解直角三角形的问题3. 得到数学问题的答案；4. 得到实际问题的答案.导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第二十八章 锐角三角函数第2课时 利用仰俯角解直角三角形新课标人教版九年级数学下册28.2 解直角三角形及其应用学习目标1. 巩固解直角三角形有关知识. (重点)2. 能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实 际问题，在解题过程中进一

16、步体会数形结合、转化、 方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基 本模型及解题思路. (重点、难点)导入新课 某探险者某天到达如图所示的点A 处时，他准备估算出离他的目的地，海拔为3 500 m的山峰顶点B处的水平距离.他能想出一个可行的办法吗？ 通过这节课的学习，相信你也行.AB问题引入讲授新课解与仰俯角有关的问题一 如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.例1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯 角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.A

17、BCD仰角水平线俯角分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30，=60.典例精析 RtABD中，a =30，AD120，所以利用解直角三角形的知识求出BD的长度；类似地可以求出CD的长度，进而求出BC的长度，即求出这栋楼的高度.解：如图，a = 30,= 60， AD120答：这栋楼高约为277.1m.ABCD建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54，观察底部B的仰角为45，求旗杆的高度（精确到0.1m）.ABCD40m5445ABCD40m5445解：在等腰RtBCD中，ACD=90，B

18、C=DC=40m.在RtACD中 ，AB=ACBC=55.240=15.2 (m).练一练例3 如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60，小明的身高1.5 m.那么该塔有多高?(结果精确到1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗?DABBDCC解：如图，由题意可知，ADB=30，ACB=60， DC=50m. DAB=60，CAB=30，DC=50m ，设AB=x m.DABBDCC如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37和45 ，求飞机的高度 .（结果取整数. 参考数据：sin3

19、70.8，cos37 0.6，tan 370.75）AB3745400米P练一练ABO3745400米P设PO=x米，在RtPOB中，PBO=45，在RtPOA中，PAB=37，OB=PO= x米.解得x=1200.解：作POAB交AB的延长线于O.即故飞机的高度为1200米.当堂练习1. 如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平 面上一艘小船B，并测得它的俯角为45，则船与观 测者之间的水平距离BC=_米.2. 如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点 测得 D点的俯角为30，测得C点的俯角为60，则 建筑物CD的高为_米.100图BCA图BCAD30603. 为测量松树A

20、B的高度，一个人站在距松树15米的E 处，测得仰角ACD=52，已知人的高度是1.72米， 则树高 (精确到0.1米）. ADBEC20.9 米4. 如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉 线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60角，另一 根拉线BC和地面成45角则两根拉线的总长度为 m(结果用带根号的数的形式表示). 5. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39（tan390.81）(1) 求大楼与电视塔之间的距离AC；解：由题意，ACAB610（米）.(2) 求大楼

21、的高度CD（精确到1米）.故BEDEtan39 CDAE，CDABDEtan39610610tan39116（米）.解：DEAC610（米），在RtBDE中，tanBDE .4530OBA200米6. 如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处， 从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30和45， 求飞机的高度PO .UDP答案：飞机的高度为 米.课堂小结利用仰俯角解直角三角形仰角、俯角的概念运用解直角三角形解决仰角、俯角问题模型一模型二模型三模型四仰角、俯角问题的常见基本模型：ADBEC导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第二十八章 锐角三角函数第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形新课标人教

22、版九年级数学下册28.2 解直角三角形及其应用学习目标1. 正确理解方向角、坡度的概念. (重点)2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题； 能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的 数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解 决问题的综合能力. (重点、难点)导入新课 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90的角，叫做方位角. 如图所示：3045BOA东西北南方位角4545西南O东北东西北南西北东南北偏东30南偏西45复习引入讲授新课解与方位角有关的问题一典例精析例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿

23、正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01 n mile）？6534PBCA解：如图 ，在RtAPC中，PC=PAcos（9065）=80cos25800.91=72.505.在RtBPC中，B=34，因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34方向时，它距离灯塔P大约130n mile6534PBCA解：过A作AFBC于点F， 则AF的长是A到BC的 最短距离. BDCEAF， DBA=BAF=60， ACE=CAF=30， BAC=BAFCAF=6030=30.例2 如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航

24、行，在点B处测得海岛A位于北偏东60，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30，如果鱼船不改变航向继续向东航行有没有触礁的危险？北东ACB6030DEF又ABC =DBFDBA = 9060=30=BAC，BC=AC=12海里，AF=AC cos30=6 (海里)，6 10.3928，故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险北东ACB6030DEF 如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30和B城市的北偏西45的方向上已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修

25、筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据： 1.732， 1.414)练一练200km200km解：过点P作PCAB，C是垂足 则APC30，BPC45， ACPCtan30，BCPCtan45. ACBCAB， PC tan30PC tan45200， 即 PCPC200， 解得 PC126.8km100km. 答：计划修筑的这条高速公 路不会穿越保护区C解与坡度有关的问题二 如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？如何用数量来刻画哪条路陡呢？ABC观察与思考lhi= h : l1. 坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 .2. 坡度 (或坡比) 坡度通常写成 1m的形式，如

26、i=16. 如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水 平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡 比)，记作i， 即 i = h : l .坡面水平面3. 坡度与坡角的关系即坡度等于坡角的正切值.lhi= h : l坡面水平面1. 斜坡的坡度是 ，则坡角 =_度.2. 斜坡的坡角是45 ，则坡比是 _.3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_.lh301 : 1练一练例3 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01，长度精确到0.1m）？i=1:2典例精析在RtABC中，B=90，A=26.5

27、7，AC=240m，解：用表示坡角的大小，由题意可得因此 26.57.答：这座山坡的坡角约为26.57，小刚上升了约107.3 m从而 BC=240sin26.57107.3（m）因此例4 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=13，斜坡CD的坡度i=12.5，求：(1) 斜坡CD的坡角 (精确到 1)； ADBCi=1:2.5236i=1:3解： 斜坡CD的坡度i = tan = 1 : 2.5=0.4，由计算器可算得22.故斜坡CD的坡角 为22.解：分别过点B、C作BEAD，CFAD，垂足分别为点E、 F，由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m.在RtABE中，(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m). EFADBCi=1:2.5236i=1:3=69+6+57.5=132.5 (m).在RtABE中，由勾股定理可得在RtDCF中，同理可得故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.EFADBCi=1:2.5236i=1:3 如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度