北京丰台区2019高三二模试卷-数学(理)

1、北京丰台区2019高三二模试卷-数学(理)(扫描版)(C)(D)8.已知平面上四个点4(0、0), 4(20,2)，4(2+4,234(4,0).设D是四边形&且工/劣及其内部的点构成的点的集合.点是四边形对年线的交点若电合5=产匕|尸初M| PAi 13 f = 123,4则集合5所表示的平面区域的面积为(A) 2(B) 4(CJ 8(D) 16第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.在极坐标系中，圆“ = 2n2的圆心的极坐标是.己知椭眼 += 上一点M到两个焦点的距离分别是5和3,则nr -7该椭圆的离心率为.如图所示，是网的直径,点C在网匕 过点5

2、，C41尸的切线交于点巴 加，交圆于O,若月片3 AC=U则 CPC= PD= :.某地区恩格尔系数M%)与年份x的统计数据如卜表:年份X2004200520062007恩格尔系数y(%)4745.543.541从散点图可以看出y与1线性相关，旦可得回归方程为/ =八+4055.25,据此模型可侦澳2012年该地区的恩格尔系数(吩为.从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1 人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种.在平面直角坐标系中，若点力，A同时满足：点力，8都在函数)，= /(x)图象上；点/, 8关于原点对称，则称点对(j,8)是函数y

3、= /(工)的一个“姐妹点对”(规定点V 4% 0,- 的-2x, x/3 .AP 0).(I 当 =1时，求函数/(X)的最小值：(II)证明：对 x2R 都有 X In+x/nx2 2 +巳)。11(玉+X2)-ln2：(HD 若证明：xjnx-lnT (i/wN).MM（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市丰台区2012年高三二模数学(理科)参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案DACDBBCB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.(与10. 41L 5印I31.2513. 9614. 1, a注：第11题第一个

4、空答对得2分，第二个空答对得3分：第14题第一个空答对得3分，第二 个空答对得2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.解：因为 /(x) = cos x( /3 cos x - sin x) - /3 = V3cos2 x-sinxcosx-/3 TOC o 1-5 h z =向上出吗sin 2x-73 22=cos 2xsin 2x222(,)/(?)=cos(2xri)T=一且一旦一6227分(II)因为 xe0, 乙所以-2x + - .66 6当2x + = 7t,即X专时，函数y = /(x)有最小值是-1-日函 数y = f (x)

5、有最小值是13分.解：(I )依题意，J = 1OOxO.O5 + 8Oq + 6O6 + Ox0.7 = 22,所以 8067 + 60/？ = 17.因为 0.05 +。+ 8 + 0,7 = 1, 所以。+ =().2580。+ 60方= 17,4 + b = 0.25,7分o = 0.1, b = 0A5.（11）依题意，该顾客在商场消费2500元，可以可.以抽奖2次.奖金数不少J- 160元的抽法只能是100元和100元；100元和80元：100元和60 70; 80元和80元四种情况.设“该顾客获得奖金数不少了160元”为事件4 则 (/)= 0.05X0.05 + 2x0.05X

6、0.1 + 2X().05x0.15 + 0.1 x0 1 = 0.0375 .答：该顾客获得奖金数不少于 160 元的概率为0.0375.13 分. （ I ） 3）证明：连接B。，交AC于点。,连接0P.因为P是DF中点，。为矩形A8CD对角线的交点, 所以0P为三角形8DF中位线,所以8FOP,因为BFQ平面八CP, OPU平面4CP,所 以 BF 平面ACP. 4分5）因为/劭邛=90。，所以 4FJLA8,因为 平面48EFL平面48CD, IL平面 ABEF ?平面 ABCD= AB, 所以4F1平面ABC。，因为四边形ABC。为矩形,所以以A为坐标原点,AB, AD, AF分别为

7、x, yf z z轴，建立如图所示空间直角坐 TOC o 1-5 h z uun 1LLU1所以 8 =(-,0,1), CP = (-1,-I,-),g” 传，* BECP 4x/5 所以 COS = -HHHBrt-=,|E|-|CP|15即异面红线BE与CP所成角的余弦值为 4759分(II)解：因为A8L平面ADR所以平面APF的法向量为，4=0,0,0).设P点坐标为(0,2 2/J),HUU1T在平面4PC中，/P = (0,2-Z,f), NC = (l,2,0),in所以平面APC的法向好为，二(一2,1, - /ir mr所以 cos，3=-12.=.向,向一2一 + (予3

8、2解得/ = ：,或/ = 2 (舍).3此|PF|=y-.14 分.解：(I )因为 q = 4, /+ =4 + p3 + l ,所以的 =q+ 3i +1 =3 + 5： a, =a2 + p-32 + l = 12p + 6.因为外,生+6,生成等差数列，所以 2(% +6)=。 +。3，即 6 + 10 + 12 = 4 + 12 + 6,所以p = 2.依题意，0,.1 =4 + 23” + 1,所以当。2时，暇一q=23】+1,W23F,相加得5-q = 2(3“，3“+l +32+3) + /7-1,所以。“一q= 23二?+ (-】), 所以4=3 + .当时，4 =3 +1

9、 = 4 成立, 所(II)证明：因为q=3 + ,(3+)一 3( + 1)2 / -2/+ 2+13+i33i,(wN)苏-2/+2 + 10).因为点P到焦点F的距离为5, 所以点P到准线y =的距离为5.因为P(x0, 4),所以由抛物线准线方程可得所 以 抛 物 线 的=1 p = 2.2标 准 方 程 为即 y = -X2 9 所以 y = -x,点 P(M 4), 42所以 ykT=；x(-4) = -2, /U=1x4 = 2.所以点P(-4, 4)处抛物线切线方程为y-4 = -2(x + 4),即2x + y + 4 = 0：点尸(4, 4)处抛物线切线方程为y-4 = 2

10、(x-4),即2x-y-4=0.P 点处抛物线切线方程为 2x + y + 4 = 0 , 或 TOC o 1-5 h z 2x-j-4 = 0.7 分(II )设直线/的方程为y = 2工+，力(西,必)，B(x2yy2),x2 = 4y)联立.，消 y得 一一8工一4m=0, A = 64 + 16w0.y = 2xm所以 用 + 工=8 , xix2 = -4m .所以上玉=4,匕二& = 8+加， 22即48的中点为0(4,8 + 。.所以的垂直平分线方程为y-(8 + 7)= -；*-4).因为四边形4M8N为菱形，所以 例(0,7 + 10),河，N关0(4,8 + 。对称，所以N

11、点坐标为N(8,? + 6),且N在抛物线上，所以 64 = 4x(/n + 6),即机= 10,所 以 直 线/ 的 方 程 为y = 2x + l0.14 分.解：(1 ) = 1 时，/(x) = xln.v + (1 -x)In(l -x), (0 x 1),则 fx) = In x - ln(l - x) = In-x令/(x) = 0,得x = ；.当0 x；时，/(x)0，/(x)在(0,；)是减函数，当gx 0, /(x)在(；)是增函数，所以 /(x) 在 x =- 时取得最小值， 即 2/(1)=ln1.4 分(II)因为 /(x) = .vInx + (-x)ln(-x)

12、,Y所以 /(工)=lnx-ln(a-x) = In . a-x所以当x 时，函数/(x)有最小值.Vxp X2eR,不妨设.+2=4，则& In芭 + x2 Inx2 = In芭 +(4 一 百)ln(o-x,) 2之；”.(%.；丝)=(X| +x2)ln(Xj +x2)-ln2.8分(III)(证法一)数学归纳法一当 =1时，由(】1)知命题成立.ii)假设当 =时命题成立，即若芭 + 工 +L + 以=1, ID Xj In x + x2 In x2 +L +In 0 -In 2A. 当，7 = +1 时，X, X2f ，Xy.，Xy.i 满足 x+x2+L +X2 (Xj +x2)ln(xl +X2)-In2+L + (x*1+ - J 叫