期末复习宝典及补充试题

1、20072008微积分（二）期末练习题一、定积分与应用 。2 设求3 4 下列广义积分发散的是_.5计算积分：6求由抛物线和所围成的图形的面积。7过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形D，求D的面积A. 8设连续，则 。9( f(x)连续 ) 。 11。 同类题： 求一连续可导函数使其满足下列方程:另有：求区别：满足的f(x)的幂级数展开式= 。答案：，（后面有解的过程）12设在0，1上连续且为单调减函数，证明对任意。13二、多元函数微分学1若函数在区域D内具有二阶偏导数，则结论正确的是 。A 必有 ； B ； C ； D （A），（B ），（C ）都不对。2. 二元函数的极值点

2、与驻点是（ ）关系。 3函数的全微分是 4设确定： ，求5已知，求的偏导数 7设，其中具有连续的二阶偏导，求。8某公司为推销自己的商品，采用两种方式做广告，已知销售收入R（万元）与电视广告费x（万元），报纸广告费y（万元）有如下关系： 在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略如果提供的广告费用为1.5万元，求相应的广告策略。三、二重积分1设。2求 3求重积分，其中4. 求，其中D是由圆和所围成的平面区域.5 求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 四、无穷级数 0. 部分和数列有界是正项级数收敛的( )。 A 充分条件 B 必要条件C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 1. 判断敛

3、散性： 、 。2. 已知级数，则级数等于 。 3. 已知收敛，收敛，则（ ）。 A为无穷大 B收敛 C发散 D敛散性不能确定4. 设级数绝对收敛，则（ ）。A发散 B条件收敛 C敛散性不能判定 D绝对收敛6若级数在x=-1（条件）收敛，则其在x=2处_ _.A 条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 不能确定7求幂级数的收敛半径和收敛域。8求级数的和函数。910设，则 。 11. 12. 求满足的f(x)的幂级数展开式= 13设 （1）求的值（2）证明：对任意常数，级数收敛五、微分方程1. 已知为的特解，则的一个（以表示）特解为 2设线性无关的函数都是的解，是任意常数，则该方程的通解是 。3已知

4、微分方程有三个解此方程满足初始条件的特解为 。4具有通解为任意常数）的2阶常系数齐次线性微分方程是（ ）求的通解 6. 求的通解 20072008微积分（二）期末练习题答案一、定积分与应用1. 答：2. 解：定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 .设则3. 答：4. A5. 解： 而 所以原积分发散。6. 解：由，求得交点(-1,1),(1,1)7. 解：设切点的横坐标为则所求切线方程为由切线过原点知因此故切线方程为D 的面积为8. A9. 10. 11. 解：= 上式两边关于求导，得， 为可分离变量的一阶微分方程求特解 又 同类题：解：令则有 一阶线性方程求特解利用公式可求出。另有：求令

5、， 一阶微分方程求通解12. 证：令=，则在0，1上连续，且，又。因为单调减函数，故由积分中值定理得：。所以13. 证一: 在单减，证二:左端 = 右端二、多元函数微分学1. D2. 答：既非充分也非必要3. 答：.4. 解： （*） 由两边对x求导得由两边对x求导得代入（*）式得5. 解：等式两边关于求导，得 解得 等式两边关于求导，得 解得 6. 7. 解：令,则，。8. 解：（1）利润函数 的唯一驻点。这时L=38.25万元。（2）令 得到唯一驻点由题意知最大值一定存在，故万元。三、二重积分1. 解： 2. 解1：因的被积函数不是初等函数不能直接积分，代入有交换积分顺序得解2：利用分步积

6、分法及变上限定积分的导数计算 再分步积分得3. 解：由被积函数和积分域的特点考虑用极坐标积分4. 【分析】首先，将积分区域D分为大圆减去小圆，再利用对称性与极坐标计算即可.解：令， 由对称性，. . 所以，.5. 解: 设由对称性可知 四、无穷级数 0. 答：C1. 答：收敛、发散2. 答：83. B4. D5. B6. B7. 解：因为所以收敛半径R=。当时，级数化为：因上式右端两个级数都收敛，所以级数收敛。当时，级数化为：因上式右端中第一个级数发散，第二个级数收敛，所以级数发散。由不等式，得，级数的收敛域是，收敛半径R=。8. 解：这是缺项的幂函数，由于，因此当1时,级数发散，故原级数的收敛域为（1，1）。令s(x)=，s(0)=0，又，故，（1x1）9. 解：设则 而 10. 答： 11. 解：= 12. 解：令，只要求出系数即可将代入方程，再积分，左式在其收敛范围内，交换积分与和号顺序，右式展开：，两边同幂次系数应相等， 即，13. 证明（1）， ,所以（2），又，所以收敛，从而收敛。五、微分方程1. 2