从梯子的倾斜程度谈起(共9页)

1、课题(kt)：从梯子(t zi)的倾斜程度谈起【教材内容分析(fnx)】直角三角形中边角之间的关系是现实世界中应用广泛的关系之，锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用.如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边与角的关系问题.本节首先从梯子的倾斜程度谈起，引入了第个锐角三角函数正切.因为相比之下，正切是生活当中用的最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度、山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是类比正切的概念得到的.所以本节从现实情境出发，让学生在经历探索直角三角形边角关系的过程中，理解正切的意义

2、，并能够举例说明；能用tanA表示直角三角形中两直角边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进行计算.本节的重点就是理解tanA的数学含义，并能够根据它的数学意义进行直角三角形边角关系的计算.难点是从现实情境中理解tanA的数学含义.所以在教学中要注重创设符合学生实际的问题情境，引出正切的概念，使学生感受到数学与现实世界的联系，鼓励他们有条理地进行表达和思考，特别关注他们对概念的理解.【教学目标】 (一)知识目标1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算. (

3、二)能力目标1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力.3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. (三)情感目标1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度及独立思考的习惯.【教学重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.【教学难点】理解正切的意义，并用它来表示直角三角形中两直角边的比.【教学方法】引导探索法、讲练结合.【教具准备】多媒体.【教学过程】

4、一、创设问题情境，引入新课（幻灯片演示(ynsh)小游戏：“取宝物”） 问题(wnt)1比赛规则如下：最快取到宝物的选手获胜.如果你是参赛选手，你会选择哪个梯子？为什么？ 问题2我们来观察一下，你会发现两个梯子的倾斜程度是不一样的，哪个(n ge)梯子更陡些？你是怎样判断的?我们今天的话题，就从梯子的倾斜程度谈起.（板书课题1.1.1从梯子的倾斜程度谈起）【设计意图】创设新颖的问题情境，使学生对所学内容“梯子的倾斜程度”有初步的了解.激发学生的求知欲望，调动学生的积极性，培养学生的数学建模能力.二、探究新知用多媒体演示如下内容： 师梯子是我们日常生活中常见的工具.我们经常听人们说这个梯子放的“

5、陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的?“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的? 生我们可以通过比较倾斜角的大小来比较两个梯子哪个更陡. “比眼力，比速度”请同学们看图，并回答下面的几个问题: (1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?（鼓励同学间小组(xioz)合作交流，达成共识：在EDF中DF上截取(jiq)DG=CA，构造EDGBCA,进而(jn r)EGD=BAC,再利用外角知识，EGDBAC，梯子AB更陡一些.） (2)在下图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的? “在实践中探索新知”梯子在上升变陡过程中，倾斜角、铅直高度与水平宽度的比发生了什

6、么变化？（幻灯片演示，梯子上升变陡过程中铅直高度和水平宽度的变化，得出结论：倾斜角越大梯子陡；铅直高度与水平宽度的比越大梯子陡.）【设计意图】由学生熟悉的全等知识入手，由特殊到一般去探索新知识，使新知识顺利纳入旧知识结构中，顺利完成新旧知识的同化和顺应.借助于幻灯片展示变化过程，形象直观地展示一般的情况，使学生有一个感性的认识. “理论应用于实际”1.哪个梯子更陡？（学生应用探索出的结论，用铅直高度与水平宽度的比来得出梯子EF更陡.）2.你能证明为什么角度一定，对边与邻边的比值一定吗？若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1C1,进而(jn r)无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？

7、你有什么锦囊妙计？ (学生提出想法(xing f)，在AB1上选取可测量的点B2，过点B2作B2C2AC1，垂足(chu z)为C2，在RTAC2B2中用B2C2与AC2的比来反映梯子的倾斜程度.) 问题(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系? (2)有什么关系? (3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论? 生在上图中，我们可以知道RtAB1C1，和RtAB2C2是相似的.因为B2C2AB1C1A90，B2AC2B1AC1，根据相似的条件，得RtAB1C1RtAB2C2. 生由图还可知：B2C2AC2，B1C1AC1，得B2C2/B1C1，RtAB1C1Rt

8、AB2C2. 生相似三角形的对应边成比例，得.如果改变B2在梯子上的位置，总可以得到RtB2C2ARtRtB1C1A，仍能得到.因此，无论B2在梯子什么位置(除A外)，总成立. “由感性到理性”(幻灯片演示B2在梯子上的不同位置时的情况)学生观察分析后得出结论：直角三角形中的锐角A确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定.对于直角三角形中锐角A的对边与邻边的比，我们有如下定义： (幻灯片演示)如图，在RtABC中，如果锐角A确定，那么A的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做A的正切(tangent)，记作tanA，即tanA=.（强调A的邻边为直角边） “八仙过海,尽显才能”1.思考如图,梯子A

9、B1的倾斜程度与tanA有关吗?与A有关吗? 生与tanA有关(yugun):tanA的值越大,梯子AB1越陡；与A有关(yugun):A越大,梯子(t zi)AB1越陡.【设计意图】此环节的设计是为了突出概念的形成过程，帮助学生理解概念.通过让学生参与、动手操作让学生学会由“特殊到一般”、数形结合及函数的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力.2.判断对错:如图，（1）tanA=如图， (2)tanA=（）(3)tanA=（）(4)tanA=0.7m（）(5)tanB=（）3.在RtABC中，三边都同时扩大10倍，则锐角A的正切值（）A.扩大10倍B.缩小10倍C.不变D.不能确定4.填空：

10、（1）tan_=,tan_=，tanAtanB=_；（2）如图,ACB=90CDAB，则tanACD=_，tanB=_.【设计意图】通过典型习题帮助学生理解正切函数的定义，并初步探索互为余角两锐角的正切之间的关系，学生容易出错的地方正是定义中需要强调的地方，这时候让学生总结定义中需要注意的地方，就水到渠成了.定义的几点说明：1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，A是一个锐角.2.tanA是一个完整的符号，它表示A的正切，记号里习惯省去角的符号“”.但BAC的正切表示为tanBAC，1的正切表示为tan1.3.tanA0且没有(mi yu)单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角A的对边与邻

11、边的比（注意(zh y)顺序：）.4.tanA不表示(biosh)“tan”乘以“A”.5.tanA的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.三、例题讲解 “行家看门道”下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tan、tan的值，比较大小，越大，扶梯就越陡.解：甲梯中，tan=.乙梯中，tan=.因为tantan，所以乙梯更陡. 师生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度. “用数学去解释生活”如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tan)就是 师坡面与水平

12、面的夹角称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切.四、随堂练习1.某人沿一斜坡的底端B走了10米到达点A，此时点A到地面BC的垂直高度AC为6米，则斜坡AB的坡度为多少？ 分析求坡度tanBRTABC:勾股定理求BC.（此处向学生(xu sheng)渗透分析数学问题的一般思路逆推法.）2.在梯形(txng)ABCD中,AD/BC,AB=DC,AD=6,BC=14,S梯形ABCD=40,求tanB的值.（此题旨在提示学生：求锐角三角函数(hnsh)要处理好直角三角形这个前提.）3.一个直角三角形两边长分别为3、4，则较小的锐角的正切值是_.4.如图，山坡A

13、B的坡度为512，一辆汽车从山脚下A处出发，把货物运送到距山脚500m高的B处，求汽车从A到B所行驶的路程【设计意图】通过不同层次的练习题的配备，使学生对概念进一步深化理解.五、课时小结 “回顾、反思、深化”1.正切的定义.2.梯子的倾斜程度与tanA的关系.（A和tanA之间的关系）.3.数形结合的方法；构造直角三角形的意识.4.“一般特殊一般”数学思想方法.六、课时作业 “知识的升华”1.习题1.1第1、2题.2.观察学校及附近商场的楼梯，哪个更陡？补充：（选做题） (2008泰安)直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE,则tanCBE

14、的值是多少？板书1.1.1从梯子的倾斜程度谈起(一)1.当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定.2.正切的定义：在RtABC中，锐角A确定，那么A的对边与邻边的比随之确定，这个比叫做A的正切，记作tanA，即tanA.注：(1)tanA的值越大，梯子越陡.(2)坡度通常表示斜坡的倾斜程度，是坡角的正切.坡度越大，坡面越陡.3.例题讲解(略)4.随堂练习5.课时小结从梯子(t zi)的倾斜程度谈起【说课】本节课是三角函数部分的第一节概念教学，教材内容比较抽象，学生以前从没接触过三角函数，尤其是涉及到以角度为自变量这样特殊的函数概念，学生不易理解.例如本课中梯子的倾斜程度由铅直高度与水平宽度的比来反映这一知识点，不容易顺利过渡.为此我设计了课前的“取宝物”游戏，以及判断哪个(n ge)梯子更陡的问题串，逐步引导学生得出正切定义，感觉衔接得较为顺畅.根据学生对数学概念的认识是由感觉知觉(zhju)表象概念的心理认知过程，我在教学环节和内容安排上，遵循了“教师为主导、学生为主体、训练为主线”的原则，能够充分利用幻灯片这一直观的教学手段，以突出重点、突破难点.从课堂反馈上看，演示的变化过程对于学生分析和理解问题帮助很大.概念教学由学生熟悉的实例入手，引导学生观察、分析(fn