《数学分析选论》习题全解模拟试题及答案

1、 数学分析续论模拟试题及答案、单项选择题(65)设n为单调数列，若存在一收敛子列，n，这时有jA.lima=liman;nnjnjJD.当且仅当预先假设了卷为有界数列时，才有A成立.nB.b，不一定收敛；C.bn不一定有界;nn设f(x)在R上为一连续函数，则有 # #当I为开区间时f(I)必为开区间;当f(I)为闭区间时I必为闭区间; # #当f(I)为开区间时I必为开区间;D.以上A、B、C都不一定成立. # 这时有A；B若f在x连续，则A成立;0设f(x)在某去心邻域U(x0)内可导.A若limf(x)=A存在，则f(x0)=xxoC若f(xo)=A存在，贝Ulimf(x)=A;D以上A

2、、B、C都不一定成立.xxo设f(x)在a,b上可积，则有A.f(x)在a,b上必定连续；B.f(x)在a,b上至多只有有限个间断点;C.f(x)的间断点不能处处稠密;D.f(x)在a,b上的连续点必定处处稠密.设un为一正项级数.这时有n=1 # #A.若limu=0贝Iu收敛;nnB-若u收敛，则lim1；nun=1nn # #C.若uninn=1收敛，则limn1;D.以上A、B、C都不一定成立. 、计算题(104)试求下列极限: # #limn8k/1+3+(2n1)n丿limX+8(fX22Jetdt(0丿JXe212dt0 #设 # #x1u“,u“y02f(u)“arctan #

3、 #试求f(u)与f(u0). # #(3)试求由曲线y“，直线x“2，以及二坐标轴所围曲 # 边梯形的面积S(4)用条件极值方法(Lagrange乘数法)导出从固定点(xQ,yo)到直线Ax+By+C“0的距离计算公式三、证明题(103)(1)设f(x)与g(x)在a,b上都连续.试证：若f(a)g(a),f(b)”g(b)，贝I必存在xo-(a,b)，满足f(xo)“g(xo)-证明f(x)“xlnx在其定义域上为一严格凸函数，并导出不等式aabbcc,其中a,b,c均为正数.(提示：利用詹森不等式.)证明：0 、答(1)A；(2)C；(3)B；(4)D；(5)D.、解(1)lim1+3+

4、(2n-1)-n-3n，lim，3；nf8、n+3丿nf8n+3limxf+8Jxe2t2dt2x2厂0t2dtlimxf+8e2x22fx2et2dt2ex2lim0，lim，0 xf+8ex2xf+82xexe12dt丫I0丿2)222xex+y222yex+y“2e545f，(u)，yx，f，(u0)=2丄x2+y2x2+y2553)所围曲边梯形如右图所示.其面积为SJ(1-x201)dx1+(0 x)由题意，所求距离的平方(d2)为(xx需满足Ax+By+C，0，故此为一条件极小值问题.依据Lagrange乘数法，设L=(xxo)2(yyo)2(AxByC)， #33 并令 #33 #

5、LxLyL久(F)2(x一x0)+九A0,2(y-y)+九B0,Ax+By+C0. #33 #由方程组(F)可依次解出: #33 # #33 #九Axx一xx02一CAx+ByAx0九Byy0一，02九cc(A2+B2),2By0 #33 #九Axo+By #33 # 33 #(x一x0)2(y一y0)2+B2)(Axo+By0+C)2Ax0By0CA2+B2d(x一x0)2(y一y0)2最后结果就是所求距离d的计算公式.注上面的求解过程是由(F)求出九后直接得到d2,而不再去算出x与y的值,这是一种目标明确而又简捷的解法.三、证(1)只需引入辅助函数：h(x)f(x)一g(x).易知h(x)

6、在a,b上连续满足h(a)0故由介值性定理(或根的存在定理)，必存在x00,x(0,+x),所以f(x)为一严格凸函数.根据詹森不等式，对任何正数a,b,c，恒有a+b+ca+b+c1ln()一(alna+blnb+clnc)333a+b+cnln()a+b+cln(aabbcc)最后借助函数lnx的严格递增性，便证得不等式a+b+c)a+b+c,aabbcc.由于较难直接求出该级数的部分和，因此无法利用部分和的极限来计算级数的,n2n+1和.此时可以考虑把该级数的和看作幕级数S(X)丄丄上在X1处的值,2n+1n0于是问题转为计算S(X).不难知道上述幕级数的收敛域为1,1，经逐项求导得到S(x)(-1)nx2n,x-1,1;n0这已是一个几何级数，其和为S(x)(-x