山建修订线性代数作业答案

1、行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）（2）2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）2 4 1 3；（2）1 3 2 4 ；（3）1 3 2.解（1）逆序数为3. （2）逆序数为.（3）逆序数为.3.写出四阶行列式中含有因子的项.解 由定义知，四阶行列式的一般项为，其中为的逆序数由于已固定，只能形如，即1324或1342.对应的分别为或和为所求.4.计算下列各行列式：解(1) =0(2)=(3) = = 5、证明：(1) (2) (3) = (4) 用数学归纳法证明假设对于阶行列式命题成立，即 所以，对于阶行列式命题成立.6、计算下列各行列式（为阶行列式）： (

2、1), 其中对角线上元素都是a, 未写出的元素都是0; 解=an-an-2=an-2(a2-1). (2); 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得 再将各列都加到第一列上, 得 =x+(n-1)a(x-a)n-1. (3) (4) 由此得递推公式： 即 而 得 (5)=7.用克莱姆法则解下列方程组：解 9.有非零解？解 ，齐次线性方程组有非零解，则即 , 得 不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1已知两个线性变换求从变量到变量的线性变换。解 由已知 所以有 2设求及.解 .3计算； 解：. 解：。4设,求.解 ; 利用数学归纳法证明: 当时,显然成立,假设时成立

3、,则时由数学归纳法原理知:.5设求.解 首先观察, 由此推测 (*)用数学归纳法证明: 当时,显然成立. 假设时成立，则时，由数学归纳法原理知: (*)成立.6设都是阶对称阵,证明是对称阵的充要条件是.证明：由已知： 充分性：即是对称矩阵.必要性：.7设, ，问：(1)吗?(2)吗?(3)吗?解 (1), . 则 (2) 但故(3) 而 故 8举反例说明下列命题是错误的:（）若,则;（）若,则或;（）若,且, 则.解 (1)取, ,但(2)取, ,但且(3)取, , . 且 但.9已知线性变换求从变量到变量的线性变换。解：所以即.10求下列方阵的逆阵： 解：, . . 解： 故存在从而 .（3

4、） 解： 由对角矩阵的性质知 .11解矩阵方程： 解： 解：.12、利用逆阵解线性方程组： .解：解、(1)方程组可表示为 故 从而有 .13、设（为正整数）,证明：.证明：一方面， 另一方面，由有 故两端同时右乘就有.14、设, 求.解由可得故.15、设, 其中, 求.解故所以 而 故 .16.设矩阵可逆，证明其伴随阵也可逆，且。证 因=，由的可逆性及，可知可逆，且；另一方面，由伴随阵的性质，有=.用左乘此式两边得=,比较上面两个式子，即知结论成立。17、设阶方阵的伴随阵为,证明: 若,则； .证明 (1)用反证法证明假设则有.由此得.这与矛盾，故当时, 有.(2)由于取行列式得到: 若 则

5、若由(1)知此时命题也成立故有.18.设，求。解 由于所给矩阵方程中含有及其伴随矩阵，因此仍从公式=着手。为此，用左乘所给方程两边，得，又，=2AB-8E=8E=4E.注意到=,是可逆矩阵，且=,于是4=.19、设,求 及及.解 ， 令 , . 则. 故. . . .第三章 矩阵的初等变换与线性方程组把下列矩阵化为行最简形： 解(下一步: r2-3r1, r3-2r1, r4-3r1. )(下一步: r2(-4), r3(-3) , r4(-5). )(下一步: r1-3r2, r3-r2, r4-r2. ) 2. 利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆： 解, 故逆矩阵为 (2) 解 故逆矩阵为

6、3. 设 求X使AXB. 解 因为 所以 4. 求作一个秩是4的方阵，使它的两个行向量.解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵 此矩阵的秩为4 其第2行和第3行是已知向量5. 求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式. 解 (下一步: r1r2. )(下一步: r2-3r1, r3-r1. )(下一步: r3-r2. ) 矩阵的 是一个最高阶非零子式 解 (下一步: r1-r2, r2-2r1, r3-7r1. )(下一步: r3-3r2. ) 矩阵的秩是2 是一个最高阶非零子式6. 解下列齐次线性方程组： 解 对系数矩阵A进行初等行变换, 有A 于是 故方程组的解为 (k1 k

7、2为任意常数) 解 对系数矩阵A进行初等行变换, 有A 于是 故方程组的解为 (k1 k2为任意常数)7 写出一个以为通解的齐次线性方程组. 解 根据已知, 可得 , 与此等价地可以写成, 或 , 或 这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组非齐次线性方程组.8 解下列非齐次线性方程组： 解 对增广矩阵B进行初等行变换, 有 B 于是即(k1, k2为任意常数). 解 对增广矩阵B进行初等行变换, 有 B 于是 即 (k1, k2为任意常数)9. 当取何值时有解？并求出它的解 解 要使方程组有解 必须(1)(2)0 即1 2 当1时 方程组解为 或 即 (k为任意常数) 当2时 方程组解为 或

8、即 (k为任意常数)10 设问为何值时 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解 解B要使方程组有唯一解 必须R(A)R(B)3 即必须(1)(10)0所以当1且10时 方程组有唯一解.要使方程组无解 必须R(A)R(B) 即必须(1)(10)0且(1)(4)0所以当10时 方程组无解. 要使方程组有无穷多解 必须R(A)R(B)3 即必须 (1)(10)0且(1)(4)0 所以当1时 方程组有无穷多解此时，增广矩阵为B 方程组的解为 或 (k1 k2为任意常数)线性代数期中复习答案一、选择题（1）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为矩阵，现有4个命题： =

9、 1 * GB3 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)； = 2 * GB3 若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； = 3 * GB3 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； = 4 * GB3 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是(A) = 1 * GB3 = 2 * GB3 . (B) = 1 * GB3 = 3 * GB3 .(C) = 2 * GB3 = 4 * GB3 . (D) = 3 * GB3 = 4 * GB3 . B 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但 = 1 * GB3 = 2 * GB3

10、两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住 = 3 * GB3 与 = 4 * GB3 ，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题 = 3 * GB3 成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题 = 4 * GB3 不成立，排除(D),故正确选项为(B). (2) 设阶矩阵的伴随矩阵 若是非齐次线性方程组 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(

11、C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. B 【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】 因为基础解系含向量的个数=, 而且根据已知条件 于是等于或. 又有互不相等的解, 即解不惟一, 故. 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).（3）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为(A) . (B) . (C) . (D) . D 【分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对A作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q即为此两个初等矩阵的乘积。【

12、详解】由题设，有 ， ，于是， 可见，应选(D).（4）设阶矩阵与等价, 则必须当时, . (B) 当时, .(C) 当时, . (D) 当时, . D 【分析】 利用矩阵与等价的充要条件: 立即可得.【详解】因为当时, , 又与等价, 故, 即, 从而选 (D). 二、填空题（1） 设三阶方阵A,B满足，其中E为三阶单位矩阵，若，则 .【分析】 先化简分解出矩阵B，再取行列式即可.【详解】 由知， ，即 ，易知矩阵A+E可逆，于是有 再两边取行列式，得 ，因为 , 所以 .（2）设矩阵，矩阵B满足，其中为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则 .【分析】 可先用公式进行化简【详解】 已知等式两边同时

13、右乘A，得， 而，于是有， 即 ，再两边取行列式，有 ，而 ，故所求行列式为设，其中为三阶可逆矩阵,则【分析】 将的幂次转化为的幂次, 并注意到为对角矩阵即得答案.【详解】因为, .故 , .（4）已知矩阵，且的秩，则_-3_ 应填：（5）已知线性方程组有解，则_-1_三 证明R(A)1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT 使AabT 证明 必要性 由R(A)1知A的标准形为 即存在可逆矩阵P和Q 使 或 令 bT(1 0 0)Q1 则a是非零列向量 bT是非零行向量 且AabT 充分性 因为a与bT是都是非零向量 所以A是非零矩阵 从而R(A)1 因为 1R(A)R(abT)mi

14、nR(a) R(bT)min1 11 所以R(A)1 四、设阶矩阵和满足条件： 证明：是可逆矩阵，其中是阶单位 已知矩阵，求矩阵 解： 由等式，得，即因此矩阵可逆，而且 由知，即 五、 当、为何值时，线性方程组有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解 解： 将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵： 所以， 当时，此时线性方程组有唯一解 当，时，此时线性方程组无解 当，时，此时线性方程组有无穷多组解 此时，原线性方程组化为因此，原线性方程组的通解为或者写为第四章向量组的线性相关性1设, 求及.解 2. 设其中, ,求.解 由整理得3设,证明向量组线性相关.证明 设有使得则(1

15、) 若线性相关,则存在不全为零的数,; ; ; ;由不全为零,知不全为零,即线性相关.(2) 若线性无关, 则 由 知此齐次方程存在非零解. 则线性相关.综合得证.4. 设,且向量组线性无关,证明向量组线性无关.证明 设则因向量组线性无关,故 因为 故方程组只有零解.则. 所以线性无关5. 设向量组线性无关，向量可由向量组线性表示，而向量不能由向量组线性表示.证明:个向量必线性无关.证明6. 当为何值时，向量组，线性相关.解 由所以当时，所以.7. CCBC8. (1).线性相关；(2).；(3).线性相关；(4).线性无关。9. 求下列向量组的秩，并求一个最大无关组： 解线性相关.由秩为2,

16、一组最大线性无关组为.10. 利用初等变换求矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.解 所以第1、2、3列构成一个最大无关组，。11. 已知向量组，与向量组，具有相同的秩，且可由向量组线性表示，求的值.解 因为线性无关，而，所以线性相关，且向量组的秩为2，所以向量组的秩也为2.由于可由线性表示，故可由线性表示，即线性相关.于是有 ，解得，另外，解得.故 ，.12. DC13. 由 所生成的向量空间记作 ，由所生成的向量空间记作 ，试证: .证明 设, 任取中一向量,可写成,要证,从而得由得上式中,把看成已知数,把看成未知数 有唯一解同理可证: () 故

17、14. 验证为的一个基，并把，用这个基表示.解 由于即矩阵的秩为3. 故线性无关，则为的一个基.设，则 故设，则 故线性表示为 15. 求下面齐次线性方程组的基础解系与通解. 解(1)所以原方程组等价于 取得 ; 取得.因此基础解系为，通解为。16. 设，求一个矩阵，使，且.解由于,所以可设. 则由 可得, , 解此非齐次线性方程组可得唯一解，故所求矩阵17. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量，且，求该方程组的通解。解 由于矩阵的秩为3，一维故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得为其基础解系向量，故此

18、方程组的通解：，18求下列非齐次方程组的通解. 解:通解为19. DBCAD第五章 相似矩阵及二次型试用施密特法把向量组正交化.解：根据施密特正交化方法:令，, ，故正交化后得 判断下列矩阵是不是正交阵，并说明理由:(1) (2)解： (1)第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵设为n维列向量, , 令, 求证: H是对称的正交阵.证明 因为 HT(E2xxT)TE2(xxT)TE2(xxT)T E2(xT)TxTE2xxT 所以H是对称矩阵 因为 HTHHH(E2xxT)(E2xxT) E2xxT2xxT(2xxT)(2xxT) E4xx

19、T4x(xTx)xT E4xxT4xxT E 所以H是正交矩阵设与都是阶正交矩阵, 证明：（1）也是正交阵；（2）也是正交阵.证明（1）因为是阶正交阵，故， 所以 故也是正交阵正交. 正交.（2） 因为是阶正交阵，故，故也是正交阵求下列矩阵的特征值和特征向量:(1) (2).并问它们的特征向量是否两两正交?解：(1) . 故的特征值为当时,解方程,由 , 得基础解系所以是对应于的全部特征值向量当时,解方程,由, 得基础解系所以是对应于的全部特征向量,故不正交(2).故的特征值为当时，解方程，由, 得基础解系故是对应于的全部特征值向量.当时,解方程，由, 得基础解系故是对应于的全部特征值向量当时

20、，解方程，由 , 得基础解系故是对应于的全部特征值向量， ， 所以两两正交6 设为阶矩阵 证明与的特征值相同 证明: 因为|ATE|(AE)T|AE|T|AE|所以AT与A的特征多项式相同 从而AT与A的特征值相同 7 设, 证明的特征值只能取1或2. 证明: 设是A的任意一个特征值 x是A的对应于的特征向量 则 (A23A2E)x2x3x2x(232)x0 因为x0 所以2320 即是方程2320的根 也就是说1或28设是阶矩阵的特征值 证明也是阶矩阵的特征值 证明: 设x是AB的对应于0的特征向量 则有 (AB)xx 于是 B(AB)xB(x) 或 BA(B x)(Bx) 从而是BA的特征

21、值 且Bx是BA的对应于的特征向量 9 已知3阶矩阵的特征值为1 2 3 求 解: 令()3527 则(1)3 (2)2 (3)3是(A)的特征值 故 |A35A27A|(A)|(1)(2)(3)32318 设方阵与相似, 求x , y.解 方阵与相似，则与的特征多项式相同，即 11. 设A与B都是n阶方阵,且,证明AB与BA相似.证明: 则可逆 则与相似12. 设矩阵可相似对角化 求.解 由,得A的特征值为l1=6, l2=l3=1. 因为A可相似对角化, 所以对于l2=l3=1, 齐次线性方程组(A-E)x=0有两个线性无关的解, 因此R(A-E)=1. 由知当x=3时R(A-E)=1,

22、即x=3为所求. 设3阶方阵A的特征值为;对应的特征向量依次为求A.解：因为，又，所以，.14. 已知是矩阵的一个特征向量， 试求参数及特征向量所对应的特征值.解： 设l是特征向量p所对应的特征值, 则 (A-lE)p=0, 即, 解之得l=-1, a=-3, b=0. 设3阶实对称阵A的特征值为6,3,3, 与特征值6对应的特征向量为，求A.解： 设. 由， 知 3是的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知的秩为1，故利用 可推出 秩为1.则存在实的使得成立由解得得 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:(1); 解：故得特征值为当时，由. 解得 . 单位特征向量可取:当时,

23、由. 解得. 单位特征向量可取: 当时,由.解得 单位特征向量可取: , 得正交阵. . (2) 解：，故得特征值为当时，由. 解得 此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量; ， 单位化得 当时,由. 解得. 单位化得.得正交阵. 17. 设 求解 由 得A的特征值为11 25 35 对于11 解方程(AE)x0 得特征向量p1(1 0 0)T 对于15 解方程(A5E)x0 得特征向量p2(2 1 2)T 对于15 解方程(A5E)x0 得特征向量p3(1 2 1)T 令P(p1 p2 p3) 则 P1APdiag(1 5 5) APP1 A100P100P1 因为 100dia

24、g(1 5100 5100) 所以 18. 用矩阵记号表示下列二次型:(1);解： (2).解：19. 求一个正交矩阵化下列二次型成标准形:(1) ;解：二次型的矩阵为, 故的特征值为当时, 解方程，由. 得基础解系 . 取 当时，解方程，由，得基础解系 . 取当时，解方程，由 得基础解系 . 取 ，于是正交变换为. 且有 (2) .解：二次型矩阵为 ，故的特征值为当时，可得单位特征向量，当时，可得单位特征向量，当时，可得单位特征向量，于是正交变换为 且有20. 证明:二次型在时的最大值为方阵A的最大特征值.证明 为实对称矩阵，则有一正交矩阵，使得成立其中为的特征值，不妨设最大，为正交矩阵，则且，故则 其中当时，即即 故得证21.用配方法化下列二次形成规范形 并写出所用变换的矩阵：(1)；解 f(x1 x2 x3)x122x322x1x32x2x3 (x1x3)2x322x2x3 (x1x3)2x22(x2x3)2 令 即 二次型化为规范形fy12y22y32所用的变换矩阵为 (2).解 f(x1 x2 x3)2x12x224x322x1x22x2x