1.3秦九韶算法 (2)

1、1.3中国古代数学中的算法案例秦九韶算法 秦九韶秦九韶（1208年1261年）南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。字道古，汉族，自称鲁郡（今山东）人，生于普州安岳（今属四川）。精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，不久死于梅州任所，著作数书九章，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。学习目标：知识与技能：了解秦九韶算法的计算方法和步骤，了解秦九韶算法的程序框图。过程与方法：改变解决问题的思路，要将抽象的数学思维转变为具体的步骤化的思维方法，提高逻辑思维能力。情感态度与价值观：体会中国古代数学对世界数学发展的贡

2、献，增强爱国主义情怀。重点：秦九韶算法的计算方法和步骤难点：体会秦九韶算法案例中蕴含的算法思想，利用它解决具体问题新课探究:思考1：怎样求多项式f(x)=2x3- 4x2+3x+1 当x=2时的值呢？算法1：问：算法中共用了多少次乘法？多少次加法？f(2)=3+2+1=6次乘法运算，3次加法运算f(2)=求多项式f(x)=2x3-4x2+3x+1 ，当x=2时的值?算法2：共做了3次乘法运算，3次加法运算。f(x)=2x3- 4x2+3x+1 改写为：f(x)=( (2x-4)x+3)x+1问：算法中共用了多少次乘法？多少次加法？接下来应该如何计算？思考2：如何用秦九韶算法完成一般多项式的求值

3、问题？一、数书九章秦九韶算法设f(x)是一元n 次的多项式首先多项式改写为：f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+.+a1)x+a0=(anxn-2+an-1xn-3+.+a2)x+a1)x+a0= .=(.(anx+an-1)x+an-2)x+.+a1)x+a0先算最内层的一次多项式的值，即然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即 共计算n次乘法，n次加法这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。f(x)=(.(anx+an-1)x+an-2)x

4、+.+a1)x+a0共计算多少次乘法，多少次加法？比较:一元n次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0 常规方法计算需要多少次乘法，多少次加法？n+(n-1)+(n-2)+.+2+1= 次乘法n次加法秦九韶算法的优点：大大减少了乘法的计算次数,提高计算效率 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。递推公式：二、程序框图：输入ai开始输入n, an, xi=0?输出v结束v=vx+aii=i-1YNi=n-1V=an思考3:该算法的程序框图如何表示？例1：已知多项式f(x)=3x4+2x2+4x+2，用秦九韶算法求f(-2)的值及V1,V3的值。解：

5、理论迁移补全 f(x)=3x4+0 x3+2x2+4x+2改写成 f(x)=( 3x+0 ) x+2) x+4) x+2 注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项应将其系数补0.共用了多少次乘法，多少次加法？4次乘法，3次加法练习1：已知多项式f(x)=3x4+2x3-5x2-5x+1当用秦九韶算法求这个多项式当x=-1时的值,并统计需要多少次乘法计算和多少次加法计算？1.用秦九韶算法计算多项式f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是( ) A.6,6 B.5,6 C.5,5 D.6,5A2.(2010山东模拟)利用秦九韶算法计算函数f(x)=x+2x2+3x3+4