2.3.2 等比数列的通项性质

1、【课标要求】 1理解等比数列的性质并能应用 2了解等比数列同指数函数间的关系 3会用等比数列的性质解题【核心扫描】 1等比数列的性质及应用(重点) 2等比数列与等差数列的综合应用(重点) 3与函数、方程、不等式等结合命题(难点)第2课时 等比数列的性质及应用an是公差为d的等差数列 bn是公比为q的等比数列 性质： an=am+(n-m)d猜想： 性质：若an-k,an,an+k是an中的三项， 则2an=an-k+an+k 猜想2：性质： 若n+m=p+q则am+an=ap+aq猜想3：性质：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)猜想：性质: 若cn是公差为d的等差数列，则数

2、列an+cn是公差为d+d的等差数列。 猜想：an是公差为d的等差数列 bn是公比为q的等比数列 性质： an=am+(n-m)d猜想： 性质：若an-k,an,an+k是an中的三项， 则2an=an-k+an+k 猜想2：若an-k,an,an+k是an的三项，则 =bn-kbn+k性质： 若n+m=p+q则am+an=ap+aq猜想3：若n+m=p+q则bnbm=bpbq,性质：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)猜想：从原数列中取出偶数项，组成的新数列公比为 .(可推广) 性质: 若cn是公差为d的等差数列，则数列an+cn是公差为d+d的等差数列。 猜想：若dn是公

3、比为q的等比数列,则数列bndn是公比为qq的等比数列. 等比数列的项与序号的关系以及性质设等比数列an的公比为q.(1)两项关系：an_(m，nN*)(2)多项关系：若mnpq(m，n，p，qN*)，则aman_. 若mn2k(m，n，kN*)，那么amanak2(3)若m，n，p(m，n，pN*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列等比数列的项的对称性有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两自学导引12amqnmapaqan1ank1等比数列的项与序号的关系以及性质设等比数列an的公比为q.(1)两项关系：an_(m，nN*)(2)多项关系：若mnpq(m，n，p，qN

4、*)，则aman_. 若mn2k(m，n，kN*)，那么amanak2(3)若m，n，p(m，n，pN*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列等比数列的项的对称性有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两amqnm 已知数列an为等比数列(1)若an0，且a2a42a3a5a4a636，求a3a5的值；(2)若a1a2a37，a1a2a38，求数列an的通项公式思路探索 应用等比数列的性质：a2a4a32，a4a6a52，a1a3a22，化简已知，可求解解(1)法一an0，a10，q0.又a2a42a3a5a4a636，a1qa1q32a1q2a1q4a1q3a1q536，即

5、a12q42a12q6a12q836，【例1】a12q4(12q2q4)36，即a12q4(1q2)236，a1q2(1q2)6，a3a5a1q2a1q4a1q2(1q2)6.法二a2a42a3a5a4a636，a322a3a5a5236，(a3a5)236，a3a56.(2)a22a1a3代入已知，得a238，a22. 在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果(2)已知数列an成等比数列若a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值解(1)在等比数列an中，a1a9a3a7，由已知可得：a3a764与a3a720联立得：【变式1】 (1)在递增等比数列an中，a1a964，a3a720，求a11的值 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数思路探索 根据等差数列和等比数列的性质，设出未知数，结合题中条件求解即可【例2】所以，当a4，d4时，所求四个数为0,4,8,16；当a9，d6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.当a8，q2时，所求四个数为0,4,8,16；故所求四个数为0,4