2022年专项练习题集-不等式恒成立问题

1、20XX 年专项练习题集-不等式恒成立问题三级知识点：不等式恒成立问题介绍： 不等式恒成立问题以含参不等式“ 恒成立”为载体， 镶嵌函数、 方程、不等式等内容，综合性强，能力要求高，为历年高考试题的热点。选择题1不等式2 mx2 mx30对一切 xR 恒成立，则实数m的取值范围是（）A3m0B3m0C3m0D3m0【分值】 5 【答案】 D 【易错点】容易忽略m0的情形。【考查方向】本题主要考查了含参数的二次不等式的恒成立问题。【解题思路】对 m的分类讨论，（1）m0，（2 ）当m0时，结合二次函数图象，二次函数应该开口向下，判别式小于等于零，列出满足的条件求解【解析】当m0时不等式化为30

2、恒成立；当m0时需满足m0，所以3m0，0综上可知实数 a 的取值范围是3m0. 1,2，不2已知f x ( )ax2bx3，不等式f(x)0的解集是 ( 1,3) ，若对于任意x等式f x ( )m10恒成立， m 的取值范围是（）A 14,10B (, 10C (, 14D 14,14【分值】 5 【答案】 C 【易错点】不会求出 a，b 的值，不会转化恒成立问题。【考查方向】 本题主要考查了函数的解析式，考查恒成立问题，解题的关键是利用好不等式的解集与方程解之间的关系，将恒成立问题转化为函数的最值加以解决2【解题思路】 （1）根据不等式的解集与方程解之间的关系可知 ax bx 3 0 的

3、两根为 1，3 ，从而可求 a b 的值，进而可求 f x 的解析式；（ 2）要使对于任意 x 1,2，不等式f x ( ) m 10 恒成立，只需 f x ( ) 10 min m 即可，从而可求 m 的范围2【解析】不等式 f x ( ) 0 的解集是 ( 1,3)，所以 1和 3 是方程 ax bx 3 0 的两个根，由2韦 达 定 理 得 a 1, b 2 所 以 f x ( ) x 2 x 3， 所 以 f ( x ) m 10 恒 成 立 等 价于2 2 2x 2 x 13 m恒成立，由 x 2 x 13 ( x 1) 14 14，所以 m 14选 C3对任意的实数 x ，不等式

4、x 3 x a 0 恒成立，则实数 a的取值范围是（）Aa033B 0aCa3Da【分值】 5 【答案】 D 【易错点】不会去掉绝对值，函数的最值。【考查方向】本题主要考查了含参数的绝对值不等式的恒成立问题。【解题思路】令f x ( )3x3x ，依题意，只需求得f x ( ) min即可求得 a 的取值范围3，【解析】令f( )xx3,x3x3，则f x ( ) min3，所以af x ( )min3，即a2x3,故选 C.4若不等式x2tx90对于任意x(0,)都成立，则 t 的最大值是（）A 0 B-6 C6 D 9 【分值】 5 【答案】 C 【易错点】不会将变量 t 分离出来。【考查

5、方向】本题主要考查了含参数的二次不等式的恒成立问题以及分类变量法。【解题思路】首先根据不等式将0t 分离出来，即tx9对任意x(0,)都成立，即xtx9min对 于 任 意x( 0,) 都 成 立 等 价 于tx9 x对 任 意x【 解 析 】 不 等 式x2tx9x(0,)都成立因为x92)2x96，所以只需t6即可故 C 正确xx5若关于 x 的不等式x2( ax12 a0对任意的a 2,2均成立，则 x 的取值范围是（）(3,)A (,1)B (,5)( 5,C (,5)(3,D (5,3)【分值】 5 【答案】 C 【易错点】不知道讲原不等式转化为关于 a 的一次函数。【考查方向】 本

6、题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，加以解决将恒成立问题转化为函数的最值【解题思路】可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在-2 ，2 内关于 a 的一次函数大于 0 恒成立的问题 . 解：原不等式转化为a x2)x22x10在a 2,2时恒成立 , 设f a ( )a x2)2 x2x1,则f a 在-2,2 上恒大于 0，故有：f( 2)0即x24x30解得：x3 或x1x5 或x5f(2)0 x250所以x3 或x5，故选 C. 填空6若函数f x ( )sinxacosx3的图象始终在直线y1的上方，则a 的取值范围是_【分值】 5 【答案】 (3, 3)f x ( )sinxac

7、osx3进行变形， 不会将f x 在y1【易错点】 不会利用辅助角公式对的上方转化成f x ( )1恒成立。【考查方向】三角恒等变换和不等式恒成立问题。【解题思路】问题转化为 f x ( ) 1 恒成立，利用三角恒等变形以及三角函数的最值建立不等式，求出 a 的范围。【解析】由 f x 的图象始终在 y 1 的上方，即 f x ( ) 1 恒成立，2 2f x ( ) sin x a cos x 3 a 1sin( x ) 3 1，即 a 1sin( x ) 2 恒成立，2 2即 sin( x ) 2 恒成立，所以 1 2，解得 3 a 3a 1 a 127若关于 x 的不等式 x mx m

8、1 恒成立，则实数 m【分值】 5 【答案】 2 【易错点】判别式容易容易出现 0 。【考查方向】二次不等式恒成立问题。【解题思路】将不等式右边项移到左边，利用判别式0 ，求出 m 的值 . 【 解 析 】 原 不 等 式 可 变 为x2mx1m10，0 ，2 m4m10，m220，m2. log a x在区间0,2 上恒成立，则实数a 的取值范围8已知a1，若关于 x 不等式x是【分值】 5 【答案】4,【易错点】不会转化原不等式，不会利用数形结合处理本题。【考查方向】 本题主要考查了反比例函数及其单调性、不等式恒成立问题，同时考查了数形结合的思想。【解题思路】由题意可转化为不等式 log

9、a x 1x 在区间 0,2 上恒成立，由图象可知，在区1间 0,2 上，函数 y 的图象在函数 y loga x 的图象的上方，从而可得解xa 11【解析】依题意 log a xx，则必有则必有log 2 1，解得 a 4，所以实数 a 的取值2范围 4,综合题9已知函数f x ( )1ax3x21(xR )其中a0，若在区间1,2上，f x ( )0恒32成立，求 a 的取值范围【分值】 6 【答案】2 3 3a18【易错点】导数的计算与分类讨论。【考查方向】导数与不等式恒成立问题。【解题思路】 对f( )1ax3x21进行求导， 判断利用导数求出f x ( )13 axx21的33极值点

10、，利用极值点与端点值的函数值大于0 ，解不等式，得到a 的取值范围。0。【解析】f( )ax22xax x2)，由于a0，所以2 a0，对 a 进行讨论：a（1 ）若 0a1，2 a2，于是当1x0时，f( )0；当 0 x2时，f( )由f(21)00，即a18，由 0a1，故无解。时，f ( )0，2f(a9)8a（2 ）若a1，2 a2，于是当1x0时，f( )0；当0 x2a当2 ax2时，f( )0。由f(1)00，即a218，解得2 3 3a18。2a4a 的取值范围 . f(2)3综合（ 1）（2）得2 3 3a18。10 已知不等式ax23 xa10对于所有的实数x 不等式恒成立，求【分值】 6 【答案】a125a0的情形。【易错点】讨论时容易忽略【考查方向】本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题。【解题思路】当