理数通用版8.7抛物线课后限时作业

1、高考立体设计理数通用版 8.7 抛物线课后限时作业一、选择题本大题共6小题，每题7分，共42分1. 抛物线yx2的准线方程是 ()A2x10 B2y10C4x10 D4y10解析：2p1，所以yeq f(p,2)eq f(1,4)，所以准线方程为4y10，选D.答案：D2. 抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x2y21的一个焦点，那么此抛物线的焦点到准线的距离为 ()A2eq r(3) B.eq r(3) C.eq f(r(3),2) D.eq f(r(3),4)解析：4x2y21化为标准方程为eq f(x2,f(1,4)y21，焦点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(r

2、(3),2)，所以焦点到准线的距离为eq r(3)，所以选B.答案：B3.直线l过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F，且交抛物线C于A，B两点，分别从A，B两点向抛物线的准线引垂线，垂足分别为A1,B1，那么A1FB1是 ( )解析：由|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|易得.答案：B4.沈阳质检抛物线y24x的焦点为F，过F且倾斜角等于eq f(,3)的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A，那么AF的长为 ()A2 B4 C6 D8解析：方法一：(数形结合法)过点A作抛物线的准线x1的垂线，垂足为B，由抛物线定义，有|AB|AF|，易知AB平行于x轴，AFxeq f(,3)，BAF

3、eq f(,3)，ABF是等边三角形，过F作FC垂直于AB于点C，那么|CA|BC|p2，故|AF|AB|4.方法二：(代数法)焦点F(1,0)，AF的直线方程为y0tan eq f(,3)(x1)，即yeq r(3)(x1)，代入抛物线方程y24x，得eq r(3)(x1)24x，即3x210 x30，解得x3或eq f(1,3)(舍去)，故点A的坐标为(3,2eq r(3)，|AF|eq r(3122r(3)02)4.答案：B5.点Px,y在以原点为圆心的圆上运动，那么点Qx+y,xy的轨迹是 ( ) 解析：点P的轨迹方程是x2+y2=1,令a=x+y，b=xy,将式两边平方得a2=x2+

4、y2+2xy,将x2+y2=1及式代入得a2=1+2b，所以点Q的轨迹是抛物线.答案：B6.合肥质检抛物线y22px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，并且2x2x1x3，那么有 ()A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C2|FP2|FP1|FP3|D|FP2|2|FP1|FP3|解析：抛物线的准线方程为xeq f(p,2)，根据抛物线的定义，得|FP1|x1eq f(p,2)，|FP2|x2eq f(p,2)，|FP3|x3eq f(p,2).因为2x2x1x3，所以2eq blc(rc)(avs4alco

5、1(x2f(p,2)eq blc(rc)(avs4alco1(x1f(p,2)eq blc(rc)(avs4alco1(x3f(p,2)，即2|FP2|FP1|FP3|.答案：C二、填空题本大题共4小题，每题6分，共24分2=x的一条焦点弦，且|AB|=4，那么线段AB的中点C到直线x+=0的距离是 .解析：线段AB的中点C到准线x=-的距离为|AB|长的一半，那么点C到直线x+=0的距离为.答案：8. 当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米，当水面升高1米后，水面宽度是 米解析：如图，设抛物线方程为yax2.将(4，2)代入方程得aeq f(1,8).那么抛物线方程为yeq f(1

6、,8)x2.令y1，那么x2eq r(2).那么水面宽度为4eq r(2).答案：4eq r(2)9.Q(4,0),P为y2=x+1上任一点，那么PQ的最小值为 .答案：2=4x，过点P4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，那么y21+y22的最小值是 .解析：设直线方程x=my+4,代入y2=4x消去x得关于y的一元二次方程，y2-4my-16=0,=16m2+640.y1+y2=4m,y1y2=-16,y21+y22=(y1+y2)2-2y1y2=16m2+3232,当m=0时，y21+y22取得最小值32.答案：32三、解答题本大题共2小题，每题12分，共2

7、4分2=2px(p0)上有一内接直角三角形，直角顶点在原点，一直角边的方程是y=2x,斜边长是5，求此抛物线方程.解：设AOB的抛物线的内接直角三角形，直角顶点为O，AO边的方程是y=2x,那么OB边的方程为y=-x.由y=2x, y2=2px得点A坐标为,p.由y=-x, y2=2px得点B坐标为8p,-4p.因为|AB|=5,12. 动圆过定点A(1,0)，且与直线x1相切(1)求动圆的圆心轨迹C的方程；(2)是否存在直线l，使l过点B(0,1)，并与轨迹C交于P、Q两点，且满足eq o(OP,sup6()eq o(OQ,sup6()0？假设存在，求出直线l的方程；假设不存在，说明理由解：

8、(1)设M为动圆圆心，由题意知：|MA|等于M到定直线x1的距离，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中A(1,0)为焦点，x1为准线所以动圆的圆心M的轨迹C的方程为：y24x.(2)由题意可设直线l的方程为xk(y1)(k0)，由eq blcrc (avs4alco1(xky1，,y24x)得y24ky4k0.所以16k216k0k1或k0.又y1y24k，y1y24k.由eq o(OP,sup6()eq o(OQ,sup6()0 x1x2y1y20k2(y11)(y21)y1y20(k21)y1y2k2(y1y2)k204k(k21)k24kk20k4或k0(舍去)又k40)交于A、B

9、两点，点F为抛物线的焦点，假设FAB为直角三角形，那么双曲线的离心率是 ()A.eq r(3) B.eq r(6) C2 D3解析：由题意易知，抛物线的准线方程为x1，焦点为F(1,0)，直线x1与双曲线的交点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(r(1a2),a)，假设FAB为直角三角形，那么只能AFB为直角，FAB为等腰直角三角形，所以eq f(r(1a2),a)2aeq f(r(5),5)，从而可得ceq f(r(30),5)，所以双曲线的离心率eeq f(c,a)eq r(6)，选B.答案：B二、填空题本大题共2小题，每题8分，共16分3. 假设点(3,1)是抛物线y

10、22px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，那么p_ _.解析：直线的方程为y2(x3)12x5，将eq blcrc (avs4alco1(y2x5，,y22px)联立得4x2(202p)x250.那么x1x2eq f(202p,4)6，解得p2.答案：24.抛物线y=2px2(p0)的焦点为F，点P(1, )在抛物线上，过P作PQ垂直抛物线的准线，垂足为Q.假设抛物线的准线与对称轴相交于点M，那么四边形PQMF的面积为 .解析：由P(1, )在抛物线上，得p=，故抛物线的标准方程为x2=4y,点F(0,1)，准线为y=-1,所以|FM|=2，|PQ|=1+=，|MQ|=1，那么直角梯

11、形PQMF的面积为(+2)1=.答案：三、解答题本大题共2小题，每题14分，共28分5.江苏无锡模拟点P1，3，圆C：x-m2+y2=过点A(1，-)，F点为抛物线y2=2px(p0)的焦点，直线PF与圆相切.(1)求m的值与抛物线的方程；2设点B2,5，点Q为抛物线上的一个动点，求的取值范围.解：1点A代入圆C的方程,得(1-m)2+(-)2=.所以m=1，圆C：x-12+y2=.当直线PF的斜率不存在时不合题意.当直线PF的斜率存在时，设为k，那么PF:y=k(x-1)+3,即kx-y-k+3=0.因为直线PF与圆C相切，所以,解得k=1或k=-1.当k=1时，直线PF与x轴的交点横坐标为

12、-2，不合题意，舍去.当k=-1时，直线PF与x轴的交点横坐标为4，符合题意.所以p2=4,所以抛物线方程为y2=16x.(2) =(-1,-2),设Qx,y, =(x-2,y-5),=-x-2)+(-2)(y-5)=-x-2y+12=-2y+12=- (y+16)2+2828.所以的取值范围为-,28.6. 设抛物线的方程为y24x，过点P(2,0)的直线l与抛物线交于A、B两点，点Q满足eq o(OQ,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(R)(1)当1时，求点Q的轨迹方程；(2)假设点Q在x轴上，且13，求直线l的斜率k的取值范围解：方法一：设直线l的方程

13、为myx2，代入y24x得：y24my80.设A、B点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)那么y1y24m，y1y28.(1)设Q(x，y)，因为eq o(OQ,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，所以yy1y24m.所以xx1x2m(y1y2)44m24.消去m得：xeq f(y2,4)4，即点Q的轨迹方程为：y24(x4)(2)因为eq o(OQ,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(x1x2，y1y2)且点Q在x轴上，所以y1y20，即y1y2.eq blcrc (avs4alco1(y1y21y24m，,y1y

14、2yoal(2,2)8.)消去y2得：eq blc(rc)(avs4alco1(f(4m,1)28.2m2eq f(12,)eq f(1,)2.设f()eq f(1,)2，当10恒成立所以0eq f(1,)2eq f(4,3)，即0m2eq f(3,2).所以keq f(r(6),2)即为直线l的斜率k的取值范围方法二：(1)因为eq o(OQ,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，当直线l的斜率不存在时，由抛物线的对称性得Q点坐标为(4,0)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2)，代入y24x得k2x2(4k24)x4k20，所以k0.设A、B、Q

15、点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)、Q(x，y)因为eq o(OQ,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，所以eq blcrc (avs4alco1(xx1x2f(4k24,k2)，,yy1y2kx1x24k，)解得eq blcrc (avs4alco1(x4f(4,k2)，,yf(4,k).)消去k得：xeq f(y2,4)4.又点(4,0)的坐标也满足方程，所以点Q的轨迹方程为：y24(x4)(2)因为eq o(OQ,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(x1x2，y1y2)且点Q在x轴上，所以y1y20，即k(x12)k(x22)0.所以eq blcrc (avs4alco1(x12x220，,x1x24blc(rc)(avs4alco1(4f(4,k2)4，,x1x2x12x222x1x244，)即eq blcrc (avs4alco1(x12x22，,x12x22f(4,k2)，,x12x222blc(rc)(avs4alco1(4f(4,k2)，)整理得：eq f(2,k2)eq f(12,)eq f(1,)2.设f()eq f(1,)2，当10恒成立所以0eq f(1,)2eq f(4,3)，0eq f(1,k2)eq f(3,2).所以k