高一数学--函数的基本性质

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业函数的基本性质一、知识梳理1.奇偶性（1）定义：设函数的定义域为，如果对于内任意一个，都有，且，那么这个函数叫做奇函数.设函数的定义域为，如果对于内任意一个，都有，且，那么这个函数叫做偶函数.（2）如果函数不具有上述性质，则不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则既是奇函数，又是偶函数.函数是奇函数或是偶函数的性质称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.（3）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则也一定在定义域内

2、.即定义域是关于原点对称的点集.（4）图象的对称性质：一个函数是奇函数当且仅当它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的当且仅当它的图象关于y轴对称.（5）奇偶函数的运算性质：设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇.（6）奇（偶）函数图象对称性的推广：若函数的图象关于直线对称，则；若函数的图象关于点对称，则.2.单调性（1）定义：一般地，设函数的定义域为，区间.如果对于区间内的任意两个值，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间；如果对于区间内的任意两个值，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间.（2）函数的单调

3、性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质.（3）设复合函数，其中，A是定义域的某个区间，B是映射g : 的象集.若在 A上是增（或减）函数，在B上也是增（或减）函数，则函数在A上是增函数；若在A上是增（或减）函数，而在B上是减（或增）函数，则函数在A上是减函数.（4）奇偶函数的单调性奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反. 在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数.3.最值（1）定义：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的I，都有M；存在I，使得M，那么，称M是函数的最大值. 设函数

4、的定义域为I，如果存在实数满足：对于任意的I，都有；存在I，使得，那么，称是函数的最小值.（2）函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在I，使得M（）；函数最大（小）值应该是所有函数值中的最大（小）者，即对于任意的I，都有M（）.二、方法归纳1.利用定义判断函数奇偶性的方法（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；（2）确定与的关系；（3）作出相应结论：若或 0，则是偶函数；若或 0，则是奇函数.2.利用定义证明或判断函数单调性的步骤（1）任取，D，且； （2）作差；（3）变形（通常是因式分解和配方）；（4）定号（即判断差的正负）；（5）下结论（即指出函数在给定的区间D

5、上的单调性）.3.求函数最大（小）值的 一般方法（1）求值域进而得到最大（小）值.求函数的值域的常见方法：直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法、反函数法、单调性法等等.（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值.（3）利用函数的图象求函数的最大（小）值；三、典型例题精讲【例1】判断下列函数的奇偶性.（1）； （2）. 错解分析：（1）.显然有，为偶函数.（2），于是且.为非奇非偶函数.解析：（1）的定义域为，即11.定义域不是关于原点对称的数集，为非奇非偶函数.（2）的定义域为且，即11且0，此时.，为奇函数.技巧提示：正确判定函数的奇偶性，必须先考虑函数的定义域.又例:判断下列函数

6、的奇偶性.（1）； （2）；（3）.解析：（1） 0，即11.此时，为奇函数.（2）当0，0时，；当0，0时，； 为奇函数.（3）的定义域为.此时函数化为0，. 既是奇函数又是偶函数.【例2】讨论函数的奇偶性.解析：函数定义域为R，又.为偶函数.技巧提示：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）.如本题亦可先化简：，显然为偶函数.从这可以看出，化简后再解决要容易得多.又例：证明函数为奇函数.解析：0为奇函数.再例：讨论函数 （0）的奇偶性.解析： ， 要分0与0两类讨论.（i

7、）当0时，由，函数的定义域为 ，0， ，为奇函数；（ii）当0时，由，函数的定义域为，0， ，既不是奇函数，也不是偶函数.【例3】求函数的单调区间.错解分析：设，为函数的单调递减区间；为函数的单调递增区间.又为的减函数，为函数的单调递增区间；为函数的单调递减区间.解析：设， 由得函数的定义域为， 区间和分别为函数的单调递减区间和单调递增区间.又，根据复合函数的单调性的规则，得区间和分别为函数的单调递增区间和单调递减区间.技巧提示：函数的单调区间是包含在定义域内的某个区间，因此，求函数的单调区间必须考虑函数的定义域.运用复合函数的单调性规则求函数的单调区间时，要考虑各个基本函数都要有意义.又例：

8、设函数（0），求的单调区间，并证明在其单调区间上的单调性.解析：在定义域内任取， ，0，0，0，只有当或时函数才单调.当或时0.（，）和（，）都是函数的单调减函数区间.【例4】设，是上的偶函数.求的值；（2）证明在上为增函数.解析：（1）依题意，对一切，有，即.对一切成立，则，即.，.（2）设，则，由，得，即，在上为增函数.技巧提示：两小题都只要抓住偶函数、增函数的定义解决问题就不难.两小题中变形的都是因式分解，第（2）小题的变形以容易判别符号为目标.又例：已知是定义在上的偶函数，且在上为减函数，若，求实数的取值范围.解析：是上的偶函数且在上为减函数.由，有，即，解得1或2.再例：二次函数的二

9、次项系数为正，且对任意实数，恒有，若，则的取值范围是_.解析：由二次函数的二次项系数为正，知函数的图象为开口向上的抛物线，由，知2为对称轴，于是有结论：距对称轴较近的点的纵坐标较小.即,20.【例5】已知是定义在R上的增函数，对R有0，且1，设，讨论的单调性，并证明你的结论.解析：在R上任取 、，设，是R上的增函数，且1，当5时01，而当5时1； 若5，则01，01，0， ； 若5，则1 ，1, 0，.综上，在（，5）为减函数，在（5，）为增函数.技巧提示：该题属于判断抽象函数的单调性问题.抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点.又例

10、：已知函数的定义域关于原点对称，且满足：（1）；（2）存在正常数，使1.求证：（）是奇函数；（）是周期函数，并且有一个周期为4.解析：（）设，则所以函数是奇函数.（）令，则即，解得：0.于是有 .所以.因此，函数是周期函数，并且有一个周期为4.【例6】设函数.对任意，有恒成立，则实数的取值范围是.解析：方法一 ：显然0，由于函数在上是增函数，则当0时，不恒成立，因此0.当0时，函数在上是减函数，因此，当时，取得最大值，故恒成立等价于在上的最大值小于零，即，解，得1.于是实数的取值范围是.方法二 ：显然0，由于函数在上是增函数，则当0时，不恒成立，因此0.若0恒成立，因为，0，则需0恒成立，设函

11、数，则在时为增函数，于是时，取得最小值.解 ，得1.于是实数的取值范围是.方法三 ：显然0，由于函数在上是增函数，则当0时，不恒成立，因此0.因为对任意，恒成立，所以对，不等式也成立，于是，即，解 ，得1.于是实数的取值范围是.技巧提示：这是一个“恒成立”问题函数，本题提供了三种解法，其中方法一和方法二较好地应用了函数的单调性.函数在和上都是增函数.在和上小于零；在和上大于零.又例：已知函数，（1）判断函数的奇偶性； （2）若在区间是增函数，求实数的取值范围。解析：（1）当时，为偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数.（2）设， 由，得，又，要使在区间上是增函数，只需.即恒成立，解得.四、课后

12、训练1.若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D.12.设函数和分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）A.|是偶函数 B.|是奇函数C.|是偶函数 D.|是奇函数3.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，且，若，则（ ）A. B. C. D.4.函数是定义在上的奇函数，当时，得图象如图所示，那么不等式的解集是（ ） A. B. C. D.x31oy5.已知在R上是奇函数，且当时，则（ ）A.2 B.2 C.98 D.986.已知定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）A. B. C. D.7.已知是奇函数，那么实数的值等于 .8.已知且，那么_.9.函数的单调增区间是_10.判断函数的奇偶性.11.函数的定义域为D：，且满足对于任意，有. （）求的值；（）判断的奇偶性并证明； （）如果，且在上是增函数，求的取值范围.五、参考答案1.答案：A 2.答案：A3.答案：B解析：