北京邮电大学出版社线性代数习题答案(习题16)

线性代数习题及答案(北京邮电大学出版社戴斌祥主)编习题ー(A类)⑵987654321；④13”(2^-1)(2/(262)…2L求下列各排列的逆序数.0)341782659(3)〃0⑵987654321；④13”(2^-1)(2/(262)…2【解】1)=(H-142H•“•卜®1)」必_—(1)1)=(H-142H•“•卜®1)」必_—(3)r1)•••3-2-

2④t(13-(2a1)(2/(2m2A-2)=(H4+“+31)+gD+O2)+・+l"H)=n®D.2求出j,k使9级排列24jl57k98为偶排列。解:由排列为9级排列,所以j,k只能为36由2排首位,逆序为Q4的逆序数为01的逆序数为37的逆序数为a9的为a8的为l由(W+哥什if为偶数.若j=a仁6则j的逆序为し5的逆序数为Qk的为1,符合题意:若kS则j的逆序为Q5的逆序数为Lk的为4不符合题意.所以j鼻に63写出4阶行列式中含有因子a22a34的项。解:27=(-1严""""。リ0j2a3j3a4ノ4由题意有:j2=2,ム=4._ [1243故J1J2J3J4=厶24ム=卜即〃中含的a22a34项为:(―ロ22a34a43+(-3a22a34a41即为!一34a43+47]3a22a34a414在6阶行列式中,下列各项应带什么符号?a23031a42a56014a65；

解:a23a31a42a56al4a65=a14a23。31042。56。65因为7(431265)=6,(—1-431265)=(_1)6=1所以该项带正号。a32a43al4a51a66a25解:。32。43al4“51。66。25=25a32a43a51a66因为以452316)=8,(W452316)=(一］)8=1所以该项带正号。0200123000100020(1)；⑵30003045000400015用定义计算下列各行列式.010•■0002.0(3)()00•n-ln00•-0【解】Q)身も1)‘却"4!=54 ⑵身12(3)由题意知:=1(3)由题意知:=1%,1=〃其余%=0所以=(-l)T<JlJ2J，,)aij\a2j2aijj'"anjn=(T)但…"％12a23a34…a“T,”a”i=(-1)"-'-1-2-3……(n-l)nr(23…〃1)=〃ー1=(—1严•”!6计算下列各行列式.214-1506-2ah—ac-ae⑵ー川cd-de-bf-cf-ef-1b0-1-1

d【解】Q)D—-12-1~2=0：-1-1(2)D=abcdef-1-11-1(3)D=a-10-1——4ahcdef；-1+(-1)2000-1-1

d1-10d+cd+\=abed+ab+ad+cd+V,101010q+C2(4)。=q+らo+q1010ワー“r4-r\1-2-3-2r4+r21-410-1-1-1-34—4=160.7.证明下列各式.a2aba)2a1b22b1=(a—bp;a2b2c2d2(a+1)"3+1)2(C+げ(d+l)2(a+2)(b+2)(c+2)2(d+2)2(a+3)2S+3)2(c+3)2(d+3)2=0：(3)a2b2c2=(ab+be+ca)(4)D2n—(ad—be)"；【证明】a)。宀左端=CZ—(a+b)(a-b)

2(a-b)

0"と!Pi=ll+a“b(a-b)

a-b0b22b1(ci+b)(ci—b)b(ci~b)2(a-b)=(a-b)2a+b2—(a-b)3—右端.c2-c\②左端=2a+14a+46。+9a22a+1262b+\4み+46b+9C322b22b+\262c+l4c+46c+9q-3c2c22c+l262J+14d+46d+9d22d+l26=0=右端.a2b2c2d2⑶首先考虑4阶范德蒙行列式:“尤）=1111ザa2b2czjc3ab3=(x-a)(x-b)(x-c)(a-b)(a-c)(b-c) (*)从上面的4阶范徳蒙行列式知,多项式的承系数为(ah+be+ac)(a—h)(a—c)(b—c)=(ah+be+ac)a2b2c~但对（阳式右端行列式按第一行展开知X的系数为两者应相等,故a2b2c2aコガc3⑷对ル按第一行展开,得\o"CurrentDocument"0a bab-b cd\o"CurrentDocument"0a bab-b cd0c dc0 0-ん)。2("-り,id—bc)~D2(n_2y1+q1••1ID“=1]+ム*,•1i+11•-11^a2-an_x+anDn_v1+<2]1■1011+%,•1011-,,1+011-••1凡c d 00 0 d=ad-与1)ー反、%“-i)=(ad据此递推下去,可得。2.=(。イー尻、)り2(“-1)=(,=•••=(ad—be)"]D,=(ad—be)"D2n=(ad—bc)n.⑸对行列式的阶数“用数学归纳法.当我时,可直接验算结论成立,假定对这样的al阶行列式结论成立,进而证明阶数为ノ的结论也成立.按〃的最后一列，把〃拆成两个瑯介行列式相加:但由归纳假设0“=^a20“=^a2-an,i+し。M2…ムー1=al=ala2--an_ian1+カ卜（1+さ加%&计算下列域介行列式.X1••11X--1(1)Dn=1I-•X122.-2222•-2②D.二223•-2222••nxy〇…000xy••00⑶)= 000•••xyy00•••0x210••00121.-00012--00⑷q=000-2I000•.12【解】⑴各行都加到第一行,再从第一行提出肝但U）,得11•••11x•**1=[x+(〃T)]：：1 1 ••• X将第一行乘（-1）后分别加到其余各行,得D„=[x+(n-l)]1

x-1=(X+将第一行乘（-1）后分别加到其余各行,得D„=[x+(n-l)]1

x-1=(X+H—1)(X—1)Z，12-n②D〃二可1111200020102■■■0…02…2000按第:往展开ー=—2(〃—2)!.n-2（3）行列式按第一列展开后,得Oxy+y(-Dn+,D„=x+y(-Dn+,210•••00200•••00010...00121••00121•••00121...00012••00012•••00012 00⑷。,==+000••21000•••21000•••21000•••12000...12000...12=2。"_]ー。"-2-Dn-Dn-\=Dn-\-Dn-2由 （。,ー。,-1）+（。1一°“-2）+…+（02ーり）=〃ー1得D“—D、=n—l,Dn=n—l+2=n+l.a计算建介行列式.qム…qム…i+ム【解】各列都加到第一列,再从第一列提出1+ナル,得1将第一行乘（-D后加到其余各行,得1将第一行乘（-D后加到其余各行,得(I…1+%。,1+%,a301n=i+Z%i=I1Q计算〃阶行列式（其中qwO,i=1,2,♦・・,〃）.ナ紈a2aアん如以他・• an■D,.=aザ/ぢー2《ザ・■哂ー2b；-1婷・ザ【解】行列式的各列提取因子すT（ノ=1,2,…,〃レ然后应用范德蒙行列式.2=(的2…%严n—1=（%生…。”产2=(的2…%严n—1=（%生…。”产n1<j<i<nIai1わ21厶a、•1... %a“I円2u3//ヽA3nl2図\a2)A（凡丿ち1厶）n-1 z, 、〃ー1..."I、。2丿ゝ《丿m丿b.\—j_a.ノノL它们的余子式依次为8721。1L已知4阶行列式/中第3列元素依次为T2&求行列式用J值。a\\解:%1a\\解:%1a\2 ー1。14〃22 2 〃24。32 0 。34。42 1 。44幀3=8,M?3=7,%3=2,M43=10Q=Z(-1)%3M3j=l=(-1产q3Mコ+(T)2+3〜%3+(T产63M33+(_］产@3M"コ=(-1)4-(-1)-8+(-1)5-2-7+(-1)6O-2+(-1)711O=-8-14-10=-32.12用克拉默法则解方程组.+5x2+5x2=0,3xj-7ち=2.(2)<西+2x2 =1,x}-x3=4.

Xj+x2+x3=5,(3)Xj+x2+x3=5,(3)くx2+2x3+3x4=3.x}+5x2+6七 =0,0) ち+513+6ム=0,x3+5x4+6x5=0,x4+5x5=1.[4x,+5M=0【解】(l)因为、I“一c02=8所以内吟吟，[3Xj-7x2=202=8所以内吟吟，TOC\o"1-5"\h\zD、 8D 43Xj-x2+x3=2(2)因为＜2+2x2 =1・玉-x3=41-1决1 21-1决1 21011币+i(-i)]

0=0-1 0-113-1=-51-275111021-11D=12-110123(3)方程组的系数行列式为175111021-11D=12-110123(3)方程组的系数行列式为1110-1-310-1-31—1-2101-211230123-1-310-52=18,0;0-1411211-1-120113=18;12ら、05123111211-1-120113=18;12ら、051231-1-120113=36;I2101121512301=361-1251=-18.23故原方程组有惟ー解,为ザ万=1，々ー万一ノ，“3ー万一ノ，ムー万一ーL(4)0=665,2=1507,2=-1145,£>3=703,D4=-395,D5=212.1507 229 37 79 212•V- V* V V*— V* '6652 1333354 13356652X1+Ax2—x3=1,13ス满足什么条件时,线性方程组＜ス玉-ス2+ち=2,有唯一解?4x）+5ちー5ム=32解:はス42=ス44-100マスー1し$=（スー1＞（5ス+4）要使方程组有唯一解,必须庠〇,于是:（スー1）-（5ノ+4）。〇解得：ス,^--当ス不等于L一ー时，方程组有唯一解。514ス和ル为何值时、齐次方程组スホ+x2+x3=0,＜%,+jUx2+x3=0,玉+2/jx2+/=〇有非零解?【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式ス1 11〃1=0,12〃!

故//=0或/1=1时,方程组有非零解.15求三次多项式，(x)=%)+“卢+めづ+スザ,使得/(-I)=0J⑴=4J(2)=3,/(3)=16.【解】根据题意,得f(一])=%—Q]+Q,—%=0；/(1)=〃〇十%+ム+〃3=4；/⑵=〃〇+2q+44+8%=3;/(3)=〃0+3q+9め+27%=16.这是关于四个未知数へ,q,め,小的ー个线性方程组,由于D=48,Do=336,D,=0,D2=-240,03=96.故得4=7,0]=0,a2=-5,a3=2于是所求的多项式为/(x)=7-5x2+2x3(曜)解:令身L已知理介行列式〃的每一列元素之和均为零,则改解:令身a\2+Ct22+"-+a„2 %"+。2"+,ー+4a22 a2nan2 ,•・ へ“0 0•••0323232x的展开式中包含ス、和ザ的项。5x1XX3写出行列式麻12x1，试求ん1+ん，试求ん1+ん2+ん3+ん,其中んノ（ノ=1，2,3,4）为。14“"江（-1严的”心2ノ2。3血4。34ハj2ノ3ノ4444比较可得:只有当/メムカ=1234时,才能出现ズ项,当，あムん=2134,4231时,为ピ项,故。4中含ザ项为:+1〇ザ含ガ项为:(—1)"""42。21。33。44+(—1尸4ハ"。14”22a33a41=-5ザ。134已知4阶行列式・行列式ハ的第4行第ノ列的元素的代数余子式。所以ん]+Aa2+A43+A)4=r[4+l(-4)]=(-D55解方程71=234110401-31-6-6=-(-6-(-3))=3.。，=0.a{1%解:因&：：1a；-1xa"a2a2"~'

ザム0—1a2-l・・,4,-10ザ_]ベ“T1%ー],*-417%"(n+l)x(fi+l)X布グ••,%：11f(-l)"2 2.《ー1ムー1故由出）可得:-1 6!-,-1a,2-l 422Tハn-\ 1a\一1x=(7产ハハT1生-]***6求出使一平面上三个点（X”弘）,（ち,ル），（刍，%）位于同一直线上的充分必要条件•【解】设平面上的直线方程为ax\-by\-c=Q(aル不同时为0)按题设有axx+by\+c=0,<ax2+by2+c=0,

ax3+by3+。=0,则以ab。为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为る弘1ちド2「〇七ル1上式即为三点（あ,口）,（ち,％），（ス3，%）位于同一直线上的充分必要条件・习题ニ（A类）1212设4：212112344 3 2 1母」21-210-10-161r43261r43234-21-212][〇-103152827913(1)计算3A-B'2ArSB若硼足A^B求X若乃商足(2L4-K+2(B-Y旬求?363解:3A-B匕(AES解:匕(AES3392422AB屈4242461385-21 6+221111-10-5+221111-10-5-1(2)因A^B则^B-A即4 3星-210-1(3)因为(10101010TT24322计算下列矩阵的乘积.【解】1210103 10101012-1(6)002100-230003000-3(3) (10)；2-10(3) (10)；-2104-206-303 3⑷41內~+a22x1+6(33X3+(%2+«2i)XlX2+(。13+。31)ズ环3+(め3+。32)ちエ3q5 225 22-4-430-9a\\ a\l 4?+“13(5)622j 。22 。22+。23 ；003设ス=一031 。32 七+旬一003设ス=求(1)/5-2N；⑵AB-BA；(3)(N+5)(N-5)=Nユ一5Z吗?(2)AB—BA=【解】(2)AB—BA=-3-3G4E9(ArBナ星A4G4E9(ArBナ星A4举例说明下列命题是错误的.⑴若ス2=0,则ス=0；则メ=。或Z=E：（3）若メx=/y,a^o,则x=y.【解】(1)以三阶矩阵为例,取ス=,42=0,但正〇(3)令ス=令N=(1)解:（00=0则上4K但孽Y5计算:(2)cos。-sin。sin。cos(1)以三阶矩阵为例,取ス=,42=0,但正〇(3)令ス=令N=(1)解:（00=0则上4K但孽Y5计算:(2)cos。-sin。sin。cos。（厶为正整数）,则当わ2时,cos6D=-一sin。sin。cos。cos。-sin。sin。cos。cos26-2sincos2sin61coscos26coscos26sin20-sin2。cos2。cosm3设Df-—sinmOsinmOcosm0成立,则cos。sin。-sin。cos6cosm6cos。-sinmOsin6sin。cosmO+cos，sinm3-sincosm3设Df-—sinmOsinmOcosm0成立,则cos。sin。-sin。cos6cosm6cos。-sinmOsin6sin。cosmO+cos，sinm3-sincos0-cosmOsin0cosm0cos0-sinm0sin0cosm0sinm0一sin机タcosm0cos(m+1)6sin(/n+1)0-sin(加+1)0cos(〃?+1)。,cos。故有:* .c-sm0sin6cos。cosk0sinん。-sinん6cosk01(3)令全、A当后2时,有:1假设Df,A1

mA1kA6设ス=(办正整数),则12/1mA-a—c解:由已知条件,成立，则1 0(m+l)A1-c，求INI.A的伴随矩阵为A*=-(a2+b2+c2+d2)—a-c-d--(a2+b2+c2+d2)A又因为イス=|/|E,所以有~(a2+b2+c2+d2)A2=\A\E,且冋<0,

\-(a2+b2+c2+d2)A2\=(a2+b2+¢2+メ)4同冋=同4囘M=一43+b2+c2+J2)4=-(a2+b2+c2+d2)2.7.己知线性变换弘=-3z]+z2,

%=2&+ス3,

$=_Z2+3z3,斗弘=-3z]+z2,

%=2&+ス3,

$=_Z2+3z3,利用矩阵乘法求从z„z2,Z3到和々,七的线性变换•【解】已知从而由&,ス2,马到玉,ち43的线性变换为%,=-4Z]+2z2+z3,

イx2=12Zi-4z2+9z3,

x3=-10Z]—z2+16z3.8设ス,8为〃阶方阵,且ス为对称阵,证明:5覚6也是对称阵.【证明】因为瑯介方阵メ为对称阵,即4ラ1所以(BAB,=BAB=BAB故也为对称阵.9设スB为a阶对称方阵,证明:血对称阵的充分必要条件是出丑4【证明】已知メア片所以(BAB,=BAB=BAB故也为对称阵.9设スB为a阶对称方阵,证明:血对称阵的充分必要条件是出丑4【证明】已知メア片则反之,因则=8若力是对称阵,即(AB,三姐AB=(Ad'=BA=^84(A9'=SA=^B^AB所以,皿对称阵.IQA为ハ阶对称矩阵,⑴以是对称矩阵.⑵血上!是对称矩阵,助邱介反对称矩阵,证明:曲田4是反对称矩阵.【证明】因ス^4B=一タ故画书•B=-B63刃

043破=湎-回‘4A-AB

=-BArA-G4ShSr=(A3'+CST=BAAAB=-54M-《3=-G4SHS4.所以户是对称矩阵,曲曲是对称矩阵,曲归4是反对称矩阵.1L求与4J1可交换的全体二阶矩阵.01ab【解】设与ス可交换的方阵为 ,则由caa+cb+d

cdaa+bcc+da+cb+d

cdaa+bcc+d11abab1101cdcd01ab由对应元素相等得アaれ即与ム可交换的方阵为一切形如 的方阵,其中a60a10012求与401201-2为任意数.可交换的全体三阶矩阵.【解】由于00021-3a\b\c:'00o"'00o'aXムcja2b2c2002=002a2b2c24C3_01-3_01-3_«3b3C3.0g2ムー3(?|00 00c22b2-3c2=2a32b3 2c30c32b3-3c3a2-3a3b2-3b3c2-3c3_q=0,2ムー3q=0,2a3=0,生一3a3二0，c2=2b3{3=b2-34,202-3c2=2c3,2b3—3c=c2—3c3,所以。[0 0即与4可交换的一切方阵为0b22b3其中q也也为任意数.0b3b2-3b3c2=2b3,c3=b2-34・a2=a3=b]=c}=0,13求下列矩阵的逆矩阵.⑴(3)-12_25_12345-4-1-2-1⑵④-100-112121002123'2100310-004!【解】a)-5--2-21；②-100-1-2101-21000"（3）]_6--12-7_-3264140一-1-2_④~2ー丄~2丄2ー丄-60丄300丄51丄,8-24-124.14利用逆矩阵,解线性方程组玉+ち+ち=1,

<2x2+2x3=1,

・/一ち=2.ス1 ”「M【解】因〇22x21-1111,而022H021-10玉X215证明下列命题:(1)若ス碗同阶可逆矩阵,则(四・4/.⑵若ス可逆,则ス可逆且(㈤*.(3)若AA4I则(乃‘=04尸.【证明】(D因对任意方阵c均有ざ=が=1cl目而厶E均可逆且同阶,故可得\A\-\B\-BA^\AB\E(SA)二(A3*AB(AA)=SB'A®)A=(ABス㈤@=|ノト\B\(AB*.,z IA#ft151^ft(AB*4/.(2)由于44=以万故ズ=|スN’,从而価’)*=|HI(A'Y'^\A\-'A于是A(A')*~\A\A\Ay'^=E所以ば)*=¢4厂.⑶因44W故ス可逆且A^4.由⑵び尸=64')*,得(Ar'=(A)*=(A)f.16已知线性变换xl=2yl+2y2+y3,-ち=3必+%+5ル,

x3^3y,+2y2+3y3,求从变量占,ち,七到变量x,%，カ的线性变换.【解】已知且IH=1Wft故ス可逆,=ay,-4-493-7X,2-4-7Y=A'X=63所以从变量x,,x2,x3到变量弘,ル，ル的线性变换为

M=-7%-4x2+9x3,<y2=6x,+3x2—7x3,%=3f+2x2-4x3,1ス解下列矩阵方程.3-10【解】Q）令.宀1ス解下列矩阵方程.3-10【解】Q）令.宀2-61.由于スt=3-1-21故原方程的惟ー解为故原方程的惟ー解为X=A'B=3-1-2\\4-618-2-20712而X=A'B=3-1-2\\4-618-2-20712而2¥01-1300-4-22 21/—2 21/—2E|=1-1-1230=一1W〇,1即42み」『逆,故0 10 11-12 2B=(Z-2E)-，=1-1-1211-1-4-3"ir4-5-313-82-912—6-6919设机次多项式/(x)=4+%x+…+a,"x'"记ハ⑷=a°E+%/+…+生メ"’〃⑷称为方阵Z的〃?次多项式.证明Ak=证明Ak=，f(A)=/(A)m)J;②设ス=尸ー男尸,证明ガ=P4*pT,f(B)=Pf(A)P-'.【证明】r2〇 ;3 0⑴/2=勺,，ス、ク,即上^和ユ时,结论成立.〇双［〇相今假设Ak那么Ak+'=AkA=彳所以,对一切自然数A都有Ak=

f(A)^a0E+atA+-+amAmTOC\o"1-5"\h\zス[「4 ] 「"11」L4」 L 不ー_。〇+《ス+…+も" 〇. 0 劭+aル+…+4”芯="(4) "ーーハる)」(2)由⑴与士P一,用得B^P'.15=(B^p]y=Rip',4f(B)=a0E+a}B+-+amBm=a0E+qP/pT+…+amPA"'p-'=P(aQE+%>1+•••+amA"')P''=P/(A)P-'.TOC\o"1-5"\h\z-1-4 -1〇2Q 设P-，P=/.其中P= ,A=,求ス，1 1 021 .114 ,【解】因尸7可逆,且ア7=— ,故由ス=尸，尸73-1-1/°=(P/尸ーヅ=P(4°)PTr-1-41Fl011J|_0210]_r-1-41Fl011J|_0210]_3丄343丄-3_1-1+2'2-31-2101364-340—4+2吐]ー「_1-1+2'2-31-2101364-34021•设〃阶方阵A的伴随矩阵为A\证明:（1）若丨ス1=0,则丨4，I=0；【证明】（D若UM则必有1/Hi因若丨ズ陰。则有ス（乃一1W由此又得a=^ae^a(A)~i=ih(Ay'=a这与丨ズ陰0是矛盾的,故当\A\=a则必有丨A\=O.⑵由aA=\a\e两边取行列式,得\A\\A\=\A\",若则IAHA\-'若若=Q由①知也有IA\=\A\-\22设520210A=007005\A\k&为正整数）.求⑴AB；⑵54；(3)A-；④【解】-232000-10900(1)AB=0 04613—0 0329-1-20 0'-250 0(3)A-'=0 0-230 05-723用矩阵分块的方法,'1980 0"30130 0(2)BA=003314005222_糾メF=（-げ.证明卜一列矩阵可逆,并求其逆矩阵.-1200025000(1)003000001000001-2010202013(3)001000001000001【解】Q）对⑷故如下分块'003-10021(2)2100-23004〇0a2其中4-1_225,*3000100014,4的逆矩阵分别为4T=5-21=工300100001所以ノ可逆,且*5)000-21000A-'=A-i=00丄300•0001000001同理(2)0038丄-8A-'=-4-i-ター00丄4丄4414-1-丄5丄500_253500(3)20丄~20-1A-1—0丄20]_23-200100000100000124用初等变换将卜.列矩阵化为等价标准形。"3(1)31解:(1)'32-432貝12-1"12-0-4-00-106014000*1-1：2-2厶2-4-2-4；2-1H 「1や，1))3|_3-1r[l+2(-l)-10_c[3+l(-6)](2)2-f2-42-4FlLo0'IOC01c000卜1(-2)]12336-40='10-1210-242006-110631也3+2(—1)]7o-,_r[2(-D]10E,O一• a00-12100000〇130T2-1"2_4r[2+1(-3)]00'16O-041 ，(2,3)〉000c[3+210\20(-4)]r[2-42,4)、306-113 0 6 3 1-1 -1 2 1 00 3 0 0 1030Tl0 0 0 0 0-1-1210'0 3 0 0 10 0 0 1 00 0 0 0 0'1002-1'010030010000000r[3+l(-3)]030-41\r[4+l(-3)]イ3+2(-1)]03001-1-1210300000-40000-1200'3001O-100r[3+(-：)] 4)叩+3(T)]、'1C、（へc[4+l(-2)]c[5+l(l)]c[5+2(-3)]L0 0 0100 0 00010000'0100000100"00000しIん,リノc(3,4)'e3o'ooo25利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵。

3-20-132102 21(1)315(2)1-2-3-2323J 1_31 21-i11r-11221110(3)-401； (4)〇11006 -1-11-一1000解:(D对(N|E)イ'32110〇'315010た初等行变换:イ2+1(-1)]-302 11 001-14-110 r[2(-l)]3230013211 001-41 -イ300+1(-1)]叩+3(-01)]° 2-1 ° 1J r[3(1[ 2 〇 ,f3 20 2 2010-1-12)]叩+2(-2)]°° 1-10_ 2rz23002010-1-1°° 0221-22|9 2|一ィ2+3(4)]小生,〇°i-丄〇丄_ 2 2_7 2 3'1006 3-2010-1-12〇〇】-丄〇!2 2 _'7 2_3-6 3-2所以A'=-1-12〇!へ1——0 —L2 2J(2)对(/IE)作初等行变换:'3-20-11000"-1-2-3-20010"02 2 101002(1,3)ゝ02 2 101001-2-3-200103-20-11000312 10001312 10001己+3(sュ2+3(—モユ4+3耳j〇。一。01。。。。ヽ二?s1〇 〇 〇 1〇 〇 1 〇〇 1 〇 〇1 1151311 ,ハハ〇L5|2-|oo5—5丨ー5|一二 512Hl©5|3二165135135|2-IS〇〇〇ュ1+2(2)〕ュ3+2(-4)〕工4+2117)-〇〇〇1 71 2 411 55 11 1110003 118 6 1心+4(7]010011110 11 11100107 79 3 6r[2+4(—)]10000111 55 11 1138 19 6 10r[3+4(--)]1111111110--10--0--04443+2(1)],301——1-U082 811100-182 8r[2+3(3)]100102叩+3(2)]〉0102-13ヘ11100-——18281 71 2 47111 55 11 11-1—243 118 6 1118所以,A'=11110 11 111_-3——6 110〇7 79 3 61179へ,11 55 11 11/ -3-6く8 19 6 10j-8 19-61011111111_一1--112 21〇〇ー叫)]1 0--40——04解:（3）-40 1010“1，2);-112 21 006 -1-10016 -1-100 11 0--〇-丄〇1 0--0——042+1(11)]4444イ3+1(-6)]:02--1-—0壮ダ、301——1-U04482 80-1-0 - 10-1-0 - 12222F1〇〇1043(8)]ヽ0102-100141238

'100000 0 1-,[l+2(-l)]、010000 1-1001001-1000011-10 0-11所以-462 20 1-1-11022-134181111100o-"1111100011100100r[2+l(-l)]00 0-1-11001100001043+K-i)]00-1-1-101010000001彳4+1(—1)]0-1-1-1-1001-11所以-462 20 1-1-11022-134181111100o-"1111100011100100r[2+l(-l)]00 0-1-11001100001043+K-i)]00-1-1-101010000001彳4+1(—1)]0-1-1-1-1001(4)1r(2,4)1-100111-1-1-10-1-1000001010100r[2(-D]r[3(-l)]r[4(-1)]r[/+3(-l)]

z=1,210001100り-111001001100-1生+4(-1)]0110010-10110-10001001-111-10〇,i=1,2,300011-100111101001000010000010010011-110001 01-1-100 0'11111110所以110010000001001-101-101-10026求トー列矩阵的秩。-011-1202-2-20(1)0-1-1111101-1(2)-1-2032104-206-11001100141412 6 8 20102 56104219173)； (4)0013 67 6 3 4 11231432353015205_4563277(1010110010101100(5)011000110101-0102解:(D40-111-10イ3+2(1)]ハ彳4+2(—1)]ハ0'00；011-12--2-20-1110 1 -110 1-1-1-1(42(1)]1aaaa1aa)) oaa\aaaa\"110 1 -1'01-1-100-1-1 1 1-T0「(1,4)「(3,，0り、11-12■110 1 -f01-1-10002 0 200-20 10-20102 0 2_, 110 1-1d3(-)] o1-1-1oj4+3(2)]110 1 -101-1-100010 1000 0 3'1101o-01-1-1000100000 0 11 0 0 0 0-010-100 0 10 00 0 0 0 10 0 0 0"100000_竺i]!))00卫+3(1)]010 10-20 1101-f1-1-10010 100 0 11 1 0 1 〇ー010-100 0 10 00 0 0 0 1一1 0 0 0 〇ー010000010000001r[l+4(l)]ィ3+4(-1)]44+2(1)]c[4+l(-l空,5)ゝノ」)]'-100010000010所以/?(A=4

1-12101-12102-24-20000-40(2)4306-11r[2+l(-2)[3+l(-3)]03001'1-121イ'1-121イ3+2(7)]000-4030003001000000010c[2+l(l)]()3001c[3+l(-2)]00000c[4+l(-l)]〇ー-1-12100000-40厂[4+3(7)]1030-411r[2(--)]00000—4■10000'_c[2+5(-3)]、.000100000100000'10000'01000c(2,4)00100c(3,5)00000所以=&'1412 6 82''00 000"610421917610421917(3)4巾+3(-2)]7 6 3 417 6 341353015205r[4+3(-5)]00 000_所以/?(4=2'1001(4)40001 4'02 513 6r[4+l(-l)]'10010001 4'02 513 61245r[4+2(-2)]3143263277_'100010001r[5+1 4-2 53 61(-4)]r[4+30205(-3)]3132862861'10014'0102500136r[5+2(-5)])0039180061836r[5+3(-6)]0000000000所以タ（M=3

10100101001100001-100(5)4:〇1100イ2+1(-1)]:0110000110001100101101011-1010〇ー'1010001-100ィ3(!)]01-100r[3+2(-l)]00200 Z.―>00100イ5+2(-1)]00110001100011100111巾+3(—1)]「1"+3(1)]30r[4+3(-l)] 0r[5+3(-l)] 0_0所以/?(4=51 a aa 1 a(6)4a a \a a a当“1时〇レ咽亠]0\—aへ >0i=2,3,4Lr[4+3(-2a)]、0000'10000100—00100011a 0m+1(ー。)]ハ小=2,3,4[01 a a\-a a a2 l+a a—1 a 1+a\ a a a0 1 -1 00 0 1 -10001+3。ー-10〇00a a1—a〜ユ—ca-a"\—ci~(aa-a2a-a211a01史+3(T)L,°。43+4(7)][0。相关列变换、)000'1000)100必)010)001ai-a2—a2-a2a a-1 01 -1a1+a'10 0 001 0 000 1 0000l+3a当aW1且。。一丄时,=4

3当ナ1时,7?(ね=七当q=ー丄时,/?(4)=ふ3

-1| 2-a -324-24-2a-63-1| 2-a -324-24-2a-63J|_-36-3a-94-a-44-a-48-3a-60-4因为 =-1杉。所以当为M壬意实数时,均有/?(AB\-B9—4—6(联)1.C2C3C4C5设矩阵,物2阶单位矩阵,矩阵B满足由狭2E则出wr211解:因为な,且B^Q.E则BAr&^.E/2」5(ArB=2E_ キ204011 1 1-又A-E^,所以-11 211—1在 f|万セ1-12-26设44t3,耽3阶非零矩阵,且份。则t=3-11解:因为AB=Q且现非零矩阵,则有U|=a反证法证明以上结论。如果\a\^a则ス可逆,存在Aa^e因为AB=O所以AAB=O^¥0与畝非零矩阵矛盾。故有IH=0>12-2又4：4t3,所以1図=0031図=0011日«-8)+7xll=7(^"8+ll)W(/+3)所以川7.已知矩阵k14=11k14=11k 1 1的秩为3则k1 k 1 1 1 k解由于R（A）=3,则同=0,即k111111111111k11=（A+3）1k11=(ん+3)0k-\0011k111k100k-\1111k111k000k-1=（ん+3）（セ一I），=0.由此得左=一3或、=1.当な=1时,显然有R（A）=1；当た=一3时,4的左上角的3阶子式-3 1 11-3 1=一16マ0.1 1-3故当且仅当た=—3时,夕（4）=3.102则7?(AB8设ス为4X3矩阵,且R(4=2则7?(AB-103102解:因为1目=：020=1VQ所以B可逆。-103所以R(AB刃SN3设方阵A满足ゴTL2E加证明:A及用セE都可逆,并求ズ及Wセカフ证明:因为储ームー2E=0,所以A丄(A—E)=E,两边取行列式.则|川!(A-E)=1/0所以|A|wO,所以A可逆,パ=；(A-E).又イーん-2E=0得ガ=4+2后,由a可逆,则Az可逆,所以AせE可逆(A+2E尸=(ぷ尸=(パ)2=(?&_&)=*_2A+E)1Q设メ是雄介方阵,满足44'=E,且\A\<0,求⑷轟解：|ム田=|Z+44，|=|Z(E+H)|=|厶|J/'+同ヰス|•|(/+E)'|=IH|a田所以(l-|Z|)|/+E|=0,因为1-IH戸。(UIO)所以弘田=a1L若3阶方阵那伴随矩阵为微且㈤巧，求的|(3ス尸ー2/*|值。解:14丄2/?C4=SA*A=\A\'E所以/*=14Iか所以(3ス尸ー24*二ースー］ー214|スー|=(--1)4-=一ラ4ー则|(3ス尸ー2/|=_耕=(_|)3.グ=_県ヽ12设4= 2.. ,其中口尸巴”。ノエ,ノ=1,2,…,〃).证明:与a可交换的只能是对角矩阵.

4/2…斯,、证:设8=a21a22.…a2„与A可交换.<«„1%2 ノag”oc}ai2…レ?则"=%%a2a22…,郎=、磔ga2a2…ag”oc}ai2…レ?则"=%%a2a22…,郎=、ー"--"I一"一"Z 一"一""ノ %2a2 a”.％ノ由A8=BA可得,a{ia{=aViai,由a’H%,iWj,所以当i#1,%=0,i=2,3,…,〃,同’斯、理可得为.=0(，ケノズ,ノ=2,3,・ー,〃)所以8= 2; 是对角矩阵.、 里,“13设A为n阶方阵介2),ズ为A的伴随矩阵,试证:(1)当R(A)=n时,R6)=n(2)当R(A)=n-l时,R@=L(3)当R(A)<n-l时，R6)F证明:(D由マ(A)=〃，所以A可逆.而AA*=同£所以「A*=E,所以A・可逆，即??(A*)=〃.Ml(2)下面先证明一个矩阵秩的性质.设矩阵A、B所以秩°=秩。 =秩(E)+秩(-A8)gB)ぜ。丿="+秩(AB)〇、 (A〇、而秩W秩 ，故秩A厥后n厥(AB)(0B) [EB)由R(A)=n-1(则IAI=U所以AA*=|/4|E=0,所以秩A脈A*Wn即秩A*W1又R(A)f-1,所以A的所有!r-1阶子式不为。即A・有非零元素，即秩A能1,故秩A*=l.(3)由R(A)VlI,故A的所有n-1阶子式为。即A的所有元素为Q从而秩(A*)-Q习题三(A类).设<11=(1,1,0),a2=(0,1,1),a3=(3,4,0),求a『a2及3a付2aa3.解:a「a2=(1,1,0)<0,1,1)=(10,-1),3a什2a2-a3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2).设3(a「a)+2(a2+a)=5(a3+a),其中a|=(2,5,1,3),a2=(10,1,5,10),a3=(4,1,-1,1).求a.解:由3(ara)+2(a2+a)=5(a3+a)整理得:a=-(3a)+2a2-5a3),BPa=l(6,12,18,24)6 6=(1,2,3,4).(1)X(2)X(3)V(4)X(5)X.判别下列向量组的线性相关性.⑴©=(2,5),a2=(-l,3);(2)%=(1,2), 々2=(2,3),“3=(4,3);©=(1,1,3,1)/2=(4,1,-3,2),a3=(l,0,-l,2);©=(1,1,2,2,1),。2=(0,2,1,5,-1)〃3=(2,0,3,-1,3),a4=(l,1,0,4,-l).解：(1)线性无关;(2)线性相关;(3)线性无关;(4)线性相关..设ゐ,。2,。3线性无关,证明；ai,ai+a2,a।+々2+43也线性无关.证明;设ム«+k,(of1+4)+た3(«+4+a3)=0,即(k]+k-,+ム).+(ん2+%)な2+ん3a3=〇.由1,ロZ,生线性无关,有kt+k2+k3=0,

<k2+k3-0,

ム=0•所以ム=ん2=ム=〇,即囚,名+二2,q+4+生线性无关..问“为何值时,向量组a=(1,2,3),a2=(3,-1,2)',%=(2,3,a)线性相关,并将ク3用线性表示.132解:闺=2—13=7(5—a),当“=5时,"必+丄彩32a.作一个以(1,0,1,〇)和(1,-1,0,0)为行向量的秩为4的方阵.解:因向量(1,0,0,0)与(1,0,1,0)和(1,-1,0,0)线性无关,所以(1,OQO)可作为方阵的ー个行向量,因(1,0,0』)与(1,0,1,0),(1,-1,0,0),(1,0,0,’1010、1-100所以(1,0,0,1)可作为方阵的一个行向量.所以方阵可为1000ゝ1001ノ0)线性无关,8.设ク,生,…,名的秩为，且其中每个向量都可经见,见,…,4线性表出,证明:名,名,…,ス为因,火,…,4的ー个极大线性无关组.【证明】若 见,生,…,％ (1)线性相关,且不妨设aヽ,％,…,a,(/<r) (2)是⑴的ー个极大无关组,则显然(2)是必,02,…,砥的ー个极大无关组,这与G,生，…，名的秩为r矛盾,故6,以2,…,%必线性无关且为ス,住!,…,久的」一个极大无关组..求向量组«=(i,i,i4),？=(1」次,1),生=(1，2,ロ)的秩和一个极大无关组.【解】把以,外,火按列排成矩阵ん并对其施行初等变换.-11r-111-111-111A=112—>001T001T0k-101k10k-\00k-\0001k1101-kl-k00l-k000当人1时,名,生,生的秩为2,名,区为其一极大无关组.当とナ1时,%,区,见线性无关,秩为3,极大无关组为其本身..确定向量は=(2,a,か,使向量组片=(1,1,0),夕2=(1,1,1),夕3与向量组a=(0,1,1),

。2=(1,2,1),。3=(1，°，-1)的秩相同,且タ3可由。1。2，以3线性表に【解】由于/=(%,%&)=B/=(%,%&)=B=(月,夕2，夕3)=-011--120"120一0-1-111-1000"112"'11 211a一01b01b00a—2而殯ス)=2,要使R(N)=R(8尸2,需“-2=0,即。=2,又-0112--120 ac=(以,火,火,43)=120aT011 211 b_000b-a+2要使区可由4，氏，生线性表出,需ル。+2=0,故a=2,b=0时满足题设要求,即は=(2,2,0)..求下列向量组的秩与一个极大线性无关组.⑴a产(1,2,1,3),a2=(4,-1,-5,-6),a3=(l,-3,-4,-7);a|=(6,4,1,-1,2),a2=(1,0,2,3,-4),a3=(l,4,-9,-6,22),a4=(7,1,0,-1,3)；a|=(1,-1,2,4),a2=(0,3,1,2),a3=(3,0,7,14),a4=(l,-1,2,〇),a5=(2,1,5,6).解:(1)把向量组作为列向量组成矩阵A,应用初等行变换将A化为最简形矩阵B,则’1 4P‘14 1ヽ<141>(11>1092-1-30-9-501-へ, 5A=T—>901=B1-5-40-9-59000ゝ3-6-7；、〇-18一10ノ〇〇ノ00 0、〇0〇,可知R(A)=R(B：=2,B的第!,2列线性无关,由于A的列向量组与B的对应的列向量有相同的线性组合关系,故与B对应的A的第1,2列线性无关,即a1,a2是该向量组的ー个极大无关组.(2)同理,

'64110214-97、10Tク0-115540-97ヽ10’1002-9〇、71T01-82-11-85540-13-6-105~15-105-15-1ゝ2-4223丿、。—8401ノ、。00q2-90ヽ01-57q2-9〇、'100〇、11ar*01-500100000_45—>0010070010=BTT00010001240010TTゝ〇00〇丿、〇00〇ノ(000 0'10312ヽ'10312ヽ'10312ヽ'10312、-130-110330301101011014=T—>2172501101000-4-400011ゝ421406ノ1022-4-2；、〇〇000ノ、〇〇0〇,可知R(A尸R(B)=3,取线性无关组a1,a3,a5为该向量组的ー个极大无关组.可知R(A)=R(B)=4,A的4个列向量线性无关,即aha(3升司理,2,a夕a4是该向量组的极大无关组.12.求下列向量组的ー个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示.(l)ai=(l,l,3,l),a2=(-l,1,-1,3),a3=(5,-2,8,-9),a4=(-1,3,1,7);(2)at=(1,1,2,3),a2=(1,-1,1,1),a3=(1,3,3,5),a4=(4,-2,5,6),a5=(-3,-l,-5,-7).解:(1)以向量组为列向量组成A,应用初等行变换化为最简形式.a1-115-2-1、3(\-15-1)—»'1-1572-O2/10013271202-74013-18102-7400000020013-9704-148丿0000ゝ/、〇00〇ノノA==B,可知,aレa2为向量组的ー个极大无关组.X]ー爲=5设a3设a3=X,a*a2,即〈西+ム=-23/-x2=8解得,玉=-,x2为+3x2=-9Xj—%2=—]设a4=x设a4=x3ai+x4a2,即《~ 解得,王=1,ち=23%|—%2=1=Bx3 7xx+3x2=7=Bx3 7+ち=1 人2,即X]=2,X2=・1,令a4=X3Q]+X4Q2,-x2=3+あ=4 人可得:く可得：く2,即X]=1,X2=3,令Q5=x5ai+x6a可得:く可得：く2,-x2=-2即X|=-2,X2=-1,所以a3=2a,-a2-x2=-1a4=a1+3a2,a5=-2ara2.设向量组ザ,％,…,a”与月,夕2,…,a秩相同且a，％，…，％（能经后，夕2,…，仇线性表出.证明q,《，ち与・,ガ2,…,我’等价・【解】设向量组a,,a2,（1）与向量组TOC\o"1-5"\h\zタメ2,•••,氏 （2）的极大线性无关组分别为火,火,…,a, （3）和4％…,4 ⑷由于（1）可由（2）线性表出,那么（1）也可由（4）线性表出,从而（3）可以由（4）线性表出,即ra=Z%タノ 0=1,2,…/）.

因（4）线性无关,故（3）线性无关的充分必要条件是同セ0,可由（*）解出2（ノ=1,2,…,尸）,即（4）可由（3）线性表出,从而它们等价,再由它们分别同（1）,（2）等价,所以（1）和（2）等价..设向量组aレa2,…,a$的秩为ロ,向量组BレB2,…,Bt的秩为な,向量组aレa2,…,aBレB2,-,B,的秩为わ,试证:maxgE注!'3、h+功.证明:设asi,…，名“为ai,a2,…，as的ー个极大线性无关组,Bu,B必…,ガイ为BレB2,…,3的ー个极大线性无关组.ロ”…，ム为aレa2» Bi，B2，…,3的一个极大线性无关组,则a,レ…，4,和Bu，…，B9可分别由い,…，ユ线性表示,所以,“《口,なぐら即max{n,r2}Wh,又へ，…，4,可由&$レ…，asrl,Ptl,-,9セ2线性表示及线性无关性可知:hWri+n..已知向量组a|=（l,4,a,a），，a2=（a,l,q,a）',a3=（a,a,l,a）',a4=（4,a,a,l）’的秩为3,试确定a的值.解:以向量组为列向量，组成矩阵A,用行初等变换化为最简形式:qaa4ヽ<1aaaヽ'l+3aaaaヽa1aaTa~\\-a00T0I-a00aa1aa-l0l-a0001ー〃0aa1ノゝa-l001”、〇001”由秩A=3.可知aWl,从而l+3a=0,即a=--.316,求下列矩阵的行向量组的ー个极大线性无关组.2531174375945313225311743759453132759454134253220480215-1203-131104-1【解】（1）矩阵的行向量组%的ー个极大无关组为囚,%,区;峙（2）矩阵的行向量组・的一个极大无关组为«,名,生.a、17.集合Vi=｛（xpx2,---,xn）!玉,め,…,x“WR且X1+・め+…+x.=0｝是否构成向量空间?为什么?【解】由（0,〇,…,〇）G匕知修非空,设以=3,め,…,x.）e匕,尸=（ア],%,…,以）eV”keR）则a+j3=（xt+yi,x2+y2,---,xn+yn）ka-（kx1,kx2,---,kxn）.因为（玉+到）+（ス2+%）+…+（ム+%）=（%+ち+…+ム）+（-+为+…+券）=°，

kx｝+kx2-\1-H〃=k（x]+あ+・・・+ス〃）=0,所以a+夕£ドメaw匕,故匕是向量空间..试证:由6=（i,i,o）,%=（i,o,i）,%=（o,i,i）,生成的向量空间恰为r3.【证明】把火,%,%排成矩阵A=（a],a2,以3）,则110\A\=!〇1=-2。〇,

011所以ク,%,。3线性无关,故ス,区,区是R3的ー个基,因而生成的向量空间恰为R3..求由向量因=（1,2,1,0）,%=（1,1,1,2）,生=（3,4,3,4）,%=（1,1,2,1）,as=（4,5,6,4）所生的向量空间的ー组基及其维数.【解】因为矩阵A=（al,a2,ai,a4,a5）-11314''\1314--11314'214150-1-2-1-30-1-2-1-3一11326T00012-»0001202414_0241400000.♦.%,名,a,是ー组基,其维数是3维的.

.设见=(1,1,0,0)&=(1,0,1,1),片=(2,-1,3,3),夕2=(0,1,-LT),证明:ム(《,生)=ム(片,の.【解】因为矩阵4=(q,%,瓦—)一112 0-'1 1 20-10-110-1-31T013-100 00013-1_00 00由此知向量组名,生与向量组男,尾的秩都是2,并且向量组と,夕2可由向量组a，内线性表出.山习题ジ知这两向量组等价,从而名也可由4,向线性表出・所以厶3，%)=厶(ガメ2)..在R3中求一个向量ケ,使它在下面两个基(1)俑=(1,0,1),a2=(-1,0,0)a3=(0,1,1)(2)^=(0-1,1),⑸=(1,-1,0)A=(1,0,1)下有相同的坐标.【解】设ア在两组基下的坐标均为(あ,ス2,ム)，即X, x}/=(al,a2,a3)ち=电,即外あ,'1-10001_101即-2_リ!"七一1 1x2-2_リ!"七一1 1x2=0,0 0x3k,xl3k(k为任意实数)Xj=k,X)—故/=玉ヨ+x2£2+x3£3=(k2k,-3k).22.验证a=(l,-l,0),a2=(2』,3),a3=(3,l,2)为R3的一个基,并把4=(5,0,7),

优=(-9,-8,-13)用这个基线性表示.【解】设A=(a,,a2,a}),3=(自,夕ユ)，又设B\=る乌+々必+W，优=ち4+x22a2+ら氏,(ス血)=(«,%%)卬(ス血)=(«,%%)卬X2\工3】记作则B=AX.记作则B=AX.因有スcE,故囚,生,。3因有スcE,故囚,生,。3为R,的ー个基,且23-13-3-2夕I=2%+3%一%,夕2=3%一3生一20;.(B类)1.A2.B3.C4.D5.〃=2,b=4.abc^O.设向量组aレa厶aコ线性相关,向量组a2,a3,a4线性无关,问:a।能否由a方a3线性表示?证明你的结论.Q4能否由aI,Q2,a3线性表示?证明你的结论.

解:（1）由向量组a”a2,a3线性相关,知向量组aレaa3的秩小于等于2,而aシa3,a4线性无关,所以a厶a3线性无关,故a方a3是aレaムa3的极大线性无关组,所以a1能由a2,a3线性表ホ.（2）不能.若aく可由a”a2, 线性表示,而a2,¢>3是aレa2,a3的极大线性无关组,所以a4可由a2,a3线性表示.与a2,a3,aく线性无关矛盾..若a,,a2，…,an,an+1线性相关,但其中任意n个向量都线性无关,证明:必存在n+1个全不为零的数ki,k2,…,kn,kn+l,使kis+k2a2"1—i-kn+ian+i=O.证明:因为a”a2，…，an,am线性相关,所以存在不全为零的k”k2,-,kn,院+i使kia]+k2a2+---+kn+lan+1=0若k1=0,则k2a2+…+-a什产〇,由任意n个向量都性线无关,贝リk2="=kn+i=0,矛盾.从加W0,同理可知kH0,i=2,…,n+1,所以存在n+1个全不为零的数ki,k2，…,照,匕+L使k冏+k2a升…+kn+ian+1=O..设A是nXm矩阵,B是mXn矩阵，其中n<m,E为n阶单位矩阵.若AB=E，证明:B的列向量组线性无关.证明:由第2章知识知,秩AWn,秩BWn,可由第2章小结所给矩阵秩的性质,n=秩EWmin｛秩A,秩B｝〈n,所以秩B=n,所以B的列向量的秩为n,即线性无关.习题四（A类）.用消元法解下列方程组.x[+2x2+2x3=2,

2xx[+2x2+2x3=2,

2x}+5x2+2x3=4,

X]+2x2+4x3=6;%+2x2+4x4=2,

3%j+2x2+2x3-3ム=1,

xl+2x2+3x3-3x4=8;【解】⑴4-23614-23620421ヽ1102122-31322-3123-38123-38_123114-2360-32-1-5（一1）•セーム0-12-9-20-25-62一14-23614-23601-292ら+3り、01-2920-32-1-5ね+2り00-42610-25-62001 126吐タ14-23614-23601-292マ+41、01-29200112600112600-42610007425%+4x2-2x3+3x4=6x2-2x3+9x4=2x3+12x4=674x4=25所以~74211

x2= 274144

x,= 742574⑵玉+2x2+2x3=2①く2須+5x2+2x3=4②x1+2x2+4x3=6③解②-®X2得犬2-213=0③YD得2%3=4得同解方程组卜］+2x2+2x3=2④

山⑥得由⑤得由④得得お=2,山⑥得由⑤得由④得得x2=2x3=4,x1=2—2xj_2x?=_]0,(x1K2»X3)T=(-10,4,2)r.(1)X1+3x2+2x3=0,&+5尤(1)X1+3x2+2x3=0,&+5尤2+尤3=0,3%+5x2+8x3=0;るー玉+3Xj-x2+5x3-x4=0,x2-2x3+3x4=0,x2+8x3+x4=0,演+3x2-9x3+7ム=0；%+x2+2x3+2x4+7x5=0,2x,+3x2+4x3+5x43x(+5x2+6x3+8x4=0,=0;(4)%+2ち-2x3+2x4-x5=0,X1+2x2-x3+3x4-2x5=0,2X]+4x2-7x3+x4+x5=0.【解】⑴X1+3x2+2x3=0,

玉+5x2+x3=0,

3X1+5x2+8x3=0.X1+3x2+2x3=02x2-x3=0得基础解系为_7

~2(2)系数矩阵为

1-15-111-233-18113-97りFゝ1-15-102-7402-7404-148勺ーりか“スF%-2りA=1000-12005-7

0

0-1400「(7)=2.ュ其基础解系含有4-R(/)=2个解向量.x1000-12005-7

0

0-1400「(7)=2.ュ其基础解系含有4-R(/)=2个解向量.xt—x2+5x3—x4=0

2x2-7xi+4x4=0=>-1-2013--x72%3須基础解系为(3)得同解方程组3

一5

7210-1-201りー2ハキー3彳7-147玉+ち+2尤3+2x4+7x5=0,

x2+x4-14x5=0,

7x5=0=>x5=0.得基础解系为7-14-21(-2,0,1,0,0)T,(-l,-1,0,1,0).(4)方程的系数矩阵为■12-22-1"'12-22-1A=12-13-2e)001 1-124-71 1_00-3-33■12-22-rへ+3り)0011-iR(/)=2,00000_ュ基础解系所含解向量为n-/?M)=5-2=3个取x取x4为自由未知量丹+爲+2x3=1,丹+爲+2x3=1,2%-x2