2022届上海市静安区上戏附中高三第一次模拟考试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则（ ）ABCD2已知数列中，且当为奇数时，；当为偶数时，则此数列的前项的和为（ ）

2、ABCD3已知等差数列的前项和为，则（ ）A25B32C35D404中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（ ）A6里B12里C24里D48里5如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图则下列结论中表述不正确的是( )A从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B2011

3、年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.6已知数列满足，且成等比数列.若的前n项和为，则的最小值为（ ）ABCD7若复数，其中是虚数单位，则的最大值为( )ABCD8已知函数，若，则的值等于（ ）ABCD9以，为直径的圆的方程是ABCD10已知函数，若成立，则的最小值是（ ）ABCD11已知双

4、曲线的一条渐近线为，圆与相切于点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）ABCD12如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为176，320，则输出的a为（ ）A16B18C20D15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13 “”是“”的_条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）14一次考试后，某班全班50个人数学成绩的平均分为正数，若把当成一个同学的分数，与原来的50个分数一起，算出这51个分数的平均值为，则_15验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上

5、一些干扰象素（防止），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为_.16已知等差数列的前项和为，且，则_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品

6、获利50元，未售出的产品，每盒亏损30元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示.该同学为这个开学季进了160盒该产品，以（单位：盒，）表示这个开学季内的市场需求量，（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润.（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的平均数和众数；（2）将表示为的函数；（3）以需求量的频率作为各需求量的概率，求开学季利润不少于4800元的概率.18（12分）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，D，E分别是，的中点，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求证：平面.19（12分）已知函数，不等式的解集为.（1）求实数，的值；（2）若，求证：.20（12分

7、）对于给定的正整数k，若各项均不为0的数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.（1）证明：等比数列是“数列”；（2）若数列既是“数列”又是“数列”，证明：数列是等比数列.21（12分）已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）（1）求实数的值；（2）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围22（10分）随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括

8、赡养老人费用子女教育费用继续教育费用大病医疗费用等其中前两项的扣除标准为：赡养老人费用：每月扣除2000元子女教育费用：每个子女每月扣除1000元新个税政策的税率表部分内容如下：级数一级二级三级四级每月应纳税所得额（含税）不超过3000元的部分超过3000元至12000元的部分超过12000元至25000元的部分超过25000元至35000元的部分税率3102025（1）现有李某月收入29600元，膝下有一名子女，需要赡养老人，除此之外，无其它专项附加扣除请问李某月应缴纳的个税金额为多少？（2）为研究月薪为20000元的群体的纳税情况，现收集了某城市500名的公司白领的相关资料，通过整理资料可

9、知，有一个孩子的有400人，没有孩子的有100人，有一个孩子的人中有300人需要赡养老人，没有孩子的人中有50人需要赡养老人，并且他们均不符合其它专项附加扣除（受统计的500人中，任何两人均不在一个家庭）若他们的月收入均为20000元，依据样本估计总体的思想，试估计在新个税政策下这类人群缴纳个税金额的分布列与期望参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】求出集合，利用集合的基本运算即可得到结论.【详解】由，得，则集合，所以，.故选：B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合是解决本题的关键，属于

10、基础题.2A【解析】根据分组求和法，利用等差数列的前项和公式求出前项的奇数项的和，利用等比数列的前项和公式求出前项的偶数项的和，进而可求解.【详解】当为奇数时，则数列奇数项是以为首项，以为公差的等差数列，当为偶数时，则数列中每个偶数项加是以为首项，以为公比的等比数列.所以.故选：A【点睛】本题考查了数列分组求和、等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.3C【解析】设出等差数列的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，即有故选：C【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前项和公

11、式的应用，属于容易题4C【解析】设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得，求出（里，由此能求出该人第四天走的路程【详解】设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得：，解得（里，（里故选：C【点睛】本题考查等比数列的某一项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题5D【解析】根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.【详解】对于选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于选项，投资总额为亿元，小于年的亿元，故描述正确.年的投资额为亿，翻两翻得到，故描述正确.对于选项，

12、令代入回归直线方程得亿元，故选项描述不正确.所以本题选D.【点睛】本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.6D【解析】利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得，再利用二次函数的性质，可得当或时，取到最小值.【详解】根据题意，可知为等差数列，公差，由成等比数列，可得，解得.根据单调性，可知当或时，取到最小值，最小值为.故选：D.【点睛】本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当或时同时取到最值.7C【解析】由复数的几何意义可得表示复数，对应的两点间的距离，由

13、两点间距离公式即可求解.【详解】由复数的几何意义可得，复数对应的点为，复数对应的点为，所以，其中，故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型.8B【解析】由函数的奇偶性可得，【详解】其中为奇函数，也为奇函数也为奇函数故选：B【点睛】函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：奇函数奇函数=奇函数；奇函数奇函数=偶函数；奇函数奇函数=偶函数；偶函数偶函数=偶函数；偶函数偶函数=偶函数；奇函数偶函数=奇函数；奇函数偶函数=奇函数9A【解析】设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出，从而求出圆的方程.【详解】设圆的标准方程

14、为，由题意得圆心为，的中点，根据中点坐标公式可得，又，所以圆的标准方程为：，化简整理得，所以本题答案为A.【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题.10A【解析】分析：设，则，把用表示，然后令，由导数求得的最小值详解：设，则，令，则，是上的增函数，又，当时，当时，即在上单调递减，在上单调递增，是极小值也是最小值，的最小值是故选A点睛：本题易错选B，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求的最小值问题，通过构造新函数，转化为求函数的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错11D【解析】由圆与相切可知，圆心到的距离为2

15、，即.又，由此求出的值，利用离心率公式，求出e.【详解】由题意得，.故选：D.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题.12A【解析】根据题意可知最后计算的结果为的最大公约数.【详解】输入的a，b分别为,根据流程图可知最后计算的结果为的最大公约数，按流程图计算,易得176和320的最大公约数为16，故选:A.【点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13充分不必要【解析】由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判断命题的关系.【详解】由,所以或,所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为:充

16、分不必要【点睛】本题考查命题的充分条件与必要条件的判断,考查余弦的二倍角公式的应用.141【解析】根据均值的定义计算【详解】由题意，故答案为：1【点睛】本题考查均值的概念，属于基础题15【解析】首先判断出中间号码的所有可能取值，由此求得基本事件的总数以及中间数字是的事件数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.【详解】根据“钟型验证码” 中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是.当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所

17、以方法数有种.当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.所以该验证码的中间数字是7的概率为.故答案为：【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于

18、中档题.16【解析】根据等差数列的性质求得，结合等差数列前项和公式求得的值.【详解】因为为等差数列，所以，解得，所以.故答案为：【点睛】本小题考查等差数列的性质，前项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，应用意识.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1），众数为150；（2） ；（3）【解析】（1）由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量的众数和平均数；（2）由已知条件推导出当时，当时，由此能将表示为的函数；（3）利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元的概率【详解】（1）由直方图可估计需求量的众数为150 ，由直方图可知的频

19、率为：由直方图可知的频率为：由直方图可知的频率为：由直方图可知的频率为：由直方图可知的频率为：估计需求量的平均数为：（2）当时，当时， （3）由（2）知 当时，当时，得开学季利润不少于4800元的需求量为由频率分布直方图可所求概率【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查函数解析式的求法，考查概率的估计，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的合理运用18（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）根据，分别是，的中点，即可证明，从而可证平面；（2）先根据为正三角形，且D是的中点，证出，再根据平面平面，得到平面，从而得到，结合，即可得证【详解】（1），分别是，的中点平面，平面平面.（2）为正三角形，

20、且D是的中点平面平面，且平面平面，平面平面平面且，平面，且平面.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，面面垂直的性质等，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，中档题19（1），.（2）见解析【解析】（1）分三种情况讨论即可（2）将，的值代入，然后利用均值定理即可.【详解】解：（1）不等式可化为.即有或或.解得，或或.所以不等式的解集为，故，.（2）由（1）知，即，由，得，当且仅当，即，时等号成立.故，即.【点睛】考查绝对值不等式的解法以及用均值定理证明不等式，中档题.20（1）证明见详解；（2）证明见详解【解析】（1）由是等比数列，由等比数列的性质可得：即可证明.（2）既是“数列”又是“数

21、列”，可得，则对于任意都成立，则成等比数列，设公比为，验证得答案.【详解】（1）证明：由是等比数列，由等比数列的性质可得：等比数列是“数列”. （2）证明：既是“数列”又是“数列”，可得，（） （），（） 可得：对于任意都成立，即 成等比数列，即成等比数列， 成等比数列， 成等比数列，设，（）数列是“数列”时，由（）可得： 时，由（）可得： ，可得，同理可证成等比数列， 数列是等比数列【点睛】本题是一道数列的新定义题目，考查了等比数列的性质、通项公式等基本知识，考查代数推理、转化与化归以及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题.21（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）先求导，然后利

22、用导数等于求出切点的横坐标，代入两个曲线的方程，解方程组，可求得；（2）设与交点的横坐标为，利用导数求得，从而，然后利用求得的取值范围为.试题解析：（1）对求导得 设直线与曲线切于点，则，解得，所以的值为1 （2）记函数，下面考察函数的符号，对函数求导得 当时，恒成立 当时，从而 在上恒成立，故在上单调递减，又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的，使；，从而， 由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立当时，在上恒成立，即在上恒成立，记，则，当变化时，变化情况列表如下：30极小值，故“在上恒成立”只需，即当时，当时，在上恒成立，综合知，当时，函数为增函数故实数的取值范围是 考点：函数导数与不等式.【方法点晴】函数导数问题中，和切线有关的题目非常多，我们只要把握住