2009年湖北省高考数学试卷(理科)

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2009年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）已知，是两个向量集合，则ABCD2（5分）设为非零实数，函数的反函数是ABCD3（5分）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为和，则复数为实数的概率为ABCD4（5分）函数的图象按向量平移到，的函数解析式为，当为奇函数时，向量可以等于A，B，C，D，5（5分）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为A18

2、B24C30D366（5分）设，则AB0C1D7（5分）已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是A，B，C，D，8（5分）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为A2000元B2200元C2400元D2800元9（5分）设球的半径为时间的函数若球的体积以均匀速度增长，则球的表面积的增长速度与球半径A成正比，比例系数为B成正比，比例系数为C成反比，比例系数为D成反比，比例系

3、数为10（5分）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，这样的数成为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是A289B1024C1225D1378二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11（5分）已知关于的不等式的解集，则实数 12（5分）如图是样本容量为200的频率分布直方图根据样本的频率分布直方图估计，样本数落在，内的频数为 ，数据落在内的概率约为 13（5分）如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区

4、域为了转播2008年北京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为已知地球半径约为，则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 （结果中保留反余弦的符号）14（5分）已知函数，则的值为 15（5分）已知数列满足：为正整数），若，则所有可能的取值为 三、解答题（共6小题，满分75分）16（10分）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为，记随机变量，求的分布列和数学期望17（

5、12分）已知向量，（1）求向量的长度的最大值；（2）设，且，求的值18（12分）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点是上的点，且（）求证：对任意的，都有（）设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，若，求的值19（13分）已知数列的前项和为正整数）（）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（）令，试比较与的大小，并予以证明20（14分）过抛物线的对称轴上一点，的直线与抛物线相交于、两点，自、向直线作垂线，垂足分别为、（）当时，求证：；（）记、的面积分别为、，是否存在，使得对任意的，都有成立？若存在，求出的值，否则说明理由21（14分）在上定义运算：、是常数），已知，如果函数在处有极值，试确

6、定、的值；求曲线上斜率为的切线与该曲线的公共点；记的最大值为，若对任意的、恒成立，试求的取值范围（参考公式：2009年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）已知，是两个向量集合，则ABCD【解答】解：由已知可求得，再由交集的含义，有，所以选2（5分）设为非零实数，函数的反函数是ABCD【解答】解：由函数得：，函数的反函数是：故选：3（5分）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为和，则复数为实数的概率为ABCD【解答】解：因为为实数所以故则可以取1、2、3、4、5、6，共6种可能，所以，故选：4（5分）函数的图象按向量平移到，的函数解

7、析式为，当为奇函数时，向量可以等于A，B，C，D，【解答】解：将函数向左平移个单位，再向上平移2个单位可得到，故选：5（5分）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为A18B24C30D36【解答】解：每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是，元素还有一个排列，有种，而甲乙被分在同一个班的有种，满足条件的种数是故选：6（5分）设，则AB0C1D【解答】解：令和分别代入二项式中得，由平方差公式得所以故选：7（5分）已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多

8、有一个交点的充要条件是A，B，C，D，【解答】解：根据题意，双曲线中，则，易得准线方程是所以即所以方程是联立可得由解得，故选：8（5分）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为A2000元B2200元C2400元D2800元【解答】解：设需使用甲型货车辆，乙型货车辆，运输费用元，根据题意，得线性约束条件求线性目标函数的最小值解得当时，故选：9（5分）设球的半径为时间的函数若球的体积以均匀速度增长，则

9、球的表面积的增长速度与球半径A成正比，比例系数为B成正比，比例系数为C成反比，比例系数为D成反比，比例系数为【解答】解：由题意可知球的体积为，则，由此可得，而球的表面积为，所以，即故选：10（5分）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，这样的数成为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是A289B1024C1225D1378【解答】解：由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项，则由可排除，又由，与无正整数解，故选：二、填空题（共5小题，每小

10、题5分，满分25分）11（5分）已知关于的不等式的解集，则实数【解答】解：不等式，又关于的不等式的解集，是方程的一个根，故答案为：12（5分）如图是样本容量为200的频率分布直方图根据样本的频率分布直方图估计，样本数落在，内的频数为64，数据落在内的概率约为 【解答】解：观察直方图易得数落在，内的频率；数据落在内的频率；样本数落在，内的频数为，频率为故答案为64 0.413（5分）如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区域为了转播2008年北京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为已知地球半径约为，则“中星九

11、号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为（结果中保留反余弦的符号）【解答】解：如图所示，可得，则在中可得：，所以球面距离的最大值约为：故答案为：14（5分）已知函数，则的值为1【解答】解：因为所以解得故故答案为115（5分）已知数列满足：为正整数），若，则所有可能的取值为4，5，32【解答】解：由题意知中任何一项均为正整数，若为奇数，则，得不满足条件若为偶数，则，满足条件若为奇数，则，得不满足条件若为偶数，则，满足条件（1）若为奇数，则，满足条件若为奇数，则，不满足条件若为偶数，则满足条件若为奇数，则，得不满足条件若为偶数，则，满足条件（2）若为偶数，则，满足条件若为奇数，则，得不满足条

12、件若为偶数，则，满足条件若为奇数，则，得，满足条件若为偶数，则，满足条件故的取值可以是4，5，32故答案为：4，5，32三、解答题（共6小题，满分75分）16（10分）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为，记随机变量，求的分布列和数学期望【解答】解：随机变量，依题意的可能取值是5，6，7，8，9，10，11得到； ； ；的分布列为56789101117（12分）已知向量，（1）求向量的长度的最大值；（2）设，且

13、，求的值【解答】解：（1），则，即当时，有，所以向量的长度的最大值为2（2）由（1）可得，即由，得，即，或，于是或18（12分）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点是上的点，且（）求证：对任意的，都有（）设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，若，求的值【解答】解：（）证法1：如图1，连接、，由地面是正方形可得平面，是在平面上的射影，（）解法1：如图1，由平面知，平面，平面，又底面是正方形，而，平面连接、，过点在平面内作于，连接，则，故是二面角的平面角，即在中，在中，从而在中，由，得即，所以由，解得，即为所求（）证法2：以为原点，以的方向分别作为，轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系，则，

14、0，0，0，即（）解法由得，设平面的法向量为，则由，得即取，得易知平面与平面的一个法向量分别为与，由，解得，即为所求19（13分）已知数列的前项和为正整数）（）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（）令，试比较与的大小，并予以证明【解答】解：（）在中，令，可得，即当时，即当时，又，数列是首项和公差均为1的等差数列于是，由得，所以由得于是确定的大小关系等价于比较与的大小猜想当，2时，当时，证明如下：（1）当时，由猜想显然成立（2）假设时猜想成立即则时，所以当时猜想也成立综合（1）（2）可知，对一切的正整数，都有20（14分）过抛物线的对称轴上一点，的直线与抛物线相交于、两点，自、向直线作

15、垂线，垂足分别为、（）当时，求证：；（）记、的面积分别为、，是否存在，使得对任意的，都有成立？若存在，求出的值，否则说明理由【解答】解：依题意，可设直线的方程为，则有，将代入消去可得从而有，于是又由，可得（）证：如图，当时，点，即为抛物线的焦点，为其准线，其方程为此时，并由 可得，故有； （）存在，使得对任意的，都有成立，证明如下：证：记直线与轴的交点为，则于是有，将、代入上式化简可得上式恒成立，即对任意的，成立21（14分）在上定义运算：、是常数），已知，如果函数在处有极值，试确定、的值；求曲线上斜率为的切线与该曲线的公共点；记的最大值为，若对任意的、恒成立，试求的取值范围（参考公式：【解答】解：依题意，解得或若，在上单调递减，在处无极值；若，直接讨论知，在处有极大值，