《金融工程学》课件第12章

1、金融工程学第八章 传统风险资产定价1 第十二章 数值方法5第十章 互换定价3第三篇 金融资产定价第十一章 期权定价4第九章 远期与期货定价2本章学习目标：理解二叉树定价的基本原理；掌握二叉树定价的一般方法和风险中性方法；掌握蒙特卡洛期权定价方法的原理和步骤；了解蒙特卡洛方法在美式期权和复杂期权定价中的应用；掌握有限差分方法的原理及其在期权定价中的应用。第十二章 数值方法第一节 二叉树期权定价模型一、二叉树模型 Binomial Options Pricing ModelIn finance, the binomial options pricing model (BOPM) provides

2、a generalizable numerical method for the valuation of options. The binomial model was first proposed by Cox, Ross and Rubinstein in 1979. Essentially, the model uses a “discrete-time” (lattice based) model of the varying price over time of the underlying financial instrument. In general, binomial op

3、tions pricing models do not have closed-form solutions.第一节 二叉树期权定价模型一、二叉树模型Similar assumptions underpin both the binomial model and the BlackScholes model, and the binomial model thus provides a discrete time approximation to the continuous process underlying the BlackScholes model. In fact, for Eur

4、opean options without dividends, the binomial model value converges on the BlackScholes formula value as the number of time steps increases. The binomial model assumes that movements in the price follow a binomial distribution; for many trials, this binomial distribution approaches the normal distri

5、bution assumed by BlackScholes.第一节 二叉树期权定价模型一、二叉树模型期权及其他衍生证券定价的二叉树模型的出发点是假设标的资产的价格波动服从二项分布（Binomial Distribution）。离散型随机变量服从二式分布需要满足以下三个条件：在每一次随机试验中，随机变量只有两种可能的结果，而且是互相对立的；在一系列随机试验中，随机变量的结果发生的概率保持不变；每次试验是独立的，与其它各次试验结果无关。第一节 二叉树期权定价模型一、二叉树模型第一节 二叉树期权定价模型一、二叉树模型利用二叉树模型为风险资产估值包括以下三个步骤：（1）构造一个关于目标资产价格波动的

6、二叉树；（2）确定二叉树中每种可能结果的概率；（3）利用每个可能的结果和对应的概率，计算目标资产在期末的期望价值。第一节 二叉树期权定价模型二、一般方法 三个基本假设标的资产的价格服从二项分布，并且二项分布的相关参数可以通过历史数据进行合理估计；市场不存在卖空约束，投资者可以通过把标的资产和基于标的资产的某种衍生证券进行合理组合，从而构造出无风险资产的现金流；市场不存在套利机会。 二叉树无套利定价法：一个欧式看涨期权的例子 二叉树无套利定价法：一个欧式看涨期权的例子1单位股票组合终值在完全套期保值的情况下，无论标的股票的价格是上涨还是下跌，上述投资组合的终值都是一样的，即： 二叉树无套利定价法

7、：一个欧式看涨期权的例子 二叉树无套利定价法：一个欧式看涨期权的例子 二叉树无套利定价法：一个欧式看涨期权的例子通过上述例子中求解欧式看涨期权价格的过程，我们可以总结出利用二叉树模型定价的过程，包括以下三个步骤：构造关于标的资产价格波动的二叉树，并根据目标期权的类型和性质确定其在期末的价值分布；利用目标衍生证券和标的资产构造出无风险组合；计算无风险组合的现值，并根据无套利原理求解衍生证券的价格。第一节 二叉树期权定价模型三、风险中性模型将适当变形得到令进一步变为第一节 二叉树期权定价模型三、风险中性模型第一节 二叉树期权定价模型三、风险中性模型第一节 二叉树期权定价模型四、参数估计Cox、Ro

8、ss and Rubinstein（1979）证明，用二叉树模型描述资产价格的波动时，如果每期二叉树时间间隔趋近于0，二叉树资产价格模型趋近于几何布朗运动（Geometric Brownian Motion），二叉树资产价格模型可以用来近似表示风险中性假设下资产价格的连续运动。Cox and Rubinstein（1985）将二叉树期权定价模型应用于标的资产支付股利的美式期权的定价，同时证明当Black and Scholes提出的某些假设不成立时，二叉树期权定价模型也具有实用性。Brennan and Schwartz（1978）、Cox and Rubinstein（1985）分析了资产价

9、格波动的连续模型与二叉树模型之间的联系，并且证明在很多严格的情况下，尽管标的资产价格不存在解析解，二叉树模型同样可以用来为期权等衍生证券定价，定价结果与偏微分方程数值解是一致的。二叉树期权定价方法也可以用来处理标的资产支付收益的情况，有兴趣的同学可以参考Cox et al.（1979）、Pliska（1997）。第一节 二叉树期权定价模型五、多期二叉树二叉树模型期权的到期现金流第一节 二叉树期权定价模型六、美式期权：一个看涨期权的例子第一节 二叉树期权定价模型七、三叉树期权定价模型和二叉树期权定价模型一样，三叉树期权定价模型的出发点是假设标的资产的价格波动服从三项分布，即标的资产的价格在每个小

10、的时间周期末有三种可能的结果。第一节 二叉树期权定价模型七、三叉树期权定价模型求解上述方程组得到：第二节 Monte Carlo模拟随着衍生市场的发展，各种新的衍生证券不断出现，很多衍生证券到期日的收益都存在路径依赖（Path Dependent）的特性，而且其中一些衍生证券的标的资产不再局限于单一资产，这使得利用二叉树模型来定价可能随着节点数呈指数增加而变得不可行。而Monte Carlo方法在处理多项标的资产以及路径依赖等问题上则非常有效。最早阐述Monte Carlo方法在金融中的应用的是赫兹（David B. Hertz），1965年他在哈佛经济评论上的论文系统讨论了Monte Car

11、lo方法在公司金融和风险管理中的应用。1977年，加拿大学者博伊尔（Phelim P. Boyle）在金融经济学杂志上发表了一篇讨论Monte Carlo方法在期权定价中的应用的文章。目前，MC方法已经广泛应用于经济学和金融学的方方面面，当然最主要的应用还在复杂金融衍生证券的定价和风险管理上。第二节 Monte Carlo模拟一、原理与步骤 用 Monte Carlo 的方法估计圆周率图12.8 用Monte Carlo的方法估计圆周率第二节 Monte Carlo模拟一、原理与步骤 用 Monte Carlo 的方法求定积分图12.9 用Monte Carlo的方法估计定积分11第二节 Mo

12、nte Carlo模拟一、原理与步骤 Monte Carlo 的方法的基本思想Monte Carlo方法基本思想：当所要求解的问题可以转化为某个事件发生的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，可以通过建立一个概率模型或随机过程，然后通过某种实验的方法得到该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，然后通过某种实验的方法得到该事件的概率，将概率适当转换即可得到问题的解，解的精度可以用估计值的标准误差表示。第二节 Monte Carlo模拟一、原理与步骤 Monte Carlo 的方法解决问题的基本步骤用Monte Carlo模拟的方法解决问题的可

13、以归纳为3个步骤：（1）建立概率模型或随机过程，将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题；（2）从已知概率模型或随机过程中进行抽样，并对抽样结果进行观察和记录；（3）建立合适的估计量，并通过必要的转换得到问题的解。第二节 Monte Carlo模拟二、随机路径的产生 （1）连续随机过程如果影响衍生证券价值的标的资产只有一个（如某股票期权），假设标的股票价格服从几何布朗运动，根据伊藤引理我们有:结合对数正态分布的性质，求解上式可以得到：第二节 Monte Carlo模拟二、随机路径的产生 （1）连续随机过程第二节 Monte Carlo模拟二、随机路径的产生 （2）跳跃扩散过程虽然大部分关于衍

14、生证券定价的模型都假设标的资产的价格波动是连续的随机过程，但是也有很多研究发现实际市场上资产价格经常发生跳跃，资产价格的分布往往具有尖峰厚尾的特征。Monte Carlo的方法也可以用来模拟这样的随机过程。第二节 Monte Carlo模拟二、随机路径的产生 （2）跳跃扩散过程第二节 Monte Carlo模拟二、随机路径的产生 （2）跳跃扩散过程第二节 Monte Carlo模拟三、期权定价 （1）欧式期权欧式看涨期权和看跌期权到期日的价值分别可以表示为第二节 Monte Carlo模拟三、期权定价 （2）路径依赖期权第二节 Monte Carlo模拟三、期权定价 （2）路径依赖期权第二节

15、Monte Carlo模拟三、期权定价 （2）路径依赖期权第二节 Monte Carlo模拟三、期权定价 （2）路径依赖期权第二节 Monte Carlo模拟三、期权定价 （3）多种标的资产期权第二节 Monte Carlo模拟三、期权定价 （3）多种标的资产期权第二节 Monte Carlo模拟三、期权定价 （4）美式期权第三节 有限差分方法一、基本原理B-S微分方程是有限差分方法的理论和模型基础。根据前面的学习，我们知道，当标的资产的价格满足几何布朗运动假设时，基于标的资产的任何一种衍生证券的价格都满足B-S微分方程：第三节 有限差分方法二、B-S微分方程的差分形式根据一阶偏导差分形式的选

16、择，建立与偏微分方程相应的差分方程有多种形式。从求解的方法来看，可以分为隐性差分（Implicit Difference）和显性差分（Explicit Difference）两种。其中隐性差分求解的过程必须通过求解一个代数方程组才能得到微分方差的解；显性差分求解的过程更为直观，通过直接运算即可求出。第三节 有限差分方法二、B-S微分方程的差分形式 （1）隐性差分（Implicit Difference）图12.11 隐性差分方法第三节 有限差分方法二、B-S微分方程的差分形式 （2）显性差分（Explicit Difference）图12.12 显性差分方法第三节 有限差分方法三、美式期权定价本章小结本章介绍了三类最基本的期权定价数值方法：二叉树模型、蒙特卡洛模拟和有限差分方法。二项期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两