初三数学图形与证明

1、初三数学图形与证明一. 本周教学内容： 图形与证明学习目标 1. 了解证明的含义，掌握证明的方法，体会证明的必要性。 （1）在经历探索、猜测、证明的过程中，体会证明的必要性，发展演绎推理能力。 （2）了解定义、命题、逆命题、定理的含义，会区分命题的条件（题设）和结论，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，其逆命题不一定成立。 （3）理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的。 （4）通过实例，体会反证法的含义。 （5）掌握用综合法证明的方法，体会在证明过程中所运用的归纳、转化、类比等数学思想，体会证明的过程要步步有据。 2. 掌握六大公理，作为证明依据。 （1）两条直线被第三条直线所

2、截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 （2）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 （3）两边及其夹角（或两角及其夹边、或三边）对应相等的两个三角形全等。 （4）全等三角形的对应边、对应角相等。 3. 会利用六大公理推证与平行线、三角形、四边形相关的定理。 （1）平行线性质定理和判定定理。 （2）三角形的内角和定理及其推论。 （3）直角三角形全等的判定定理。 （4）角平分线定理及其逆定理；三角形的三条角平分线交于一点（内心）。 （5）垂直平分线定理及其逆定理；三角形的三边垂直平分线交于一点（外心）。 （6）三角形中位线定理。 （7）等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理。 （

3、8）平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。 4. 能够灵活运用已有公理、定理证明其他相关结论，并解决一定的实际问题。 5. 通过对欧几里得几何原本的介绍，感受公理化思想对数学发展和人类文明的价值。 6. 能够体会合情推理（即通过操作、观察、猜想，得出结论）和演绎推理（即对结论进行逻辑证明）之间的密切关系，全面提高推理能力。【典型例题】 例1. （1）探索发现 如图，已知ABCD，分别探讨下面三个图中，BPC与ABP、PCD的关系，请你从所得三个结论中，任选一个加以证明。 图（1）：PBC360 图（2）：PBC 图（3）：PBC （1）证明：过点P作PEAB B1180 A

4、BCD PEDC 2C180 12BC360 BPCABPPCD360 （2）探索创新 在下图中，折线在平行线内由“折一次”变成“折两次”，根据图中的结论，你会发现图中各角之间存在怎样的关系，并进行验证； 在下图中，将“平行线”改为“相交线”，你会发现图中各角之间存在什么关系，你能用你学过的知识证明你的发现吗？ 证明：过点F作FHAB E1B ABDC FHDC FGC2C EFBEFGC 连结AP并延长到D 13B 24C 1234BC BPCBACBC （3）创新应用 把一张长方形纸片ABCD，沿EF折叠，点B、C落到B、C处，BC与DC交于G，你能借助上述发现的结论探求AEBDGB等于多

5、少度，BEBCGB等于多少度吗？ 证明：矩形ABCD ABDC，B90 AEBDGBB90 例2. 小军和小强互相编数学题考对方。 （1）小军编题：将含45角的直角三角板和直尺如图摆放在桌子上，然后分别过A、B两个顶点，向直尺作了两条垂线段AD、BE。（如下图） 问题：你能发现并证明这个图形中的全等三角形吗？ 你能发现并证明线段AD、BE、DE之间的关系吗？小强顺利地做出了解答，你也来试试吧！ （2）小强借题发挥，将直尺位置稍作改变（如下图），以相同的问题提问小军，你能帮助小军作出正确的答案吗？ （3）在小军、小强所编的题目中，用到了你学过的哪些定理？ （1）证明：ADDE，BEDE ADCB

6、ECRt ACDACBBCE180 ACDBCE90 RtCBE中，BCECBE90 ACDCBE 又ACBC ADCBEC 证明：ADCBEC ADCE，BECD ADBECDCEDE 发现：AD与BE的和等于DE。 （2）证明：与上题相似可得ACDBEC。 证明：与上题相似可得ADBEDE。 （3）略 例3. 如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AGBE，垂足为G，AG交BD于点F，则OEOF。 对上述命题证明如下： 四边形ABCD是正方形 BOEAOF90，BOAO 又AGEB 139023 12 RtBOERtAOF OEOF 问题： 对上述命

7、题，若点E在AC的延长线上，AGEB交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论“OEOF”还成立吗？如果成立，请给出证明，如果不成立，请说明理由。 答案：仍然成立 证明：四边形ABCD是正方形 AOBO AGGE，AGE90 EF AOFBOE OEOF 例4. 以ABC的三边为边，在BC边的同侧作三个等边ABD、BCE、ACF。 （1）ABC绕顶点B逆时针旋转60，可得哪个三角形？ （2）ABC绕顶点C顺时针旋转60，可得哪个三角形？ （3）四边形ADEF是平行四边形吗？ （4）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？是矩形？ 答案：（1）得到DBE

8、（2）得到FCE （3）四边形ADEF是平行四边形 DBEABC DEAC 等边ACF ACAF DEAF，同理EFAD 四边形ADEF是平行四边形 （4）当ABAC时，四边形ADEF是菱形 首先易知四边形ADEF是平行四边形，另外DEAC，DAAB 若ABAC，则DEDA 四边形ADEF是菱形 当BAC150时，四边形ADEF是矩形。练习 1. 如图，在ABC中，ACB90，E是AB中点，以A、C、E为顶点作平行四边形ACEF。 （1）当B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？并证明你的结论。 （2）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？ 2. 如图，在ABC中，ABACa，M为底边上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q。 （1）观察四边形AQMP的周长与等腰三角形的腰长a有什么关系，并证明你的发现； （2）若点M在底边BC上移动，四边形AQMP的周长有变化吗？参考答案 1. （1）当B30时，四边形ACEF是菱形 ACB90，BAC90B60 又E为AB中点 ACE为等边三角形 CECA 又四边形ACEF是平行四边形 四边形ACEF是菱形 （