2022届福建省永安市高三下学期一模考试数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

2、要求的。1已知复数满足，则的值为（ ）ABCD22已知复数满足，则的最大值为（ ）ABCD63观察下列各式：，根据以上规律，则（ ）ABCD4在棱长均相等的正三棱柱中，为的中点，在上，且，则下述结论：；平面平面：异面直线与所成角为其中正确命题的个数为( )A1B2C3D45已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数都有，当时，若，则实数的取值范围是( )ABCD6已知集合，则中元素的个数为( )A3B2C1D07已知集合，集合，则AB或CD8设，为非零向量，则“存在正数，使得”是“”的（ ）A既不充分也不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D充分不必要条件9如图在直角坐标系中，过原点作曲线的切

3、线，切点为，过点分别作、轴的垂线，垂足分别为、，在矩形中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）ABCD10周易历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法我们用近代术语解释为：把阳爻“- ”当作数字“1”，把阴爻“-”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是（ ）A18B17C16D1511在等差数列中，若（），则数列的最大值是（ ）ABC1D312已知F为抛

4、物线y24x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则|FA|FB|的值等于（）AB8CD4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，E，F分别为，的中点，则球O的体积为_.14如图，半圆的直径AB6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值为 .15的角所对的边分别为，且，若，则的值为_.16函数的最小正周期为_;若函数在区间上单调递增，则的最大值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分） “绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环

5、境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习甲组一共有人，其中男生人，女生人，乙组一共有人，其中男生人，女生人，现要从这人的两个兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛.（1）设事件为 “选出的这个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件发生的概率；（2）用表示抽取的人中乙组女生的人数，求随机变量的分布列和期望18（12分）已知椭圆的中心在坐标原点，其短半轴长为，一个焦点坐标为，点在椭圆上，点在直线上的点，且证明：直线与圆相切；求面积的最小值19（12分）设函数，是函数的导数.（1）若，证明在区间上没有零点；（2）在上恒成立，求的取值范围.20（12分）在平面直角坐标系中，直线的

6、参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若射线与和分别交于点，求21（12分）已知双曲线及直线.（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2）若l与C交于A，B两点，O是原点，且，求实数k的值.22（10分）已知函数（1）若关于的不等式的整数解有且仅有一个值，当时，求不等式的解集；（2）已知，若，使得成立，求实数的取值范围参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】由复数的除法运算整理已知求得复数z，进而求得其

7、模.【详解】因为，所以故选：C【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题.2B【解析】设，利用复数几何意义计算.【详解】设，由已知，所以点在单位圆上，而，表示点到的距离，故.故选：B.【点睛】本题考查求复数模的最大值，其实本题可以利用不等式来解决.3B【解析】每个式子的值依次构成一个数列，然后归纳出数列的递推关系后再计算【详解】以及数列的应用根据题设条件，设数字，构成一个数列，可得数列满足，则，故选：B【点睛】本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项4B【解析】设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出的正误；判断是的中点推出

8、正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线与所成角判断的正误【详解】解：不妨设棱长为：2，对于连结，则，即与不垂直，又，不正确；对于，连结，在中，而，是的中点，所以，正确；对于由可知，在中，连结，易知，而在中，即，又，面，平面平面，正确；以为坐标原点，平面上过点垂直于的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系；， ， ， ， ；， ；异面直线与所成角为，故不正确故选：【点睛】本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力5B【解析】先构造函数，再利用函数

9、奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.【详解】令，则当时，又，所以为偶函数， 从而等价于，因此选B.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.6C【解析】集合表示半圆上的点，集合表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数.【详解】由题可知：集合表示半圆上的点，集合表示直线上的点，联立与，可得，整理得，即，当时，不满足题意；故方程组有唯一的解.故.故选：C.【点睛】本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题.7C【解析】由可得，解得或，所以或，又，所以，故选C8D【解析】充分性中，由向量数乘的几何意义得，再由数量积

10、运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得，不一定有正数，使得，所以不成立，即可得答案.【详解】充分性：若存在正数，使得，则，得证；必要性：若，则，不一定有正数，使得，故不成立；所以是充分不必要条件故选：D【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题.9A【解析】设所求切线的方程为，联立，消去得出关于的方程，可得出，求出的值，进而求得切点的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设所求切线的方程为，则，联立，消去得，由，解得，方程为，解得，则点，所以，阴影部分区域的面积为，矩形的面积为，

11、因此，所求概率为.故选：A.【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.10B【解析】由题意可知“屯”卦符号“”表示二进制数字010001，将其转化为十进制数即可.【详解】由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数字010001，转化为十进制数的计算为120+124=1故选：B【点睛】本题主要考查数制是转化，新定义知识的应用等，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11D【解析】在等差数列中,利用已知可求得通项公式,进而,借助函数的的单调性可知,当时, 取最大即可求得结果.【详解】因为，所以，即，又，所以公差，所以，即

12、，因为函数，在时，单调递减，且；在时，单调递减，且.所以数列的最大值是，且，所以数列的最大值是3.故选:D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易.12C【解析】将直线方程代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出的值【详解】F（1，0），故直线AB的方程为yx1，联立方程组，可得x26x+10，设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知x1+x26，x1x21由抛物线的定义可知：|FA|x1+1，|FB|x2+1，|FA|FB|x1x2|故选C【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于

13、中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】可证，则为的外心，又则平面即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半径，最后根据体积公式计算可得.【详解】解：，因为为的中点，所以为的外心，因为，所以点在内的投影为的外心，所以平面，平面，所以，所以，又球心在上，设，则，所以，所以球O体积，.故答案为：【点睛】本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题14.【解析】.15【解析】先利用余弦定理求出，再用正弦定理求出并把转化为与边有关的等式，结合可求的值.【详解】因为，故，因为，所以.由正弦定理可得三角形外接圆的半径满足，所以即.因为，解得

14、或（舍）.故答案为：.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，注意结合求解目标对所得的方程组变形整合后整体求解，本题属于中档题.16 【解析】直接计算得到答案，根据题意得到，解得答案.【详解】，故，当时，故，解得.故答案为：；.【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（）； （）分布列见解析，.【解析】（）直接利用古典概型概率公式求 . （）先由题得可能取值为,再求x的分布列和期望.【详解】（） （）可能取值为,的分布列为0123.【点睛】本题主要考查古典概型的计算，考查随

15、机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18证明见解析；1.【解析】由题意可得椭圆的方程为，由点在直线上，且知的斜率必定存在，分类讨论当的斜率为时和斜率不为时的情况列出相应式子，即可得出直线与圆相切；由知，的面积为【详解】解：由题意，椭圆的焦点在轴上，且，所以所以椭圆的方程为由点在直线上，且知的斜率必定存在，当的斜率为时，于是，到的距离为，直线与圆相切当的斜率不为时，设的方程为，与联立得，所以，从而而，故的方程为，而在上，故，从而，于是此时，到的距离为，直线与圆相切综上，直线与圆相切由知，的面积为，上式中，当且仅当等号成立，所以面积的最小值为1【点睛】本

16、题主要考查直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化思想，属于难题19（1）证明见解析（2）【解析】（1）先利用导数的四则运算法则和导数公式求出，再由函数的导数可知，函数在上单调递增，在上单调递减，而，可知在区间上恒成立，即在区间上没有零点；（2）由题意可将转化为，构造函数，利用导数讨论研究其在上的单调性，由，即可求出的取值范围【详解】（1）若，则，设，则，故函数是奇函数当时，这时，又函数是奇函数，所以当时，.综上，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.又，故在区间上恒成立，所以在区间上没有零点.（2），由，所以恒成立，若，则

17、，设，.故当时，又，所以当时，满足题意；当时，有，与条件矛盾，舍去； 当时，令，则，又，故在区间上有无穷多个零点，设最小的零点为，则当时，因此在上单调递增.，所以.于是，当时，得，与条件矛盾.故的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用，以及利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论思想和放缩法的应用，难度较大，意在考查学生的数学建模能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题20（1）： ;: (2) 【解析】（1）由可得，由，消去参数，可得直线的普通方程为 由可得，将，代入上式，可得，所以曲线的直角坐标方程为（2）由（1）得，的普通方程为，将其化为极坐标方程可得，当时，所以21（1）；（2）或.【解析】（1）联立直线方程与双曲线方程，消去，得到关于的一元二次方程，根据根的判别式，即可求出结论；（2）设，由（1）可得关系，再由直线l过点，可得，进而建立关于的方程，求解即可.【详解】（1）双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组有两个不同的实数根，整理得，解得且.双曲线C与直线l有两个不同交点时，k的取值范围是.（2）设交点，直线l与y轴交于点，.，即，整理得，解得或或.又，或时，的面积为.【点睛】本题考查直线与双