混合贝塔分布随机波动模型及其贝叶斯分析

1、统 计 与 信 息 论 坛 第 卷 第 期 年 月，【统 计 理 论 与 方 法】混合贝塔分布随机波动模型及其贝叶斯分析白仲林，隋雯霞，刘传文天 津 财 经 大 学 理 工 学 院 ，天 津 ；天津市开展和改革委员会 ，天 津 摘 要 ：为了更准确地揭示金融资产收益率数据的真 实数据生成过程 ，提出了基于混合贝塔分布的随 机 波动 模 型 ，讨论了混合贝塔分布随机波动模型的贝叶斯估计方法 ，并 给 出 了 一 种 抽 样 算 法 。 以 上 证 股 综指简单收益率为例 ，分别建立了基于正态分布和混合贝塔分布的随机波动模型 ，研 究 表 明 ，基于混合贝塔分 布的随机波动模型更准确地描述 了 样

2、本数据的真实数据生成过程 ，而正态分布的随机波动模型将顶峰 厚 尾 等现象归结为波动冲击 ，从而低估了收益率的平均波动水平 ，高估了波动的持续性和波动的冲击扰动 。关 键 词 ：混 合 贝 塔 分 布 ；随 机 波 动 模 型 ；贝 叶 斯 分 析 ；抽 样中 图 分 类 号 ：文 献 标 志 码 ：文 章 编 号 ：法；等 人 在 中引 入内生的结构 突 变点 ，进 而 分 析 了 突 变 点 对 长 记 忆 性 模 型 的 影 响。另 外 ，邱 崇 洋 、刘 继 春 和 陈 永 娟将一阶自回归的 模 型 扩 展 为 一 般 的 形 式 ，即 波 动 率 方 程 是 对 数 ，过 程 的 模

3、 型；周 宏 山 、冀 云 利 用 非 对 称 随 机 波 动 模 型 对中国股市进行实证分析 ，发 现 非 对称随 机 波 动模 型能 够较好地探测到波动存 在 的 非 对称 波 动；郝 立 亚 、朱 慧 明 等 通 过 对 模 型 在 状 态 空 间 框 架 下 的 近 似 表 示 ，将 向 前 滤 波 、向 后 抽 样 算 法 引 入 对 波 动 变 量 的 估 计 过 程 中 ，设 计 出 联 合 抽 样 算 法 ，提 高 了 长 记忆随机波动模型的贝叶斯抽样 效 率。 从 上 述 列 举 可 见 ，目 前 模 型 及 其 扩 展 模型的 研 究 重点 在于 对金融资产收益率的尖 峰

4、厚 尾 性 、非 对 称 性 和 长 记 忆 性 等 的 刻 画 。 金 融 市 场 的 一 些 特 殊 交 易 规 那么 对收益率的分布也存在严重影响 ， 例如涨 跌 停 板制 度使 收益率分布具有有限区 间 取 值特 征 ，制 约 了 传 统 建模方法的应用 。为 了 在 中 国 股 票市场的特殊交易规那么 日 交 易的 涨 跌 停 板 制 度 下 分 析 股 票 收 益 率 的 分 布 ，本文首 先 从 中国 股票 市场交易规那么出发选择 混 合 贝一、引言 年 提 出 利 用离散时间随 机 波动模 型简 称 模 型刻 画 金 融 资 产 收益率的波动问题 以 来 ， 模 型 在 金 融

5、 市 场 分 析 中 得 到 了 广 泛 应 用 ，但 是 随 机 波 动 模 型的根本假设往往 与 现实不一 致 。于 是 ，学 者 们 分 别 从 金 融 资 产 收 益 率 的 高 峰 厚 尾 性 、非对 称 性 和 长 记 忆 性 等 方 面 对 基 本 模 型 进 行 了 扩 展 。 例 如 和 等 假 设 资 产 收 益 率 服 从分 布 ，提 出 了 模 型 ，它 较 好 地 反 映 了 收 益 率 的 厚 尾 特 征；和 基 于 厚 尾 的 广 义 误 差 分 布 提 出 了 偏 随 机 波 动 模 型 ，该 模 型 不 仅 反 映 了 资产收益率的厚尾性 ，而 且 能 够 刻

6、 画 资 产 收 益 率 分 布 的 非 对 称 性；和 还 提 出 了 一 种 伽 马 随 机 波 动 模 型 ，它 较 好 地刻 画 了 资 产 收 益 率 的 尖 峰 厚 尾 性；等 提 出 了 门 限 随 机 波 动 模 型 ，它 不 仅 刻 画 了 波 动 率 的 非 对 称 性 ，而 且 还 考 虑 了 均 值 本 身 的 非 对 称 性； 等 提 出 长 记 忆 随 机 波 动 模 型 ，提 供 了 一 种 分 析 高 频 收 益 率 波 动 性 的 方收 稿 日 期 ：基 金 项 目 ：国家自然科学基金工程?具 有 体 制 转换动态因子模型建模方法及其应用研究 ?；教 育 部

7、人 文社会科学研究工程?伪面板数据建模方法及其应用研究 ?作 者 简 介 ：白 仲 林 ，男 ，河 南 偃 师 人 ，经 济 学 博 士 ，教 授 ，博 士 生 导 师 ，研 究 方 向 ：计量经济学理论方法及应用研究 ；隋 雯 霞 ，女 ，山 东 乳 山 人 ，硕 士 生 ，研 究 方 向 ：应用数量经济学 ；刘 传 文 ，男 ，山 东 日 照 人 ，经 济 学 硕 士 ，研 究 方 向 ：应用数量经济学 。统计与信息论坛 塔 分 布 来 刻 画 资 产收益率的分布 ，建立基于混合贝 塔 分 布 的 模 型 ，并 讨 论 了 混 合 贝 塔 分 布 随 机 波 动 模 型 的 贝 叶 斯 估

8、 计 方 法 。 最 后 以 上 证 股 综 合指 数 简 单 收 益 率 为 例 ，分别 建立基于混合 贝 塔分布 和 正 态 分 布 的 模 型 ，比 较 研 究 发 现 基 于 混 合 贝 塔分 布 的 模 型 能 够 更 全 面 地 刻 画 市 场 收 益 率 的时 变 特 征 ，较 准 确 地描述金融资 产 收 益率数 据的真 实 数 据 生 成 过 程 。如 ，当、 时 ，呈 单 峰 分 布 ，且 假设 时 ，呈 非 对称 分 布 。 随 着 和 的 增 大 ，分 布 的 峰 度 增 高 。 当， 时 ，为 型 分 布 ，即 取 值 在 或 附 近 的 概 率 较 大 。 于 是

9、，以一定概率将几个贝塔分布混合 加权的 混 合 贝塔 分布 能够较好地刻画取值于 有 限 区 间 ，具 有 高 峰 厚 尾 和 非 对 称 特 征 的 随 机 变 量 。 因 此 ， 本文认 为 假 设股 票收 益率服从取值于有限区 间 内 的 随 机 分 布 无 疑 会 更 合 理 。三、混合贝塔分布随机波动模型及其贝叶斯分析为 了 讨 论 中 国股票市场收益率的波动性 ，在 股 票 收 益 率 服 从 混 合贝塔分布的假设下 ，本 文 构 造 了 混 合 贝 塔 分 布 的 模 型 ，即 模 型 ，并 提 出 了 该 模 型 的 贝 叶 斯 分 析 方 法 。一 模 型 模 型 的 一 般

10、 形 式 为：二、混合贝塔分布及其特征为 了 反 映 金 融 资 产 收 益 率 分 布 的 尖 峰 厚 尾 性 、 非 对 称 性 和 有 限 区间取值等特征 ，本文借鉴混合正 态 分 布 的 构 造 方 法 ，采 用 混 合 贝 塔 分 布 拟 合 收 益 率 分 布 。贝 塔 分 布 是 一 类 取 值 于 有 限 区 间 的 分 布 ，如 果随 机 变 量 服 从 标 准 贝 塔 分 布 ，那么 的 密 度 函 数 为 ：， ， ， ， ， 其 中、 均 大 于 ，记 ，。设 为 随 机 变 量 来 自 第 类 贝 塔 分 布 的 概率 ，且 ，那么 称 密 度 函 数 为 ：其 中

11、为 资 产 收 益 率 为 收 益 率 条 件 方 差 的 对 数形 式 ，即 ， 为 期 的 信 息集 ； 为 常 数 ，表 示 平 均 波 动 水 平 ， 为 反 映 波 动 率 持 续 性 的 常 数 ， 为 波 动 率 的 随 机 冲 击 ，一 般 假 设 其服 从 独 立 同 正 态 分 布 ，均 值 为 ，方 差 为 。 为它 的 随 机 变 量 服 从 混 合 贝 塔 分 布 ，其 中 为第 类 贝 塔 分 布 的 密 度 函 数 ，其 公 式 为 ：资 产 收 益 率 的 随 机 扰 动 项 ， 的 分 布 类 型 描 述 了 收益率 的 分 布 类 型 ，假 设 服 从 独

12、立 的 标 准 正 态 分 布 ，且 与 不 相 关 ，本 文 简 记 该 模 型 为 模 型 。考 虑 到 中 国股票市场交易受 涨 跌 停 板 制 度 的 约 束 ，本 文 假 设 波 动 率 服 从 的 混 合 贝 塔分 布 ，即 ， ， ， ，。 由 于 混 合 贝 塔 分 布 的 取 值 区 间 为 ，区 间 ，所 以 在 建模 之 前 ，首 先 对 收 益 率 进 行 线 性 变 换 ，为 ： ， ，本 文 中 设 定 随 机 变 量 服 从 的 混 合 贝 塔 分 布 ，记 服 从混合贝 塔分布的随机变量 ， ， ， ，其 中 ， 。 显 然 ，服 从 混 合 贝 塔分布的随机

13、变 量 也是在 有限区 间，内 取 值 。众 所 周 知 ，为 了 保 护 投 资 者 的 权 益 ，维 持 市 场 稳定 ，中 国 股 票 市 场 自 年 月 日 开 始 实 施 涨 跌 停 板 制 度 ，规 定 除 上 市 首 日 外 ，股 票 含 、 股 、基 金 类 证 券 在 一 个 交 易 日 内 的 交 易 价 格 相 对 于 其 开盘 价 格 的 涨 跌 幅 度 不 得 超 过 ，超 过 涨 跌 限 价 的 委 托 为 无 效 委 托 。 所 以 ，中 国 股 票 日 收 益 率上 市 首日 除 外 ，以 下 同 的 波 动 范 围 应 该 是 在 ，之 间 ，并 且 ，经 线

14、 性 变 换 后 ，可 将 收 益 率 映 射 到 有 限 区 间 ，上 。 另 外 ，贝 塔 分 布 随 着 参 数 的 不 同 表 现 出 不 同 的 形 状 。 例于 是 ，基 于 混合贝塔分布建立的 模 型可 以 表 示 为 ： ， ， ， ， ，其 中 为 线 性 变 换 后 的 资 产 收 益 率 。 需 要 指 出 的是 ，因 为 混 合 贝 塔 分 布 的 方 差 不 再 等 于 ，这 时 不 再 是 收 益 率 的 对 数 条 件 方 差 。由 于 的混合贝塔分布的 密 度函 数 为 ：白 仲 林 ，隋 雯 霞 ，刘 传 文 ：混合贝塔分布随机波动模型及其贝叶斯分析 其 中

15、， ， ，其 中 。 由 于 与 之 间 存在 等 值 函 数 关 系 ，因 此 给 定 也 就 给 定 了，对 于给 定 的，由随机波 动模 型 的 均值方程可以 得 到 ， 服 从 混 合 贝 塔 分 布 ，即 ：那么 ： ， ， ， ， ， 假设 用 表 示关 于 的 条 件 分 布 密 度 函 数 ，那么模 型 的 似 然 函 数 为 ：其 中 ， ： ， 熿燄 燀燅 其 中 那么 ：，。 在 贝 叶 斯 分 析 中 ，参 数 先 验 分 布 的 设 置 是 贝 叶斯 统 计 分 析 的 前 提 ，根 据 和 等 人 的 观 点 ，对 于 参 数、 和 ，本文选择的先验 分 布 如 下

16、：， ， ，于 是 ，参 数、 的 联 合先验分布可以 分 解为 三 部 分 的 乘 积 ，即 ： 为 了 同 时 满 足 模 型 形 式 的 一 致 性 和 模 型 的 可 比较 性 ，本 文 将 模 型 依 据 以 上变量关系进行 变形 ，分 别 以 收 益 率 的 线 性 变 换 和 收 益 率 的 条 件对 数 方 差 为 被 解 释 变 量 ，建 立 如 下 模 型 ： ， ， ， ， ，：，其 中 ， ，根 据 贝 叶 斯 定 理 ，不 可 观 测 量 的 联 合 后 验 密 度分布与 联 合 先验 密度 和模型的似然函数成正比 ，即 ：，：，：，：另 外 ，在 使 用 抽 样 工

17、 具 时 ，以 分 布 方 差 的 倒 数作为分布的精度 ，因 此 在 编 写 程 序 时 实 际 以 为 参 量 的 ，令 ，那么，。为 了 实 现 抽 样 ，下 面 分 别讨论各不可观 测 量 的 后 验 条 件 分 布 。 的 后 验 条 件 分 布 。 根据条件概率的定义 ，参 数 关 于，：的 后 验 条 件 分 布 密 度 函 数 为 ：所 以 ，在 模 型 中 ，收 益 率 的 条 件 方 差 为 ，对 数 形 式为 ，因 为 为 常 数 ，所 以 模 型 参 数 的 意 义不 变 ， 依 然 表 示平均波动水平 ， 反映波动率的持 续 性 ， 为 波 动 率 的 随 机 冲 击

18、 。二 模型的贝叶斯分析 在 模 型 中 ，不 可 观 测 变 量 为 参 数、和 隐 性 对 数 波 动 序 列，可观测量为日收益率。假 设 服 从 均 值 为 、方 差 为 的 正 态 分 布 ， 于 是 ，从 的 方 差 方 程 中 可 以 看 出 ，在 给 定 和、 的 条 件 下 ， 服 从 均 值 为 ，方 差 为 的 正 态 分 布 ，即 ：，： ；：，： ；：，： ；：统计与信息论坛 ，；： 烄烌 ， 烆烎其 中熿 燄 燀燅 ，所 以 参 数由 于 ，： ；： 关 于，：的 贝 叶 斯 条 件 估 计 为 。 的 后 验 条 件 分 布 。 根据条件概率 的 定 义 ，参 数

19、关 于，：的后验条 件 分布密度函数为 ：其 中 ，。 ，： ；：，： ；： 因 此 ，基 于 模 型 各 参 数 的 后 验 条 件 分布 即 可 采 用 抽 样算法得到参数联合后 验 分 布 的 样 本 序 列 。 限 于 篇 幅 ，具 体 的 抽 样 过 程 将 结 合 下节 的 实 证 分 析 予 以 表 述 。，： ；： 四、实证分析一上 证 股 综 指 收 益 率 的 模 型本 文 以 年 月 日 至 年 月 日 的 上 证 股 日 综 合 指 数 的 简 单 收 益 率 数 据 为 样 本 ，数 据 来 源 于 ?大 智 慧 证 券 分 析 系 统 ?，样 本 容 量 为 个 交

20、 易 日 。经 单 位 根 检 验 ，简 单 收 益 率 为 平 稳 序 列 ，简 单 收 益 率 序 列 和 经 线 性 变 换 后 收 益率 序 列 的 描 述 性 统 计 如 表 所 示 。 的 后 验 条 件 分 布 。 根 据 条 件 概 率 的 定 义 ，参 数 关 于，：的后验条 件 分布密度函数为 ： ，： ；：，： ；： ，： ；： 的 后 验 条 件 分 布 。 记 ， ， ， ， ， ， ， ，显 然 ， 是 一 个维 向 量 。 参 数 关 于 ，的 后 验 条 件 密 度函 数 为 ：表 简 单 收 益 率、 描 述 性 统 计 表平 均 值中 值样 本 方 差偏 度

21、峰 度最 大 值最 小 值 由 表 可 见 ，与 多 数 文 献 中 所 描 述 的 一 致 ，上 证 股 综 指 简 单 收 益 率序列也存在一定的左偏 、峰 度 统 计 量 大 于 ，并 且 统 计 量 ，即 检 验 拒 绝 了 上 证 股 综 指 简 单收 益 率 服 从 正 态 分 布 的 零 假 定 。 另 外 ，对 于 经 线 性 变 换 后 的 序 列 与 上 证 股 综 指 简 单 收 益 率 序 列 具 有 类 似 的 统 计 特 征 。为 了 使 用 贝叶斯方法估计 模 型 的 参 数 ，本 文 利 用 工 具 实 现 抽 样 ，其中 选 择 了 双 链 抽 样 的 方 法

22、 ，以 检 验 马 尔 科 夫 链 的收 敛 性 。 从 不 同 起 始 点 出 发 ，分 别 进 行 了 次 抽 样 。 模 拟 收 敛 状 态 监 测 显 示 ，当 进 行 了 次 抽 样 后 ，所 有 的 参数都已 经进入了收敛状 态 。 为 减 少 起 始 点 初 值 的 影 响 ，本 文 对 抽 样 数 据进 行 退 火 ，舍 弃 前 次 抽 样 数 据 ，选 取 后 次 抽 样 ，共 计 个 抽 样 进 行 参 数 估 计 。 图 为 后次 抽 样 双 链 轨 迹 ，可 以 看 出 ，双 链 交 织 为一 、链 行 平 稳 ，所 以 说 明 抽 样 收 敛 ，即 参 数 估 计 值

23、稳 定 可 靠 。白 仲 林 ，隋 雯 霞 ，刘 传 文 ：混合贝塔分布随机波动模型及其贝叶斯分析 另 外 ，参 数 后 验均值和其他的一些统计量见表 。 从 表 可 以 看 出 ，相对于后验均值 ，模 拟 参 数 的 标 准 偏 差 和 误 差 都 相 当 的 小 。 因 此 ， 后验均值估计的 结 果是相 当精 确 的 。因 此 ，本 文 根 据 上 证 股 日 综 指 数 据 建 立 的 混 合 贝 塔 分 布 的 随 机 波 动 模 型 为 ：， ， ，其 中 ， 。二 模 型 与 模 型 的 比 较 分 析为 了 比 较基 于混 合贝塔分布的随机波动 模 型 对样 本 数 据 的 拟

24、 合 程 度 ，本 文 以 相 同 的 样 本 数 据 建 立了基 于 正 态 分 布 的 随 机 波 动 模 型 模 型 ，采 用 类 似 的 抽 样 方 法 ， 模 型 参 数 的 抽 样轨 迹 图 如 图 所 示 ，表 为参数后验均值等描述 性 统 计 量 。图 模 型 抽样双链轨迹图 图 模 型 抽样双链轨迹图 表 参数估计结果表 统计与信息论坛 表 参数估计结果表 通 过 对 表 和 表 的 比 较 分 析 ，可 以 得 到 如 下结 论 。第 一 ，表 中 的 模 型的混合贝塔分布 的 参 数 、 ，表达 出 收益率序列左偏的 特 点 ，混 合 贝 塔 分 布 的 峰 度 大 于

25、，体 现 了 中 国 的 上 证 股 综 指 的 收 益 率 具 有 明 显 的 尖 峰 厚 尾 的 特 性 ， 表 明 上 证 股 综指收益率的 分 布 明显地 区 别于 正 态 分 布 。第 二 ，上 证 股综指简单对数收益率在 模 型 下 的 平 均 波 动 水 平 为 ，在 模 型 下 的 平 均 波 动 水 平 为 ，经 过 指 数 变 换 后 分 别 为 和 ，都 接 近 样 本 数 据 的 真 实 方 差，说 明 两 个 模 型 都 较 好 地 反 映 了 样 本 数 据 的 生 成 过 程 ，同 时 ， 模 型 的 波 动 水 平 略 高 于 模 型 ，也 更 接 近 于 样

26、本 数 据 的 真 实 方 差 。 模 型 和 模型的波动持续 性 参 数 值 分 别 为 和 ，在 一 定 程 度 上 反 映 了 上 证 股 综指简单收益 率 具 有一定 的 波动 持 续 性 ，但 是 两 模 型 持 续 性 系 数 相 差 较 大 ，显 然 是 源 于 采 用 了 不 同 的 分 布 。由检验可见，上 证 股综指简单收益率分布 具有明显不同于正态分布的分布特征，其顶峰厚尾和 左偏的特征都 从 混 合 贝 塔 分 布 的 拟 合 中 得 到 了 较 好 的表达。因此，用 正 态 分 布 来 拟 合 收 益 率 数 据，必 然 会低估样本数据的波动水平，并将顶峰厚尾等分布特

27、 征归结为波动冲击，从而高估波动的持续性。从本文 的估计结果 可 见， 模 型 中 的 波 动 冲 击 服 从 均 方差为 的 正 态 分 布，而 模 型 中 的 波 动冲击服从 均 方 差 为 的 正 态 分 布， 模型的波动冲击明显高于 模型。另外，观 察 样 本 期 内 中 国 的 证 券 市 场，经 历 了年的大牛市，股市持 续 低 迷，从 上 证 股 综指简单收益率的折线图中亦可以看出，前期处于牛市，波动强烈，后 期 处 于 低 迷 时 期，波 动 微 小，一 方 面表达了上证 股 市 场 波 动 集 群 性 的 特 点，另 一 方 面 也表达出波 动 的 持 续 性 并 不 高。 因 此，本 文 认 为 模型更真实地反映了样本数据的真实生成过程。为 了 进 一 步 比 较 模 型 和 模 型对 样 本 数 据 的 拟 合 程 度 ，本 文 用 、三 个 度 量 指 标 作 为 评 价 标 准 ，对 两 个 模 型 进 行 比 较 评 价 。 具 体 方 法 为 ：依 据 模 型 参 数 随 机 生 成 个预 测 值 ；分 别 计 算 、；重 复 以 上 两 个 步 骤