河南省郑州市2021-2022学年高三上学期高中毕业班第一次质量预测（1月）数学（理）试题

1、郑州市2022年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题卷注意事项：答卷前， 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如 需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上 写 在本试卷上无效考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回一、选择题： 本大题共 12 小题， 每小题 5 分， 共 60 分 在每小题给出的四个选项中， 只有 一项是符合题目要求的已知集合 ， 集合 ， 则 A B C D 已知 是虚数单位， 若 ， 则 A B C D 已知命题 ； 命题 则下列命 题中为真命题

2、的是A B C D 若实数 满足 则 的最小值为A B 1C D2若函数 满足 ， 则下列函数中为奇函数的是A B C D 为了落实五育并举， 全面发展学生素质 学校准备组建书法、音乐、美术、体育社团 现 将 5 名同学分配到这 4 个社团进行培训， 每名同学只分配到 1 个社团， 每个社团至配 1 名同学， 则不同的分配方案共有A 60 种B 120 种C 240 种D 480 种已知函数 ， 为了得到函数 的图象只需将 的图象A 向右平移 个单位B 向右平移 个单位C 向左平移 个单位D 向左平移 个单位数学家阿基米德建立了这样的理论： “任何由直线与抛物线所围成的弓形， 其面积都 是其同

3、底同高的三角形面积的三分之四 如图， 直线 与抛 物线 交于 两点， 两点在 轴上的射影分别为 ， 从长方形 内任取一点， 则该点落在阴影部分的概 率为A B C D 魏晋南北朝时期， 中国数学的测量学取得了长足进展刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理 因其第一题为测量海岛的高度和距离， 故题为海岛算经 受此题启发， 某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度 如图， 点 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度， 称 为 “表高”， 测得以下数据 (单位： 米)： 前表却行 ， 表高 ， 后表却行 ， 表距 则 塔高 A 60 米B 61 米C 62 米D 63 米在

4、圆 上总存在点 ， 使得过点 能作椭圆 的两条相互垂直的切线， 则 的取值范围是A B C D 已知一圆柱的轴截面为正方形， 母线长为 ， 在该圆柱内放置一个棱长为 的正四 面体， 并且正四面体在该圆柱内可以任意转动， 则 的最大值为A B 1C D 2已知 ， 函数 ， 若函数 恰有两个零点， 则 实数 的取值范围是A B C D 二、填空题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分已， 则 _已知 的展开式中所有二项式系数之和是 64 ， 则它展开式中 的系数_双曲线 与抛物线 有共同的焦点 ， 双曲线左焦点为 ， 点 是双曲线右支一点， 过 向 的角平分线做垂线， 垂足为 1

5、 ， 则双曲线的离心率是_已知正方体 的棱长为 是空间中任意一点若点 是正方体表面上的点， 则满足 的动点轨迹长是 ；若点 是线段 上的点， 则异面直线 和 所成角的取值范围是 ；若点 是侧面 上的点， 到直线 的距离与到点 的距离之和为 2 ， 则 的轨迹是椭圆；过点 的平面 与正方体每条棱所成的角都相等， 则平面 截正方体所得截面的最 大面积是 以上说法正确的有_三、解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤 第 题为必考 题， 每个试题考生都必须作答 第 题为选考题， 考生根据要求作答(一) 必考题： 60 分(12 分)已知等差数列 的公差为 ， 前 项和为 ， 现

6、给出下列三个条件： 、 成等比数列； 请你从这三个条件中任选两个解答下列问题 (I) 求 的通项公式；(II) 若 ， 且 ， 求数列 的前 项和 (12 分)为深人贯彻党的十九大教育方针 中共中央办公厅、国务院办公厅印发关于进一步减 轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见 郑州某中学数学建模小组随机抽查 了我市 2000 名初二学生 “双减” 政策前后每天的运动时间， 得到如下频数分布表：表一：“双减”政策后时间 ()人数1060210520730345125表二： “双减” 政策前时间 (分钟)人数4024556061040313012(I) 用一个数字特征描述 “双减”政策给学生

7、的运动时间带来的变化 (同一时间段的数据用该组区间中点值做代表)；(II) 为给参加运动的学生提供方便， 学校在球场边安装直饮水设备 该设备需同时装配两个一级滤芯才能正常工作， 且两个滤芯互不影响，一级滤芯有两个品牌 品牌售 价 5 百元， 使用寿命 7 个月或 8 个月 (概率均为 )； 品牌售价 2 百元， 寿命 3 个月或 4 个 月 (概率均为 ) 现有两种购置方案， 方案甲： 购置 2 个品牌 ； 方案乙： 购置 1 个品牌 和 2 个品牌 试从性价比 (设备正常运行时间与购置一级滤芯的成本之比) 角度考虑， 选择 哪一种方案更实惠(12 分)在矩形中 中， 是 中点， 连接 ， 将

8、 沿 折起， 使得点 移动至点 ， 满足平面 平面 (I ) 求证： ；(II) 求二面角 的余弦值(12 分)设函数 (I) 求函数 的单调区间；(II) 当 时， 证明： (12 分)已知椭圆 的左焦点为 ， 离心率为 ， 过 的直线与椭圆交 于 两点， 当 轴时， (I) 求椭圆 的方程；(II ) 设经过点 的直线 与椭圆 相交于 两点， 点 关于 轴的对称点 为 ， 直线 与 轴交于点 ， 求 面积的取值范围(二) 选考题 ： 共 10 分 请考生在第 题中任选一题作答 在答题卷上将所选题号涂 黑， 如果多做， 则按所做的第一题计分选修： 坐标系与参数方程 (10 分)在直角坐标系

9、中， 直线 的参数方程为 （ 为参数) 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 的极坐标方程为 (I) 若 ， 求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；(II) 设点 的直角坐标系下的坐标为 ， 直线 与曲线 交于 两点， 且 ， 求直线 的倾斜角选修： 不等式选讲(10 分)已知 均为正数， 且满足 ( I ) 证明： ；( II ) 证明： 郑州市2021-2022上期高三理科数学评分参考选择题 二、填空题13.4; 14. 15. 16.三、解答题17.（12分）解：因为、成等比数列，则，即，因为，可得. .2分即.，可得，可得.3分若选，则有，可得，则；若选，则，则；

10、若选，则，可得，所以，.6分（2）解：，且,所以，当时，则有，也满足，故对任意的，9分则，所以，12分18（12分）解：双减政策后运动时间的的众数是65，双减政策前众数是55，说明双减政策后，大多数学生的运动时间都变长；（平均数、中位数等都可以）4分若采用甲方案，记设备正常运行时间为（单位是月），则的取值有，则的分布列：它与成本之比为7分若采用乙方案，记设备正常运行时间为（单位是月），则的取值有,，它与成本之比为11分方案乙性价比更高. 12分19.（12分）证明：在矩形中，连接，记2分在四棱锥中，线段取点满足4分6分（2）设平面的法向量为8分设平面的法向量10分设二面角的大小为的余弦值为12分20.（12分）解：（1）函数的定义域为 故函数单调递减区间为，无单增区间4分（2）当时，要证，即证即证5分设 在上单调递增，在上单调递减,8分设 在上单调递减，在上单调递增, 10分又所以当时，12分（12分）解：（1）由题意可知：，可得.又左焦点，当轴时，将带入得.由解得所以椭圆的方程为5分（2）由题意可知，直线斜率必存在且不为，设直线的方程为设，由得.，关于轴的对称点为，直线的方程为.令，得，8分的面积，令，则，面积的取值范围.12分（二）选考题 22.选修：坐标系与